NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

 

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Analyse

 

Débutants

Exponentielle

EXPONENTIELLE

 

Glossaire

Général

 

 

INDEX

 

Puissances et

Exponentielles

Introduction

Valeur

Base

Analogies

Fractions

Propriétés

Dénombrements

Formules

 

Sommaire de cette page

>>> Suite en 1 + 1/n

>>> Factorielle

>>> Puissances

>>> Calcul de "e"

>>> Les trois constantes:

>>> Programmation du calcul de e

 

 

 

 

 

"E" en FORMULES

 

Expressions permettant de calculer la valeur de la constante "e". Calcul pratique sur calculette

Voir  Pourquoi avoir choisi e = 2,718

 

 

 

Suite en 1 + 1/n

 

Formule

 


 

 

 

Convergence

*    La convergence est extrémement lente!

 

 

 

 

 

Question

 

attention.pngEn tant qu'exemple pour éviter un raisonnement  fallacieux.

 

*    Pourquoi cette conclusion est-elle fausse?

 

 

 

Ce n'est pas possible!

 

*    Il faut peut-être faire plus attention aux parenthèses!

*    Essayons de comprendre cela par l'observation.

*    Le terme entre parenthèse s'écrit aussi: (n+1) / n

*    Il est possible d'élever numérateur et dénominateur à la puissance n. Ce qui donne:

 

 

*    L'écart entre numérateur et dénominateur s'amenuise considérablement, mais il existe toujours, même pour les très grands nombres.

*    Le rapport tend vers la valeur "e". Ce qui veut dire que le numérateur est toujours au moins 2, 7 fois supérieur au dénominateur.

 

 

 

Explication

 

*    Voyons maintenant le traitement séparé des termes dans la parenthèse.

*    Le terme en 1 à la puissance n est stable à 1; quant au terme en (1/n)n, il diminue pour approcher du zéro, effectivement

*    La somme tend donc vers 1.

 

*    Ce qui veut dire que nous n'avions pas la liberté de traiter le terme en 1:n indépendamment du 1 qui le précède.

 

Moralité: La puissance d'une somme n'est pas égale à la somme des puissances, même à l'infini.

 

 

 

 

FACTORIELLE

 

Formule

 


 

 

 

Convergence

 

 

Calcul pratique

 

*    Un terme de la suite est égal au précédent divisé par son rang

 

 

*    Soit le calcul pratique suivant:

 

 

 

 

Généralisation

 

Formule avec e

 

 

 

Formule générale

 

 

Coefficients développés

 

 

Voir Factorielles / Sommes  /  Calcul des fractions

 

 

 

Comment obtenir "e" sur une calculatrice

 

Calcul de e

 

Utilisation de la formule exponentielle

avec n = 1 000 000

 

1) Tapez: 1 + 1/1000000; Cliquez =

 

 

2) Cliquez sur le bouton xy

 

Puis tapez 1000000. Cliquez =

 

 

 

 

 

L'affichage donne:

E  =  2, 718 280

e   = 2, 718 281 …

 

Valeur souvent suffisante pour vos calculs.

 

 

Calcul d'une puissance de e

 

Faire appel à nouveau au bouton puissance xy.

 

 

 

 

 

 

Cette calculatrice est celle de votre ordinateur (voir dans le répertoire accessoire de tous les programmes)

 

 

Si la fonction existe

 

C'est immédiat, bien sûr!

Sur cette calculatrice, on va calculer exp(1).

 

1) Tapez 1
2) Cliquez sur Inv; le bouton à droite passe de ln à ex.

3) Cliquez sur le bouton ex;

 

L'affichage est celui donné ci-contre, avec 32 chiffres

 

 

E = 2, 7182818284   5904523536 0287471352  7

e  = 2, 7182818284  5904523536  0287471352  6

      

Voir Valeur des puissances de "e"

 

 

Les trois constantes:

 

Approximation

 

 

Phi étant le nombre d'or

 

 

Comparaison

 

 

Rapprochement

Voir Pi / Phi / Belle formule

 

 

 

Programmation du calcul de e

Maple – Direct

Le logiciel mathématique Maple dispose d'une instruction de calcul des exponentielles.

Et,  exp(1 ) = e.

Évaluation (evalf) demandée avec 100 décimales et impression (lprint)

Maple – Calcul avec factorielles

Utilisation de l'instruction d'addition (add) de l'inverse des factorielles pour n de 0 à 100.

Maple – Calcul optimisé avec factorielles

Ce programme exploite la propriété de calcul pratique qui évite de recalculer chaque factorielle complètement. En effet:

 

Précision – Méfiance !

Maple calcule avec la précision que vous voulez en:

*    précisant la quantité de chiffres dans l'évaluation flottante d'un calcul rationnel (evalf(résultat), 100); ou

*    spécifiant la quantité de chiffres en début de programme: Digits := 100.

Avec Python, prenons des précautions. Ce logiciel ne calcule normalement qu'avec 16 chiffres significatifs. D'ailleurs, les calculs mathématiques ne font pas partie du logiciel de base. Il faut faire appel au module mathématique (import math). Comment améliorer la précision des calculs en Python ? Appel au module decimal. Voir les programmes ci-dessous.

 

PYTHON

Python – Direct

 

 

Avec Python, appel des logiciels de calcul mathématique (math).

Demande d'impression de la constante e: résultat avec 16 chiffres significatifs

Demande de plus de chiffres ('.30g'): les décimales proposées sont fausses (en jaune).

Python – Calcul avec factorielles

 

Toujours avec le logiciel de mathématique (math), on fait appel à l'instruction factorielle (factorial).

La quantité d'itérations est précisée (quantité de termes) et la valeur imprimée est arrondie avec cette quantité.

Hélas, les derniers chiffres sont faux (en jaune).

Python – Calcul optimisé avec factorielles

 

Programme identique à celui écrit en Maple.

Problème: ne fournit toujours que 16 décimales

 

Même en demandant de lister 30 chiffres ('.30g), les chiffres complémentaires sont faux (en jaune).

 

 

Python – Calcul avec factorielles et module decimal

 

 

2.7182818284 5904509079 5598298427 6488423347 47314453125

On appelle le module decimal qui manipule de grands nombres en virgule flottante. Un objet du type Decimal est crée en utilisant la fonction decimal.Décimal.

Notez les majuscules et minuscules.

 

Alors, la valeur de e est connue avec autant de décimales que l'on veut. Ici 40 décimales demandées. Elles sont toutes exactes.

 

Voir Plus de décimales en Python

 

 

Voir ProgrammationIndex / Python

 

 

 

 

 

Suite

*    Valeur de la constante "e"

Voir

*    Cercle

*    Constantes

*    Courbe de charge d'un condensateur

*    Courbes élémentaires

*    Exposants et puissances

*    Exposants et puissances  Index

*    Identités

*    Logarithmes

*    Nombre d'or

*    Pi

*    Sommes

*    Théorie des nombres

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