NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

 

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INDEX

 

Nombres à motif

Friedman

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Sommaire de cette page

>>> Nombres de Friedmann

>>> Friedman d'ordre 4

>>> Friedman d'ordre 5

>>> Friedman particuliers

>>> Propriétés

>>> Opérations à la mode Friedman

                             

 

 

 

 

 

Nombres de FRIEDMAN

 

Jeux avec les chiffes des nombres.

Il faut calculer avec eux et retrouver le nombre initial.

 

Voir Tous les types de nombres cousins avec ceux-ci

 

   

NOMBRES DE FRIEDMANN

 

Définition

*    Nombre dont les chiffres calculés redonnent le nombre.

 

Exemples

25 =

 

126 =

 

21 x 6

343 =

 

(3 + 4)3

 

Pour le 3e, les chiffres sont dans le même ordre.
 

 

*    Trois seules multiplications avec les mêmes trois chiffres de chaque côté de l'égalité.

*    Il n'en existe pas de strictement palindrome.

 

 

51 x 3 = 153

21 x 6 = 126

86 x 8 =  688

 

Voir Nombre 25

 

 

FRIEDMAN D'ORDRE 4

 

Tous les nombres de Friedman de quatre digits ou moins:

 

Trouvés par Mike Reid, Ulrich Schimke et Philippe Fondanaiche


Autres multiplicatifs: 1 287 = 21 x 87; 2 187 = 27 x 81

Autres cas:

      145 = 1! + 4! + 5!

40 585 = 4! + 0! + 5! + 8! + 5!

759 375 = (7 – 5 + 9 -3 + 7)5

 

 

 

 Friedman multiplicatifs à chiffres différents (hors 0)

Exemple: 2 x 8 714 = 17 428 (mêmes chiffres de chaque côté)

 

Astuce pour limiter les recherches (Henry E. Dudeney)

 

La racine numérique (RN) est la somme itérative des chiffres jusqu'à obtenir un seul chiffre.

La RN est conservée à travers les opérations, ici la multiplication: Rn(a) x Rn(b) = Rn(a.b)

De plus, par définition, on a les mêmes chiffres de chaque côté du signe égal: Rn(a) + Rn(b) = Rn(a.b)

Seules possibilités pour avoir la même somme et le même produit de racines numériques avec: (2, 2), (3, 6), (5, 8) et (9, 9). Il suffit de s'intéresser à la paire à multiplier ayant ces seules racines numériques.

À partir de ces remarques, Dudeney dans Amusements In Mathematics (85 – The Cab numbers) propose des astuces pour limiter grandement les recherches.

 

Liste des Friedman multiplicatifs.  Ex: 126 = 6 x 21

126, 6, 21

153, 3, 51

1395, 15, 93

1435, 35, 41

1827, 21, 87

2187, 27, 81

3159, 9, 351

3784, 8, 473

12546, 51, 246

12964, 14, 926

15624, 24, 651

12384, 3, 4128

12843, 3, 4281

17325, 75, 231

15246, 6, 2541

18265, 65, 281

21586, 86, 251

17428, 2, 8714

17482, 2, 8741

21375, 3, 7125

21753, 3, 7251

28476, 42, 678

37845, 87, 435

39784, 8, 4973

47538, 57, 834

48672, 78, 624

52168, 8, 6521

63895, 65, 983

67392, 72, 936

67149, 9, 7461

124978, 14, 8927

134725, 317, 425

134275, 41, 3275

136948, 146, 938

139824, 48, 2913

146952, 156, 942

145273, 53, 2741

156289, 269, 581

163795, 17, 9635

173925, 75, 2319

175329, 231, 759

179325, 75, 2391

193257, 327, 591

192685, 89, 2165

217638, 321, 678

217854, 42, 5187

236758, 86, 2753

236754, 42, 5637

243175, 71, 3425

251896, 296, 851

281736, 78, 3612

287356, 38, 7562

289674, 42, 6897

297463, 47, 6329

312475, 431, 725

312975, 321, 975

328419, 39, 8421

346725, 75, 4623

384912, 432, 891

386415, 465, 831

384925, 89, 4325

419287, 47, 8921

439582, 53, 8294

475893, 57, 8349

495328, 92, 5384

516879, 681, 759

531297, 57, 9321

612598, 98, 6251

623758, 86, 7253

632875, 83, 7625

697248, 72, 9684

1234768, 674, 1832

1289376, 132, 9768

1357924, 932, 1457

1396782, 219, 6378

1489752, 198, 7524

1495786, 158, 9467

1524978, 294, 5187

1579486, 167, 9458

1645839, 351, 4689

1679458, 194, 8657

1698327, 783, 2169

1723698, 786, 2193

1742958, 954, 1827

1784695, 185, 9647

1823976, 231, 7896

1854972, 714, 2598

1879326, 786, 2391

2143867, 341, 6287

2143678, 314, 6827

2147683, 281, 7643

2159374, 731, 2954

2198547, 897, 2451

2349751, 257, 9143

2418975, 975, 2481

2451379, 329, 7451

2453917, 479, 5123

2475319, 341, 7259

2497153, 521, 4793

2519874, 294, 8571

2536978, 986, 2573

2573914, 791, 3254

2639187, 381, 6927

2793856, 368, 7592

2798536, 758, 3692

2873164, 428, 6713

2967853, 359, 8267

3159486, 891, 3546

3678142, 482, 7631

3967452, 573, 6924

3972564, 549, 7236

4138695, 495, 8361

4153968, 951, 4368

4178592, 528, 7914

4731862, 641, 7382

4857129, 849, 5721

5174928, 594, 8712

5179468, 791, 6548

5368792, 572, 9386

5781694, 851, 6794

6327814, 734, 8621

6587392, 896, 7352

6839275, 863, 7925

7638912, 912, 8376

8391276, 873, 9612

8392675, 863, 9725

12483576, 2856, 4371

13426897, 2819, 4763

13468972, 1382, 9746

13572648, 1572, 8634

13649827, 1829, 7463

13825647, 2367, 5841

14653728, 1752, 8364

14986732, 1724, 8693

15348762, 2613, 5874

15364728, 3258, 4716

15632478, 2451, 6378

15684273, 2871, 5463

16328754, 2418, 6753

16483792, 1976, 8342

16845723, 2451, 6873

16947328, 3968, 4271

17326485, 3621, 4785

17562384, 2751, 6384

17834692, 2318, 7694

17968243, 2147, 8369

21478365, 2637, 8145

21689437, 2849, 7613

23971684, 2468, 9713

26348791, 4187, 6293

26397184, 2816, 9374

27643198, 2846, 9713

29371648, 3176, 9248

32479816, 4712, 6893

34687912, 4382, 7916

36128745, 4623, 7815

38416752, 5214, 7368

43687512, 5346, 8172

45863172, 6354, 7218

46327918, 6398, 7241

46382791, 4823, 9617

47312685, 6321, 7485

54861372, 6753, 8124

57316248, 6732, 8514

61342897, 7469, 8213

64781293, 7691, 8423

67938412, 7613, 8924

68712934, 7418, 9263

72891364, 7826, 9314

81273964, 8726, 9314

83764912, 8624, 9713

  

 

FRIEDMAN D'ORDRE 5

 

Quelques exemples (il y en a beaucoup d'autres):


 

 

 

FRIEDMAN particuliers

Nombres vampires

 

 

Sous-ensemble des nombres de Friedman: le nombre est égal à un produit de ses chiffres.

 

Exemple: 126 = 21 x 6

 

Séquence des nombres vampires

126, 153, 688, 1206, 1255, 1260, 1395, 1435, 1503, 1530, 1827, 2187, 3159, 3784, 6880, . . .

Pannumériques

 

123 456 789 = ((86 + 2 x 7)5 - 91) / 34

987 654 321 = (8 x (97 + 6/2)5 + 1) / 34

 

Rep-digit

 

       99 999 999 = (9 + 9 / 9)9 - 9 / 9 - 9 / 9

11 111 111 111 = ((11 - 1)11 - 1 x 1) / (11 - 1 - 1)

 

 

 

 

PROPRIÉTÉS

 

Tous les nombres de Friedman à moins de 5 chiffres sont connus (cf. ci-dessus).

 

Si F(n) est la quantité de nombre de Friedmann inférieur à n:

On ne sait pas si F(n) tend vers 1, vers 0, …

Avec les exemples connus, on pencherait plutôt pour 0.

 

Mais les grands nombres réservent peut-être des surprises.

 

 

 

Opérations à la mode Friedman

 

Quelques opérations comportant les chiffres de chaque côté de l'égalité.

 

 



Avec des radicaux

 

 

 

 

 

Suite

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Site

*           Pour en savoir plus, voir le site d' Erich Friedman

http://www.stetson.edu/~efriedma/mathmagic/0800.html

*           Narcissic numbers – Harvey Heinz

Cette page

http://villemin.gerard.free.fr/Wwwgvmm/Formes/Friedman.htm