NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

 

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Nombres en forme

 

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Général

Somme des chiffres

 

Glossaire

Général

 

 

INDEX

 

Puissance

 

Décomposition

 

Motifs

 

Entier

Carrés

Narcissique

Cubes et plus

  k-narcissiques

 

Sommaire de cette page

>>> Les cousins

>>> Nombres narcissiques

>>> Cycle narcissique d'ordre 3

>>> Quelques cycles

 

 

 

 

NOMBRES NARCISSIQUES

ou

NOMBRES       D'ARMSTRONG

NOMBRES       DIGIPUISSANTS

NOMBRES       EXPOSANTS

EXPOSITORY  NUMBERS

 

Nombre n formé des chiffres a, b, c tel que, par exemple:

           n = a3 + b3 + c3

 

 

 

Puissances et chiffres – Les cousins

Narcissiques

*  Nombre égal à la somme de ses chiffres à une puissance. >>>

153 = 13 + 53 + 33

k-Narcissiques

*  Nombre égal k fois  la somme de ses chiffres à une puissance. >>>

702 = 2 (73 + 03 + 23)

        = 2 (343 + 8)

        = 2 x 351

NESCHIP

*  Nombre Égal à la Somme des Chiffres d'une de ses Puissances. >>>

83 = 512

&     5 + 1 + 2 = 8

Kaprekar

*  Nombre égal à la somme des parties droite et gauche d'une puissance de ce nombre. >>>

452 = 2025

&       20 + 25 = 45

 

 

 NOMBRES NARCISSIQUES 


Définition

 

Nombre égal à la somme de ses n chiffres chacun élevé à la puissance n.

 

Exemples

 

1 =

11

10 cas: Tous les chiffres

n =

a2 + b2

0 cas

153 =

13 + 53 + 33

370 =

33 + 73 + 03

4 cas

371 =

33 + 73 + 13

 

407 =

43 + 03 + 73

 

1 634 =

8 208 =

9 474 =

14 + 64 + 34 + 44

84 + 24 + 04 + 84

94 + 44 + 74 + 44

3 cas

4150 =

4151 =

54 748 =

92 727 =

93 084 =

194 979 =

45 + 15 + 55 + 05

45 + 15 + 55 + 15

55 + 65 + 35 + 45 + 85

95 + 25 + 75 + 25 + 75

95 + 35 + 05 + 85 + 45

15 + 95 + 45 + 95 + 75 + 95

6 cas

548 834 =

56 + 46 + 86 + 86 + 36 + 46

1 cas

1 741 725 =

 

 

4 210 818 =

9 800 817 =

9 926 315 =

14 459 929 =

17 + 77 + 47 + 17 + 77 + 27 + 57

= 1 + 823 543 + 16 384

+ 1 + 823 543 + 128 + 78 125

Etc.

5 cas

24 678 050 =

24 678 051 =

88 593 477 =

= 28 + 48 + 68 + 78 + 88 + 08 + 58 + 08

Etc.

146 511 208 =

115 132 219 018 763 992 565 095 597 973 971 522 401

Le plus grand avec 39 chiffres

Il y a exactement 88 nombres narcissiques.

Voir Somme des puissances des chiffres  /  Narcissiques en couple  / Boucles en cubes

 

 

 CYCLE NARCISSIQUE d'ordre 3

 

Cycle

 

Le cycle consiste à calculer la somme des cubes des chiffres d'un nombre puis la somme des cubes des chiffres de cette somme; etc.

 

Exemple pour 2

 

2

Somme des cubes des chiffres

8

8

512

125 + 1 + 8 = 134

134

1 + 27 + 64 =   92

92

729 + 8 = 737

737

343 + 27 + 343 = 713

713

343 + 1 + 27 = 371

371

Mêmes chiffres, soit même total

 

Ici, le cycle narcissique du 2 se termine par le nombre narcissique 371.

 

Exemple avec 3

 

Voir Brève de maths 210 / Procédé itératif de Kaprekar

 

 

 

Quelques cycles

 

 

En tête de colonne, le nombre de départ (de 1 à 20).

En jaune, arrêt sur un nombre narcissique.

En rose, boucle

En rouge, nombre déjà rencontré dans les colonnes précédentes.

 

 

Notes:

Le nombre 13 fait apparaître un cycle avec 133. Les ésotéristes y voient une signification. Le nombre 153 est aussi important pour eux.

 

Cycle narcissique aboutissant à 1

Propriété

Tous les nombres divisibles par 3 ont un cycle qui se termine par 153.

Voir Tableau pour les 100 premiers multiples de 3

 

 Records: nombre de départ, quantité de cycle, [cycle]

         3,   3, [27, 351, 153]

         6, 10, [216, 225, 141, 66, 432, 99, 1458, 702, 351, 153]

     117, 11, [345, 216, 225, 141, 66, 432, 99, 1458, 702, 351, 153]

     177, 13, [687, 1071, 345, 216, 225, 141, 66, 432, 99, 1458, 702, 351, 153]

12 558, 14, [771, 687, 1071, 345, 216, 225, 141, 66, 432, 99, 1458, 702, 351, 153]

Aucun cycle plus long jusqu'à cent millions. Résultat de mon test en environ une hure de calculs. Shyam Sunder Gupta indique que l'on atteint 15 avec le nombre 44499999999999999999 = 43917.

 

 

Cycle narcissique aboutissant à 1

Tous les nombres jusqu'à 10 000 dont le cycle se termine par 1 et la quantité nécessaire de boucle

La somme 1 du premier coup est triviale pour les puissances de 10.

En deux cycles, on trouve tous les nombres dont la somme des chiffres est une puissance de10. Ex: 1234 => 13 + 23 + 33 + 43 = 1 + 8 + 27 + 64 = 100.

Le plus petit nombre exigeant 5 itérations est 13 477 et les suivant (hors permutations) est 17 779.

 

Quelques cycles particuliers

 

La somme des cubes des quatre premiers chiffres est égale à 100.

Tous les repdigit, comme tous les multiples de 3, ont un cycle narcissique qui aboutit à 153.

 

Cycles doubles ou triples

Le nombre 919 donne un cycle narcissique à 2 nombres

Le nombre 55 donne un cycle narcissique à 3 nombres

Etc.

 

 

 

 

Suite

*       Somme des carrés des chiffres

*       Somme des chiffres des puissances

Voir

*       Automorphiques

*       Facteurs sans zéro

*       Nombres et puissances de leurs chiffres

*       Palindromes

*       Pannumériques

*       Partition en puissance

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