NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

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ORIENTATION GÉNÉRALE - M'écrire - Édition du: 17/09/2010

-Ý- Rubrique: Nombres: JEUX avec SES CHIFFRES
§ Motifs	§ Friedman	§ Auto-nombre
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Nombres de FRIEDMAN

Jeux avec les chiffes des nombres

Il faut calculer avec eux

et retrouver le nombre initial

-Ý- NOMBRES DE FRIEDMANN

Définition

Nombre dont les chiffres calculés

redonnent le nombre

Exemples

25 =	5²
126 =	21 x 6
343 =	(3 + 4)^3

En rouge, les chiffres sont utilisés dans l'ordre

Trois seules multiplications avec les mêmes trois chiffres de chaque côté de l'égalité:

51 x 3 = 153

21 x 6 = 126

86 x 8 = 688

Il n'en existe pas de strictement palindrome.

-Ý- FRIEDMAN D'ORDRE 4

Tous les nombres de Friedmann

de quatre digits ou moins

25 =	5^2
121 =	11^2
125 =	5^1 + 2
126 =	6 x 21
127 =	- 1 + 2^7
128 =	2^8 - 1
153 =	3 x 51
216 =	6^2 + 1
289 =	(8 + 9)^2
343 =	(3 + 4)^3
347 =	7^3 + 4
625 =	5^6 - 2
688 =	8 x 86
736 =	7 + 3^6
1 022 =	2^10 - 2
1 024 =	(4 - 2)^10
1 206 =	6 x 201
1 255 =	5 x 251
1 260 =	6 x 210
1 285 =	(1 + 2^8) x 5
1 296 =	6^(9 - 1) / 2
1 395 =	15 x 93
1 435 =	35 x 41
1 503 =	3 x 501
1 530 =	3 x 510
1 792 =	7 x 2^9 - 1
1 827 =	21 x 87
2 048 =	8^4 / 2 + 0
2 187 =	(2 + 1^8)^7
2 349 =	29 x 3^4
2 500 =	50^2 + 0
2 501 =	50^2 + 1
2 502 =	2 + 50^2
2 503 =	50^2 + 3
2 504 =	50^2 + 4
2 505 =	50^2 + 5
2 506 =	50^2 + 6
2 507 =	50^2 + 7
2 508 =	50^2 + 8
2 509 =	50^2 + 9
2 592 =	2^5 x 9^2
2 737 =	(2 x 7)^3 - 7
2 916 =	(1 x 6 x 9)^2
3 125 =	(3 + 1 x 2)^5
3 159 =	9 x 351
3 281 =	(3^8 + 1) / 2
3 375 =	(3 + 5 + 7)^3
3 378 =	(7 + 8)^3 + 3
3 685 =	(3^6 + 8) x 5
3 784 =	8 x 473
3 864 =	3 x (- 8 + 6^4)
3 972 =	3 + (9 x 7)^2
4 088 =	8^4 - 8 - 0
4 096 =	(4 + 0 x 9)^6
4 106 =	4^6 + 10
4 167 =	4^6 + 71
4 536 =	56 x 3^4
4 624 =	(64 + 4)^2
4 628 =	68^2 + 4
5 120 =	5 x 2^10
5 776 =	76^7 - 5
5 832 =	(2 x 5 + 8)^3
6 144 =	6 x 4^4 + 1
6 145 =	6 x 4^5 + 1
6 455 =	(6^4 - 5) x 5
6 880 =	8 x 860
7 928 =	89^2 - 7
8 092 =	90^2 - 8
8 192 =	8 x 2^9 + 1
9 025 =	95^2 + 0
9 216 =	1 x 96^2
9 261 =	21^9 - 6

Trouvés par Mike Reid, Ulrich Schimke et Philippe Fondanaiche

-Ý- FRIEDMAN D'ORDRE 5

Avec 5 chiffres

Quelques exemples

10 192 =	101^2 - 9
10 251 =	51 * 201
10 255 =	5 * 2051
11 264 =	11 * 2^6+4
12 091 =	110^2 - 9
14 641 =	(1+4+6)^4*1
15 552 =	(1^5 + 5)^5 * 2
15 632 =	1 + 5^6 + 3*2
15 642 =	1 + 5^6 + 4^2
15 662 =	1 + 5^6 + 6^2
17 536 =	1 + 7^5 + 3^6
46 655 =	4 + 6 * 6^5 - 5
46 663 =	4 + 6^6 + 6 - 3

Il y en a beaucoup d'autres

-Ý- FRIEDMAN PARTICULIERS

Nombres vampires

• Sous-ensemble des nombres de Friedman
• Le nombre est égal à un produit de ses chiffres

Exemple

126 = 21 x 6

Séquence des nombres vampires

126, 153, 688, 1206, 1255, 1260, 1395, 1435, 1503, 1530, 1827, 2187, 3159, 3784, 6880, . . .

Pannumériques

123 456 789 =	((86 + 2 x 7)^5 - 91) / 3^4
987 654 321 =	(8 x (97 + 6/2)^5 + 1) / 3^4

Rep-digit

99 999 999 =	(9 + 9 / 9)^9 - 9 / 9 - 9 / 9
11 111 111 111 =	((11 - 1)^11 - 1 x 1) / (11 - 1 - 1)

-Ý- PROPRIÉTÉS

Propriétés

• Tous les nombres de Friedman à moins de 5 chiffres sont connus (cf. ci-dessus)
• Si F(n) est la quantité de nombre de Friedmann inférieur à n:

ü On ne sait pas si F(n) tend vers 1, vers 0, …

ü Avec les exemples connus, on pencherait plutôt pour 0.

ü Mais les grands nombres réservent peut-être des surprises

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-Ý-

Pour en savoir plus

Voir le site d' Erich Friedman

http://www.stetson.edu/~efriedma/mathmagic/0800.html