NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

 

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COMPTER - Combinatoire

 

Débutants

Dénombrement

FACTORIELLES

 

Glossaire

Combinatoire

 

 

INDEX

 

Compter

 

Dénombrer

 

 

Index factorielle

Somme

Somme des inverses

Différence

Produit

Factorielle  = somme

Quotient

 

Sommaire de cette page

>>> Somme cumulée des factorielles

>>> Somme et différence de factorielles proches

>>> identités en somme et différences

>>> Relation sympathique

 

 

 

 

Sommes et Différences 

de FACTORIELLES

 

Valeur des sommes cumulées des factorielles.

Somme de factorielles consécutives ou proches. Possibilité de mise en facteurs et de mise en évidence de formules simples.

 

 

Factorielle et exponentielle

Voir Valeurs de e (Newton) / Une application: compter les trajets

 

 

 

SOMME cumulée des factorielles

 

 

Idem avec valeur des factorielles jusqu'à 16

 

Voir Nombre 13 / Nombre 313 / Nombre 5 913

 

 

 

 

Sommes et différences

de factorielles proches

Identités avec des factorielles.

Que vaut la somme de deux factorielles consécutives? ou proches?

 

(n + 1)! + n!

= (n + 1) n! + n!

=  (n + 2) n!

 

 

    2 +    1 =     3 = 3 x 1

    6 +    2 =     8 = 4 x 2

  24 +    6 =   30 = 5 x 6

120 +   24 = 144 = 6 x 24

720 + 120 = 840 = 7 x 120

(n + 2)! + n!

= (n + 2) (n + 1) n! + n!

= (n² + 3n + 3) n!

 

       6 +   1 =        7 =   7 x 1

     24 +   2 =      26 = 13 x 2

   120 +    6 =     126 = 21 x 6

   720 +  24 =    744 = 31 x 24

5 040 + 120 = 5 160 = 43 x 120

 

(n + 1)! – n!

= (n + 1) n! – n!

=  n. n!

 

 

    2 –    1 =     1

    6 –    2 =    4  = 2 x 2

  24 –    6 =   18  = 3 x 6

120 –   24 =   96 = 4 x 24

720 – 120 = 600 = 5 x 120

(n + 2)! – n!

= (n + 2) (n + 1) n! – n!

= (n² + 3n + 1) n!

 

       6 -   1 =        5 =    5 x  1

     24 –   2 =      22 =  11 x  2

   120 –    6 =     114 =  19 x 6

   720 –  24 =    696 = 29 x 24

5 040 – 120 = 4 920 = 41 x 120

Somme ou différence entre deux factorielles

(n + k)! + n! = (A + 1) . n!

(n + k)! – n! = (A – 1) . n!

avec

 

 

Identités Sommes – Différences

 

Voir Identités

 

 

Une relation sympathique!

 

Relations

(n + 1)! – 1

= 1x1! + 2x2! + 3x3! + ...+ n.n!

 

Exemple

1x1! + 2x2! + 3x3! + 4x4! =

   1 + 2x2 + 3x6 + 4x24 =

     1 + 4 + 18 + 96            = 119

Or, (4 + 1)! – 1 = 120 – 1 = 119

 

Démonstration

Ce que l'on ajoute sur la ligne 2 est soustrait en ligne 3. Là est l'intuition astucieuse pour effectuer cette démonstration. 

Ligne 4 = ligne 2, en calculant n(n – 1)! = n!

Ligne 6 = bilan des lignes 4 et 5, en constatant que les termes sur une diagonale descendante s'annulent.

 

 

Formule de Ramanujan produite en 1936 par Hardy

Voir Ramanujan / Hardy

Source: Le comptable indien

 

 

 

 

Suite

*         Somme  des inverses des factorielles

*         Somme alternée des factorielles

*         Sous-factorielles

*         Voir haut de page

Voir

*         Addition

*         Coefficient du binôme

*         Factorielles divisées

*         Jeux de chiffres

*         Loto

*         n! + 1 = a² (Brocard)

*         Programmation du calcul des factorielles

*         Soustraction

*         Théorie des nombresIndex

Site

*         Factorial Sums – Wolfram MathWorld

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http://villemin.gerard.free.fr/Wwwgvmm/Compter/Factsome.htm