NOMBRES – Curiosités, Théorie et Usages Accueil DicoNombre Rubriques Nouveautés Édition du: 05/11/2023 Orientation générale  DicoMot Math Atlas Actualités M'écrire Barre de recherche DicoCulture Index alphabétique Références Brèves de Maths
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		Sommaire de cette page >>> Les cousins >>> Nombres narcissiques >>> Cas de 153, 165033, … >>> Liste de 88 nombres narcissiques >>> Cycle narcissique d'ordre 3 >>> Quelques cycles >>> Records

NOMBRES NARCISSIQUES

ou

NOMBRES D'ARMSTRONG

NOMBRES DIGIPUISSANTS

NOMBRES EXPOSANTS

EXPOSITORY NUMBERS

Nombre n formé des chiffres a, b, c tel que, par exemple:

n = a³ + b³ + c³

Anglais: Narcissistic number, Armstrong number, perfect digital invariant or plus perfect number.

Puissances et chiffres – Les cousins
Résumé (les carrés représentent les chiffres du nombre)

Friedman	Nombre dont les chiffres calculés redonnent le nombre. >>> * Friedman multiplicatif.	25 = 5^2 126 = 21 x 6* 343 = (3 + 4)^3
Friedman sauvage	Nombres de Friedman faisant appel à des opérateurs non classiques >>>

Narcissiques	Nombre égal à la somme de ses chiffres à une puissance. >>>	153 = 1^3 + 5^3 + 3^3
Armstrong	Narcissiques avec autant de termes que la puissance >>>	1 741 725 = 1^7+7^7+4^7+1^7+7^7+2^7+5^7 Sept termes pour une puissance 7.
Digipuissants (Dudeney)	Nombre égal à la puissance énième de la somme de ses chiffres >>>	512 = (5 + 1 + 2)^3
K-Narcissiques	Nombre égal k fois la somme de ses chiffres à une puissance. >>>	702 = 2 (7^3 + 0^3 + 2^3) = 2 (343 + 8) = 2 x 351
P-Narcissique Narcissiques puissants	Nombre égal à la somme des chiffres porté à des puissances successives. >>>	518 = 5^1 + 1^2 + 8^3 Variantes 3 435 = 3^3 + 4^4 + 3^3 + 5^5 …
Expository (Narcissiques de Keith)	Nombre égal à une combinaison des sommes des chiffres du nombre, du carré, du cube, etc. et, dans chaque cas, mis à une puissance particulière. >>>	336 = 3 + 3 + 6 + 3^2 + 3^2 + 6^2 + 3^3 + 3^3 + 6^3

Narcissiques Produits	Nombre faute de frappe Nombre égal au produit-puissances successifs de ses chiffres. >>>	2592 = 2^5 x 9^2
Narcissiques Fractions	Nombres égaux à une fraction avec chiffres à une puissance au numérateur comme au dénominateur >>>
Narcissiques inverses	Nombre égal à la somme d'un nombre à puissance successive de ses chiffres. >>>	1 033 = 8^1 + 8^0 + 8^3 + 8^3 4 624 = 4^4 + 4^6 + 4^2 + 4^4
SOCHIPUIS	Nombre égal à la somme de ses chiffres portés à une puissance >>>	89 = 8^1 + 9^2 1 034 = 1^1 + 0^1 + 3^2 + 4^5
NESCHIP	Nombre Égal à la Somme des CHIffres portée à une Puissance (sigle). >>>	512 = 8^3 & 5 + 1 + 2 = 8
Kaprekar	Nombre égal à la somme des parties droite et gauche portée à une puissance. >>>	2025 = 45^2 & 20 + 25 = 45

Voir Somme-Produit des chiffres – Toutes les autres possibilités

NOMBRES NARCISSIQUES
Définition Nombre égal à la somme de ses n chiffres chacun élevé à la puissance n. Les vrais narcissiques sont ceux k chiffres avec la puissance k. Exemples
1 =	1^1	10 cas: Tous les chiffres
n =	a^2 + b^2	0 cas
153 =	1^3+ 5^3+ 3^3
370 =	3^3+ 7^3+ 0^3	4 cas
371 =	3^3+ 7^3+ 1^3
407 =	4^3+ 0^3+ 7^3
1 634 = 8 208 = 9 474 =	1^4+ 6^4+ 3^4+ 4^4 8^4+ 2^4+ 0^4+ 8^4 9^4+ 4^4+ 7^4+ 4^4	3 cas
4150 = 4151 = 54 748 = 92 727 = 93 084 = 194 979 =	4^5+ 1^5+ 5^5+ 0^5 4^5+ 1^5+ 5^5+ 1^5 5^5+ 6^5+ 3^5+ 4^5+ 8^5 9^5+ 2^5+ 7^5+ 2^5+ 7^5 9^5+ 3^5+ 0^5+ 8^5+ 4^5 1^5+ 9^5+ 4^5+ 9^5+ 7^5 + 9^5	2 cas (4 chiffres à la puissance 4) – dits Armstrong de quatrième espèce. + 4 cas vrais (5 chiffres à la puissance 5) – dits Armstrong de première espèce.
548 834 =	5^6+ 4^6+ 8^6+ 8^6+ 3^6+ 4^6	1 cas
1 741 725 = 4 210 818 = 9 800 817 = 9 926 315 = 14 459 929 =	1^7+ 7^7+ 4^7+ 1^7+ 7^7+ 2^7+ 5^7 = 1 + 823 543 + 16 384 + 1 + 823 543 + 128 + 78 125 Etc.	5 cas
24 678 050 = 24 678 051 = 88 593 477 =	= 2^8 + 4^8 + 6^8 + 7^8 + 8^8 + 0^8 + 5^8 + 0^8 Etc.
146 511 208 =	…

Nombres d'Armstrong Il y a exactement 88 nombres narcissiques vrais (ou Armstrong). Le plus grand a 39 chiffres. Voir Explications et liste

Programme Maple

Commentaires Réinitialisation du logiciel. Lancement de la boucle d'analyse des nombres n. Conversion de n en N, la liste des chiffres de n avec q la quantité de chiffres. Calcul de la somme des chiffres de n à la puissance égale à la quantité de chiffres (q). Si cette somme (S) est égale à n, alors on imprime la liste. Fin de boucle (od, qui est le do à l'envers). En bleu, le résultat du traitement pour la plage spécifiée pour n

Voir Somme des puissances des chiffres  / Narcissiques en couple / Boucles en cubes

Voir Programmation – Index

Cas de 153, 165033, …
Cette suite d'égalité est infinie. Voir Brève 689 / Nombre 153 Voyons pourquoi en examinant chaque nombre.

CYCLE NARCISSIQUE d'ordre 3

Cycle

Le cycle consiste à calculer la somme des cubes des chiffres d'un nombre puis la somme des cubes des chiffres de cette somme; etc.

Exemple pour 2

2	Somme des cubes des chiffres
8	8
512	125 + 1 + 8 = 134
134	1 + 27 + 64 = 92
92	729 + 8 = 737
737	343 + 27 + 343 = 713
713	343 + 1 + 27 = 371
371	Mêmes chiffres, soit même total

Ici, le cycle narcissique du 2 se termine par le nombre narcissique 371.

Exemple avec 3

Voir Brève de maths 210 / Procédé itératif de Kaprekar

Anglais: The digit cube sum problem

Quelques cycles avec la somme des chiffres au cube
Propriété Tous les nombres divisibles par 3 ont un cycle qui se termine par 153. La table à droite montre quelques exemples: le nombre de départ, les sommes successives et la longueur du cycle. Voir aussi Tableau Excel Records: nombre de départ, quantité de cycle, [cycle] 3, 3, [27, 351, 153] 6, 10, [216, 225, 141, 66, 432, 99, 1458, 702, 351, 153] 117, 11, [345, 216, 225, 141, 66, 432, 99, 1458, 702, 351, 153] 177, 13, [687, 1071, 345, 216, 225, 141, 66, 432, 99, 1458, 702, 351, 153] 12 558, 14, [771, 687, 1071, 345, 216, 225, 141, 66, 432, 99, 1458, 702, 351, 153] Aucun cycle plus long jusqu'à cent millions. Résultat de mon test en environ une heure de calculs. Shyam Sunder Gupta indique que l'on atteint 15 avec le nombre 44499999999999999999 = 43917.

Exemple avec les premiers nombres

En tête de colonne, le nombre de départ (de 1 à 20).

En jaune, arrêt sur un nombre narcissique.

En rose, boucle

En rouge, nombre déjà rencontré dans les colonnes précédentes.

Notes:

Le nombre 13 fait apparaître un cycle avec 133. Les ésotéristes y voient une signification. Le nombre 153 est aussi important pour eux.

Cycle narcissique aboutissant à 1

Tous les nombres jusqu'à 10 000 dont le cycle se termine par 1 et la quantité nécessaire de boucle

La somme 1 du premier coup est triviale pour les puissances de 10.

En deux cycles, on trouve tous les nombres dont la somme des chiffres est une puissance de10. Ex: 1234 => 1³ + 2³ + 3³ + 4³ = 1 + 8 + 27 + 64 = 100.

Le plus petit nombre exigeant 5 itérations est 13 477 et les suivant (hors permutations) est 17 779.

Quelques cycles particuliers

La somme des cubes des quatre premiers chiffres est égale à 100.

Tous les repdigit, comme tous les multiples de 3, ont un cycle narcissique qui aboutit à 153.

Cycles doubles ou triples

Le nombre 919 donne un cycle narcissique à 2 nombres

Le nombre 55 donne un cycle narcissique à 3 nombres

Etc.

Puissance	Départ	Suite	Quantité
2	4	4, 16, 37, 58, 89, 145, 42, 20.	8
3	55	133, 55	2
	136	244, 136	2
	160	217, 352, 160	3
	919	1459, 919	2
4	1138	4179, 9219, 13139, 6725, 4338, 4514, 1138	7
	2178	6514, 2178	2

Records de cycles 3-narcissiques dont les nombres sont tous différents

Longueur du cycle, CYCLE, altitude maximale

8, [2, 8, 512, 134, 92, 737, 713, 371] – 512

11, [6, 216, 225, 141, 66, 432, 99, 1458, 702, 351, 153] – 1 458

12, [68, 728, 863, 755, 593, 881, 1025, 134, 92, 737, 713, 371] – 1 025

14, [177, 687, 1071, 345, 216, 225, 141, 66, 432, 99, 1458, 702, 351, 153] – 1 458

15, [12558, 771, 687, 1071, 345, 216, 225, 141, 66, 432, 99, 1458, 702, 351, 153] – 12 558

Fin, à ma connaissance !

Énigme

Quatorze voitures d’une grande administration sont rangées l’une derrière l’autre sur le parking officiel de la Préfecture. Je remarque qu’elles portent toutes un numéro d’immatriculation différent, inférieur à 1500, mais aussi, chose étonnante, que le numéro de chacune est égal à la somme des cubes des chiffres du numéro de la voiture placée devant elle. Quel est le numéro de la cinquième voiture ?

Réponse par lecture de la liste ci-dessus: 177, 687, …

Énigme communiqué par Roger Rigaud

Voir Brève 844

Suite	Somme des carrés des chiffres Somme des chiffres des puissances Nombres de Dudeney Monstre de Taneja Somme-Produit des chiffres – Index
Voir	Automorphiques Facteurs sans zéro Nombres et puissances de leurs chiffres Palindromes Pannumériques Partition en puissance
Site	Nombres narcissiques – Tangente – Gianni Sarcone Nombre narcissique – Wikipédia Narcissistic number – Wolfram MathWorld Narcissic numbers – Harvey Heinz A brief introduction to Armstrong numbers – M.F. Armstrong – Définition des quatre espèces OEIS A005188 – Armstrong (or Plus Perfect, or narcissistic) numbers: m-digit numbers equal to sum of m-th powers of their digits (a finite sequence, the last term being OEIS A098870 – Sum of the cubes of the digits of the previous term, starting with 2 The Digits Cube Sum Problem
Cette page	http://villemin.gerard.free.fr/Wwwgvmm/Formes/Narcissi.htm