NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

 

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Général

 

 

INDEX

 

Puissance

 

Décomposition

 

Motifs

 

Entier

Carrés

Narcissique

Cubes et plus

  k-narcissiques

 

Sommaire de cette page

>>> Les cousins

>>> Nombres narcissiques

>>> Liste de 88 nombres narcissiques

>>> Cycle narcissique d'ordre 3

>>> Quelques cycles

 

 

 

 

NOMBRES NARCISSIQUES

ou

NOMBRES       D'ARMSTRONG

NOMBRES       DIGIPUISSANTS

NOMBRES       EXPOSANTS

EXPOSITORY  NUMBERS

 

Nombre n formé des chiffres a, b, c tel que, par exemple:

           n = a3 + b3 + c3

Anglais: Narcissistic number, Armstrong number, perfect digital invariant or plus perfect number.

 

 

Puissances et chiffres – Les cousins

Narcissiques

*  Nombre égal à la somme de ses chiffres à une puissance. >>>

153 = 13 + 53 + 33

k-Narcissiques

*  Nombre égal k fois  la somme de ses chiffres à une puissance. >>>

702 = 2 (73 + 03 + 23)

        = 2 (343 + 8)

        = 2 x 351

NESCHIP

*  Nombre Égal à la Somme des Chiffres d'une de ses Puissances. >>>

83 = 512

&     5 + 1 + 2 = 8

Kaprekar

*  Nombre égal à la somme des parties droite et gauche d'une puissance de ce nombre. >>>

452 = 2025

&       20 + 25 = 45

 

 

 NOMBRES NARCISSIQUES 


Définition

 

Nombre égal à la somme de ses n chiffres chacun élevé à la puissance n. Les vrais narcissiques sont ceux k chiffres avec la puissance k.

 

Exemples

 

1 =

11

10 cas: Tous les chiffres

n =

a2 + b2

0 cas

153 =

13 + 53 + 33

370 =

33 + 73 + 03

4 cas

371 =

33 + 73 + 13

 

407 =

43 + 03 + 73

 

1 634 =

8 208 =

9 474 =

14 + 64 + 34 + 44

84 + 24 + 04 + 84

94 + 44 + 74 + 44

3 cas

4150 =

4151 =

54 748 =

92 727 =

93 084 =

194 979 =

45 + 15 + 55 + 05

45 + 15 + 55 + 15

55 + 65 + 35 + 45 + 85

95 + 25 + 75 + 25 + 75

95 + 35 + 05 + 85 + 45

15 + 95 + 45 + 95 + 75 + 95

2 cas  (4 chiffres à la puissance 4) – dits Armstrong de quatrième espèce.

+

4 cas vrais (5 chiffres à la puissance 5) – dits Armstrong de première espèce.

548 834 =

56 + 46 + 86 + 86 + 36 + 46

1 cas

1 741 725 =

 

 

4 210 818 =

9 800 817 =

9 926 315 =

14 459 929 =

17 + 77 + 47 + 17 + 77 + 27 + 57

= 1 + 823 543 + 16 384

+ 1 + 823 543 + 128 + 78 125

Etc.

5 cas

24 678 050 =

24 678 051 =

88 593 477 =

= 28 + 48 + 68 + 78 + 88 + 08 + 58 + 08

Etc.

146 511 208 =

 

Liste complète

Il y a exactement 88 nombres narcissiques (vrais). Le plus grand a 39 chiffres.

Prouvé en 1985 par D. Winter et vérifié par D. Hoey. Liste complète en 1994 par Mendes Oliveira e Silva.

1 1

2 2

3 3

4 4

5 5

6 6

7 7

8 8

9 9

10 153

11 370

12 371

13 407

14 1634

15 8208

16 9474

17 54748

18 92727

19 93084

20 548834

21 1741725

22 4210818

23 9800817

24 9926315

25 24678050

26 24678051

27 88593477

28 146511208

29 472335975

30 534494836

31 912985153

32 4679307774

33 32164049650

34 32164049651

35 40028394225

36 42678290603

37 44708635679

38 49388550606

39 82693916578

40 94204591914

41 28116440335967

42 4338281769391370

43 4338281769391371

44 21897142587612075

45 35641594208964132

46 35875699062250035

47 1517841543307505039

48 3289582984443187032

49 4498128791164624869

50 4929273885928088826

51 63105425988599693916

52 128468643043731391252

53 449177399146038697307

54 21887696841122916288858

55 27879694893054074471405

56 27907865009977052567814

57 28361281321319229463398

58 35452590104031691935943

59 174088005938065293023722

60 188451485447897896036875

61 239313664430041569350093

62 1550475334214501539088894

63 1553242162893771850669378

64 3706907995955475988644380

65 3706907995955475988644381

66 4422095118095899619457938

67 121204998563613372405438066

68 121270696006801314328439376

69 128851796696487777842012787

70 174650464499531377631639254

71 177265453171792792366489765

72 14607640612971980372614873089

73 19008174136254279995012734740

74 19008174136254279995012734741

75 23866716435523975980390369295

76 1145037275765491025924292050346

77 1927890457142960697580636236639

78 2309092682616190307509695338915

79 17333509997782249308725103962772

80 186709961001538790100634132976990

81 186709961001538790100634132976991

82 1122763285329372541592822900204593

83 12639369517103790328947807201478392

84 12679937780272278566303885594196922

85 1219167219625434121569735803609966019

86 12815792078366059955099770545296129367

87 115132219018763992565095597973971522400

88 115132219018763992565095597973971522401

Programme Maple

 

Commentaires

Réinitialisation du logiciel.

Lancement de la boucle d'analyse des nombres n.

Conversion de n en N, la liste des chiffres de n avec q la quantité de chiffres.

Calcul de la somme des chiffres de n à la puissance égale à la quantité de chiffres (q).

Si cette somme (S) est égale à n, alors on imprime la liste.

Fin de boucle (od, qui est le do à l'envers).

 

En bleu, le résultat du traitement pour la plage spécifiée pour n

 

Voir Somme des puissances des chiffres  /  Narcissiques en couple  / Boucles en cubes

 Voir ProgrammationIndex

 

 

 

 

 CYCLE NARCISSIQUE d'ordre 3

 

Cycle

 

Le cycle consiste à calculer la somme des cubes des chiffres d'un nombre puis la somme des cubes des chiffres de cette somme; etc.

 

Exemple pour 2

 

2

Somme des cubes des chiffres

8

8

512

125 + 1 + 8 = 134

134

1 + 27 + 64 =   92

92

729 + 8 = 737

737

343 + 27 + 343 = 713

713

343 + 1 + 27 = 371

371

Mêmes chiffres, soit même total

 

Ici, le cycle narcissique du 2 se termine par le nombre narcissique 371.

 

Exemple avec 3

 

Voir Brève de maths 210 / Procédé itératif de Kaprekar

 

 

 

Quelques cycles

 

 

En tête de colonne, le nombre de départ (de 1 à 20).

En jaune, arrêt sur un nombre narcissique.

En rose, boucle

En rouge, nombre déjà rencontré dans les colonnes précédentes.

 

 

Notes:

Le nombre 13 fait apparaître un cycle avec 133. Les ésotéristes y voient une signification. Le nombre 153 est aussi important pour eux.

 

Cycle narcissique aboutissant à 1

Propriété

Tous les nombres divisibles par 3 ont un cycle qui se termine par 153.

Voir Tableau pour les 100 premiers multiples de 3

 

 Records: nombre de départ, quantité de cycle, [cycle]

         3,   3, [27, 351, 153]

         6, 10, [216, 225, 141, 66, 432, 99, 1458, 702, 351, 153]

     117, 11, [345, 216, 225, 141, 66, 432, 99, 1458, 702, 351, 153]

     177, 13, [687, 1071, 345, 216, 225, 141, 66, 432, 99, 1458, 702, 351, 153]

12 558, 14, [771, 687, 1071, 345, 216, 225, 141, 66, 432, 99, 1458, 702, 351, 153]

Aucun cycle plus long jusqu'à cent millions. Résultat de mon test en environ une hure de calculs. Shyam Sunder Gupta indique que l'on atteint 15 avec le nombre 44499999999999999999 = 43917.

 

 

Cycle narcissique aboutissant à 1

Tous les nombres jusqu'à 10 000 dont le cycle se termine par 1 et la quantité nécessaire de boucle

La somme 1 du premier coup est triviale pour les puissances de 10.

En deux cycles, on trouve tous les nombres dont la somme des chiffres est une puissance de10. Ex: 1234 => 13 + 23 + 33 + 43 = 1 + 8 + 27 + 64 = 100.

Le plus petit nombre exigeant 5 itérations est 13 477 et les suivant (hors permutations) est 17 779.

 

Quelques cycles particuliers

 

La somme des cubes des quatre premiers chiffres est égale à 100.

Tous les repdigit, comme tous les multiples de 3, ont un cycle narcissique qui aboutit à 153.

 

Cycles doubles ou triples

Le nombre 919 donne un cycle narcissique à 2 nombres

Le nombre 55 donne un cycle narcissique à 3 nombres

Etc.

 

 

 

 

Suite

*       Somme des carrés des chiffres

*       Somme des chiffres des puissances

Voir

*       Automorphiques

*       Facteurs sans zéro

*       Nombres et puissances de leurs chiffres

*       Palindromes

*       Pannumériques

*       Partition en puissance

Site

*       Nombre narcissique – Wikipédia

*       Narcissistic number – Wolfram MathWorld

*       A brief introduction to Armstrong numbersM.F. Armstrong – Définition des quatre espèces

*       OEIS A005188 – Armstrong (or Plus Perfect, or narcissistic) numbers: m-digit numbers equal to sum of m-th powers of their digits (a finite sequence, the last term being

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