Nombres de Markov

Approche
Les premières solutions de l'équation de Markov: Normalisation Les trois variables x, y et z sont permutables. On ne considère que les solutions, dites normalisées, telles que:	x² + y² + z² = 3 x y z 1² + 1² + 1² = 3 x 1 x 1 x 1 = 3 1² + 1² + 2² = 3 x 1 x 1 x 2 = 6 1² + 2² + 5² = 3 x 1 x 2 x 5 = 30 1² + 5² + 13² = 3 x 1 x 5 x 13 = 195
=> Triplets de Markov	(1, 1, 1) (1, 1, 2) (1, 2, 5) ….
=> Nombres de Markov	1, 2, 5, 13, …

Valeurs
Nombres de Markov (m)	1, 2, 5, 13, 29, 34, 89, 169, 194, 233, 433, 610, 985, 1 325, 1 597, 2 897, 4 181, 5 741, 6 466, 7 561, 9 077, 10 946, 14 701, 28 657, 33 461, 37 666, 43 261, 51 641, 62 210, 75 025, 96 557, 135 137, 195 025, 196 418, 294 685, 426 389, 499 393, 514 229, 646 018, 925 765, …
Triplets de Markov (x, y, z) chacun suivi de la somme des trois carrés	1, 1, 1; 3 Les deux premiers triplets sont traités à part; 1, 1, 2; 6 Ce sont les deux seuls avec des chiffres identiques. 1, 2, 5; 30 1, 5, 13; 195 1, 13, 34; 1 326 1, 34, 89; 9 078 1, 89, 233; 62 211 1, 233, 610; 426 390 2, 5, 29; 870 2, 29, 169; 29 406 2, 169, 985; 998 790 5, 13, 194; 37 830 5, 29, 433; 188 355 …

Propriétés

Distincts

Les trois entiers d'un triplet de Markov sont distincts, sauf pour les deux premiers.

Dans un triplet de Markov, deux valeurs sont communes à trois autres triplets.

Unicité

On conjecture que: pour un nombre de Markov z donné, il n'existe qu'une seule solution normalisée, z étant le plus grand nombre du triplet.

=> Il n'existerait pas deux triplets tels que:
(x, y, z) et (v, w, z).

À ce jour (2017), la conjecture n'est que partiellement démontrée.

Propagation – Filiation

Si (x, y, z) est un triplet de Markov,
alors (x, y, 3xy – z) l'est aussi.

Il existe donc une infinité de nombres de Markov.

En effet:

x² + y² + (3xy – z)² = 3xy (3xy – z)

x² + y² + 9x²y² – 6xyz + z² = 9x²y² – 3xyz

x² + y² + z² = 3xyz

(1, 2, 5) => (1, 2, 6 – 5) = (1, 1, 2)

(1, 5, 13) => (1, 5, 15 – 13) = (1, 2, 5)

Relation

Exemple

(1, 2, 5) => (1² + 2²) / 5 = 1

et 3x1x2 – 5 = 1

Triplet de Markov-Fibonacci et

Triplets de Markov-Pell

(1, F_{2n
– 1} , F_{2n + 1} )

(2, P_{2n
– 1} , P_{2n + 1} ) >>>

Divers

Les trois nombres du triplet sont premiers entre eux (hors les deux premiers).

Un nombre de Markov impair est égal à 1 modulo 4.

Un nombre de Markov pair est égal à 2 modulo 4.

L'équation de Markov est un cas particulier de l'équation d'Urwitz:

Qui n'a pas de solution pout A > n

Construction

Avec la formule de propagation, construction d'un nouveau nombre de Markov:

(x, y, z) devient (x, y, 3xy – z)

Avec le triplet normalisé (1, 2, 5), on construit le nouveau nombre de Markov: 13

Et le nouveau triplet de Markov: (1, 5, 13)

Règle

Prendre deux nombres de régions contigües pour x et y (1 et 5) et prendre le nombre de la région "en arrière" pour z (2). Faire l'opération 3xy – z. Puis ordonner par nombres croissants (normalisation).

Poursuite de l'exemple

Avec la construction du nombre 29 et du triplet (2, 5, 29)

Filiation

Sauf pour les deux premiers triplets, tout triplet a exactement deux "fils":

(x, y, z) => (x, z, 3xz – y) et (y, z, 3yz – x)

(1, 2, 5) => (1, 5, 13) et (2, 5, 29)

Construction des premiers triplets selon cette filiation:

Arbre de Markov

Construction des cinq premiers étages de l'arbre de Markov

En noir (haut-gauche), deux exemples de calcul.

Trois nombres de zones contigües forment un triplet, comme:

(1, 2, 5; 30), (1, 34, 89; 9 078), (2, 29, 169; 29 406) ou (29, 169, 14 701; 216 148 803).

Propriétés

Markov a démontré que cette méthode construit tous les nombres de Markov.

Tous les nombres de cet arbre sont uniques, ce qui tendrait à confirmer la conjecture d'unicité.

La branche du bas est faite des nombres de Fibonacci, un sur deux:
2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1 597, …

La branche du haut est faite des nombres de Pell, un sur deux: 2, 5, 12, 29, 70, 169, 408, 985, 2 378, 5 741, 13 860, 33 461, 80 782, 195 025, 470 832, …

Nombres de Lagrange**
Les nombres de Markov sont utilisés dans la théorie de l'approximation rationnelle des nombres irrationnels.
Nombres de Lagrange
Lagrange a démontré qu'il existe une infinité d'approximations p/q d'un nombre réel r tel que:
Avec certaines hypothèses, le degré d'approximation peut être affiné avec les nombres de Markov successifs.
Cette théorie fait également intervenir le nombre de Friedman. Tous les nombres réels supérieurs à cette valeur sont approximables par l'inégalité de Lagrange.

Voir Réduites des principales constantes / Autres nombres de Friedman

Suite	Nombres selon leur type
Voir	Équations diophantiennes Nombre premiers Nombres de Carol et nombres de Kynea Nombres de Fibonacci Nombres de Pell Triplets de Pythagore
Livre	The Book of Numbers – John Conway and Richard Guy – Copernicus – 1996 – Pages 187 à 189
Site	Nombre de Markov – Wikipédia L'équation d'Hurwitz – Christophe Rose – 2006 OEIS A002559 – Markoff (or Markov) numbers: union of positive integers x, y, z satisfying x^2 + y^2 + z^2 = 3xyz. Markov numbers – Tom Ace Markov numbers – Wolfram MathWorld Lagrange numbers – Wolfram MathWorld
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