NOMBRES – Curiosités, Théorie et Usages

 

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Narcissiques

Somme-Produit Ch

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Puissance

Décomposition

 

 

Sommes des chiffres

Racine numérique

Cycle des carrés

Sommes des Ch de nk

Narcissique

k-narcissiques

Digipuissants

Armstrong

Puissances consécutives

Faute de frappe

 

Sommaire de cette page

>>> Les cousins

>>> Nombres narcissiques

>>> Cas de 153, 165033, …

>>> Liste de 88 nombres narcissiques

>>> Cycle narcissique d'ordre 3

>>> Quelques cycles

>>> Records

 

 

 

 

NOMBRES NARCISSIQUES

ou

NOMBRES       D'ARMSTRONG

NOMBRES       DIGIPUISSANTS

NOMBRES       EXPOSANTS

EXPOSITORY  NUMBERS

 

Nombre n formé des chiffres a, b, c tel que, par exemple:

           n = a3 + b3 + c3

Anglais: Narcissistic number, Armstrong number, perfect digital invariant or plus perfect number.

 

 

Puissances et chiffres – Les cousins

Résumé

(les carrés représentent les chiffres du nombre)

 

Friedman

*  Nombre dont les chiffres calculés redonnent le nombre. >>>
* Friedman multiplicatif.

25 = 52

126 = 21 x 6*

343 = (3 + 4)3

Friedman sauvage

*  Nombres de Friedman faisant appel à des opérateurs non classiques >>>

 

Narcissiques

*  Nombre égal à la somme de ses chiffres à une puissance. >>>

153 = 13 + 53 + 33

Armstrong

*  Narcissiques avec autant de termes que la puissance >>>

1 741 725

= 17+77+47+17+77+27+57

 

Sept termes pour

une puissance 7.

Digipuissants (Dudeney)

*  Nombre égal à la puissance énième de la somme de ses chiffres >>>

512 = (5 + 1 + 2)3

K-Narcissiques

*  Nombre égal k fois  la somme de ses chiffres à une puissance. >>>

702 = 2 (73 + 03 + 23)

        = 2 (343 + 8)

        = 2 x 351

P-Narcissique

Narcissiques puissants

*  Nombre égal à la somme des chiffres porté à des puissances successives. >>>

518 = 51 + 12 + 83

 

Variantes

3 435 = 33 + 44 + 33 + 55

Expository

(Narcissiques de Keith)

*  Nombre égal à une combinaison des sommes des chiffres du nombre, du carré, du cube, etc.  et, dans chaque cas, mis à une puissance particulière. >>>

336 = 3 + 3 + 6

       + 32 + 32 + 62

       + 33 + 33 + 63

 

Narcissiques Produits

*  Nombre faute de frappe

*  Nombre égal au produit-puissances successifs de ses chiffres. >>>

2592 = 25 x 92

Narcissiques Fractions

*  Nombres égaux à une fraction avec chiffres à une puissance au numérateur comme au dénominateur  >>>

Narcissiques inverses

*  Nombre égal à la somme d'un nombre à puissance successive de ses chiffres. >>>

1 033 = 81 + 80 + 83 + 83

4 624 = 44 + 46 + 42 + 44

SOCHIPUIS

*  Nombre égal à la somme de ses chiffres portés à une puissance >>>

89 = 81 + 92

1 034 = 11 + 01 + 32 + 45

NESCHIP

*  Nombre Égal à la Somme des CHIffres portée à une Puissance (sigle). >>>

     512   =    83

& 5 + 1 + 2 = 8

Kaprekar

*  Nombre égal à la somme des parties droite et gauche portée à une puissance. >>>

    2025   =  452

& 20 + 25 = 45

Voir Somme-Produit des chiffres – Toutes les autres possibilités

 

 

 

  NOMBRES NARCISSIQUES 


Définition

 

Nombre égal à la somme de ses n chiffres chacun élevé à la puissance n. Les vrais narcissiques sont ceux k chiffres avec la puissance k.

 

Exemples

 

1 =

11

10 cas: Tous les chiffres

n =

a2 + b2

0 cas

153 =

13 + 53 + 33

370 =

33 + 73 + 03

4 cas

371 =

33 + 73 + 13

 

407 =

43 + 03 + 73

 

1 634 =

8 208 =

9 474 =

14 + 64 + 34 + 44

84 + 24 + 04 + 84

94 + 44 + 74 + 44

3 cas

4150 =

4151 =

54 748 =

92 727 =

93 084 =

194 979 =

45 + 15 + 55 + 05

45 + 15 + 55 + 15

55 + 65 + 35 + 45 + 85

95 + 25 + 75 + 25 + 75

95 + 35 + 05 + 85 + 45

15 + 95 + 45 + 95 + 75 + 95

2 cas  (4 chiffres à la puissance 4) – dits Armstrong de quatrième espèce.

+

4 cas vrais (5 chiffres à la puissance 5) – dits Armstrong de première espèce.

548 834 =

56 + 46 + 86 + 86 + 36 + 46

1 cas

1 741 725 =

 

 

4 210 818 =

9 800 817 =

9 926 315 =

14 459 929 =

17 + 77 + 47 + 17 + 77 + 27 + 57

= 1 + 823 543 + 16 384

+ 1 + 823 543 + 128 + 78 125

Etc.

5 cas

24 678 050 =

24 678 051 =

88 593 477 =

= 28 + 48 + 68 + 78 + 88 + 08 + 58 + 08

Etc.

146 511 208 =

 

Nombres d'Armstrong

Il y a exactement 88 nombres narcissiques vrais (ou Armstrong).

Le plus grand a 39 chiffres. 

Voir Explications et liste

Programme Maple

 

Commentaires

Réinitialisation du logiciel.

Lancement de la boucle d'analyse des nombres n.

Conversion de n en N, la liste des chiffres de n avec q la quantité de chiffres.

Calcul de la somme des chiffres de n à la puissance égale à la quantité de chiffres (q).

Si cette somme (S) est égale à n, alors on imprime la liste.

Fin de boucle (od, qui est le do à l'envers).

 

En bleu, le résultat du traitement pour la plage spécifiée pour n

 

Voir Somme des puissances des chiffres  /  Narcissiques en couple  / Boucles en cubes

 Voir ProgrammationIndex

 

Cas de 153, 165033, …

Cette suite d'égalité est infinie.

Voir Brève 689 / Nombre 153

 

Voyons pourquoi en examinant chaque nombre.

 

 

 

 

 

 

 

 CYCLE NARCISSIQUE d'ordre 3

 

Cycle

 

Le cycle consiste à calculer la somme des cubes des chiffres d'un nombre puis la somme des cubes des chiffres de cette somme; etc.

 

Exemple pour 2

 

2

Somme des cubes des chiffres

8

8

512

125 + 1 + 8 = 134

134

1 + 27 + 64 =   92

92

729 + 8 = 737

737

343 + 27 + 343 = 713

713

343 + 1 + 27 = 371

371

Mêmes chiffres, soit même total

 

Ici, le cycle narcissique du 2 se termine par le nombre narcissique 371.

 

Exemple avec 3

 

Voir Brève de maths 210 / Procédé itératif de Kaprekar

Anglais: The digit cube sum problem

 

 

Quelques cycles avec la somme des chiffres au cube

Propriété

Tous les nombres divisibles par 3 ont un cycle qui se termine par 153.

 

La table à droite montre quelques exemples: le nombre de départ, les sommes successives et la longueur du cycle.

Voir aussi Tableau Excel

 

Records: nombre de départ, quantité de cycle, [cycle]

3,   3, [27, 351, 153]

6, 10, [216, 225, 141, 66, 432, 99, 1458, 702, 351, 153]

117, 11, [345, 216, 225, 141, 66, 432, 99, 1458, 702, 351, 153]

177, 13, [687, 1071, 345, 216, 225, 141, 66, 432, 99, 1458, 702, 351, 153]

12 558, 14, [771, 687, 1071, 345, 216, 225, 141, 66, 432, 99, 1458, 702, 351, 153]

 

Aucun cycle plus long jusqu'à cent millions. Résultat de mon test en environ une heure de calculs. Shyam Sunder Gupta indique que l'on atteint 15 avec le nombre 44499999999999999999 = 43917.

 

 

 

 

Exemple avec les premiers nombres

En tête de colonne, le nombre de départ (de 1 à 20).

En jaune, arrêt sur un nombre narcissique.

En rose, boucle

En rouge, nombre déjà rencontré dans les colonnes précédentes.

 

 

Notes:

Le nombre 13 fait apparaître un cycle avec 133. Les ésotéristes y voient une signification. Le nombre 153 est aussi important pour eux.

 

 

Cycle narcissique aboutissant à 1

Tous les nombres jusqu'à 10 000 dont le cycle se termine par 1 et la quantité nécessaire de boucle

La somme 1 du premier coup est triviale pour les puissances de 10.

En deux cycles, on trouve tous les nombres dont la somme des chiffres est une puissance de10. Ex: 1234 => 13 + 23 + 33 + 43 = 1 + 8 + 27 + 64 = 100.

Le plus petit nombre exigeant 5 itérations est 13 477 et les suivant (hors permutations) est 17 779.

 

Quelques cycles particuliers

 

La somme des cubes des quatre premiers chiffres est égale à 100.

Tous les repdigit, comme tous les multiples de 3, ont un cycle narcissique qui aboutit à 153.

 

Cycles doubles ou triples

Le nombre 919 donne un cycle narcissique à 2 nombres

Le nombre 55 donne un cycle narcissique à 3 nombres

Etc.

 

Puissance

Départ

Suite

Quantité

2

4

4, 16, 37, 58, 89, 145, 42, 20.

8

3

55

133, 55

2

 

136

244, 136

2

 

160

217, 352, 160

3

 

919

1459, 919

2

4

1138

4179, 9219, 13139, 6725, 4338, 4514, 1138

7

 

2178

6514, 2178

2

 

 

 

 

 

Records de cycles 3-narcissiques dont les nombres sont tous différents

 

Longueur du cycle, CYCLE, altitude maximale

8, [2, 8, 512, 134, 92, 737, 713, 371] – 512

11, [6, 216, 225, 141, 66, 432, 99, 1458, 702, 351, 153] – 1 458

12, [68, 728, 863, 755, 593, 881, 1025, 134, 92, 737, 713, 371] – 1 025

14, [177, 687, 1071, 345, 216, 225, 141, 66, 432, 99, 1458, 702, 351, 153] – 1 458

15, [12558, 771, 687, 1071, 345, 216, 225, 141, 66, 432, 99, 1458, 702, 351, 153] – 12 558

Fin, à ma connaissance !

 

Énigme

Quatorze voitures d’une grande administration sont rangées l’une derrière l’autre sur le  parking officiel de la Préfecture. Je remarque qu’elles portent toutes un numéro d’immatriculation différent, inférieur à 1500, mais aussi, chose étonnante, que le numéro de chacune est égal à la somme des cubes des chiffres du numéro de la voiture placée devant elle.  Quel est le numéro de la cinquième voiture ? 

Réponse par lecture de la liste ci-dessus: 177, 687, …

  

Énigme communiqué par Roger Rigaud

Voir Brève 844

 

 

 

 

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*       Partition en puissance

Site

*       Nombres narcissiques – Tangente – Gianni Sarcone 

*       Nombre narcissique – Wikipédia

*       Narcissistic number – Wolfram MathWorld

*       Narcissic numbers – Harvey Heinz

*       A brief introduction to Armstrong numbers – M.F. Armstrong – Définition des quatre espèces

*       OEIS A005188 – Armstrong (or Plus Perfect, or narcissistic) numbers: m-digit numbers equal to sum of m-th powers of their digits (a finite sequence, the last term being

*       OEIS A098870 – Sum of the cubes of the digits of the previous term, starting with 2

*       The Digits Cube Sum Problem

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