NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

 

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NOMBRES

 

Débutants

Puissance

Type PUISSANCE

 

Glossaire

Puissance

 

 

INDEX

Nombres en puissance

 

Puissance

 

Mersenne

Fermat

Carol et Kynea

Markov

 

Sommaire de cette page

>>> Approche

>>> Valeurs

>>> Propriétés

>>> Construction

>>> Arbre de Markov

>>> Nombre de Lagrange

 

 

 

 

Nombres de MARKOV

 

Nombres entiers positifs solutions de x² + y² + z² = 3 x y z

Une infinité de solutions dont la construction est originale.

Où il est question de Fibonacci et Pell.

 

Exemple d'une équation de Markov

(1, 2, 5) est un triplet de Markov

1, 2 et 3 sont des nombres e Markov

Andreï Markov (1856-1922) ou Markoff

Anglais: Markov numbers

 

 

Approche

 

Les premières solutions de l'équation de Markov:

 

Normalisation

Les trois variables x, y et z sont permutables.

On ne considère que les solutions, dites normalisées, telles que:

 

 

x² + y² + z² = 3 x y z

 

1² + 1² + 1² = 3 x 1 x 1 x 1 = 3

1² + 1² + 2² = 3 x 1 x 1 x 2 = 6

1² + 2² + 5² = 3 x 1 x 2 x 5 = 30

1² + 5² + 13² = 3 x 1 x 5 x 13 = 195

 

 

 

=> Triplets de Markov

(1, 1, 1)

(1, 1, 2)

(1, 2, 5)

….

=> Nombres de Markov

1, 2, 5, 13, …

 

 

 

Valeurs

Nombres de Markov
(m)

1, 2, 5, 13, 29, 34, 89, 169, 194,

233, 433, 610, 985,

1 325, 1 597, 2 897, 4 181, 5 741, 6 466, 7 561, 9 077,

10 946, 14 701, 28 657, 33 461, 37 666, 43 261,

51 641, 62 210, 75 025, 96 557,

135 137, 195 025, 196 418, 294 685, 426 389, 499 393,

514 229, 646 018, 925 765, …

Triplets de Markov
(x, y, z)
chacun suivi de la somme des trois carrés

1, 1, 1; 3 Les deux premiers triplets sont traités à part;

1, 1, 2; 6    Ce sont les deux seuls avec des chiffres identiques.

1, 2, 5; 30

1, 5, 13; 195

1, 13, 34; 1 326

1, 34, 89; 9 078

1, 89, 233; 62 211

1, 233, 610; 426 390

2, 5, 29; 870

2, 29, 169; 29 406

2, 169, 985; 998 790

5, 13, 194; 37 830

5, 29, 433; 188 355

 

 

Propriétés

 

Distincts

Les trois entiers d'un triplet de Markov sont distincts, sauf pour les deux premiers.

Dans un triplet de Markov, deux valeurs sont communes à trois autres triplets.

 

 

Unicité

On conjecture que: pour un nombre de Markov z donné, il n'existe qu'une seule solution normalisée, z étant le plus grand nombre du triplet.

=> Il n'existerait pas deux triplets tels que:
(x, y, z) et (v, w, z).

 

À ce jour (2017), la conjecture n'est que partiellement démontrée.

 

Propagation – Filiation

Si (x, y, z) est un triplet de Markov,
alors (x, y, 3xy – z) l'est aussi.

Il existe donc une infinité de nombres de Markov.

 

En effet:

x² + y² + (3xy – z)²  = 3xy (3xy – z)

x² + y² + 9x²y² – 6xyz + z² = 9x²y² – 3xyz

x² + y² + z² = 3xyz

 

(1, 2, 5) => (1, 2, 6 – 5) = (1, 1, 2)

(1, 5, 13) => (1, 5, 15 – 13) = (1, 2, 5)

Relation

Exemple

(1, 2, 5)    => (1² + 2²) / 5 = 1

                   et 3x1x2 – 5 = 1

Triplet de Markov-Fibonacci et

Triplets de Markov-Pell

(1, F2n – 1 , F2n + 1 )

(2, P2n – 1 , P2n + 1 )   >>>

Divers

*       Les trois nombres du triplet sont premiers entre eux (hors les deux premiers).

*       Un nombre de Markov impair est égal  à 1 modulo 4.

*       Un nombre de Markov pair est égal à 2 modulo 4.

*       L'équation de Markov est un cas particulier de l'équation d'Urwitz:

Qui  n'a pas de solution pout A > n

 

 

 

Construction

 

Avec la formule de propagation, construction d'un  nouveau nombre de Markov:

 

(x, y, z) devient (x, y, 3xy – z)

 

Avec le triplet normalisé (1, 2, 5), on construit le nouveau nombre de Markov: 13

Et le nouveau triplet de Markov: (1, 5, 13)

Règle

Prendre deux nombres de régions contigües pour x et y (1 et 5) et prendre le nombre de la région "en arrière" pour z (2). Faire l'opération 3xy – z. Puis ordonner par nombres croissants (normalisation).

 

Poursuite de l'exemple

Avec la construction du nombre 29 et du triplet (2, 5, 29)

Filiation

Sauf pour les deux premiers triplets, tout triplet a exactement deux "fils":

(x, y, z) => (x, z, 3xz – y) et (y, z, 3yz – x)

(1, 2, 5) => (1, 5, 13) et (2, 5, 29)

 

Construction des premiers triplets selon cette filiation:

 

 

Arbre de Markov

 

Construction des cinq premiers étages de l'arbre de Markov

 

En noir (haut-gauche), deux exemples de calcul.

Trois nombres  de zones contigües forment un triplet, comme:

(1, 2, 5; 30), (1, 34, 89; 9 078),  (2, 29, 169; 29 406) ou (29, 169, 14 701; 216 148 803).

 

Propriétés

 

Markov a démontré que cette méthode construit tous les nombres de Markov.

Tous les nombres de cet arbre sont uniques, ce qui tendrait à confirmer la conjecture d'unicité.

 

La branche du bas est faite des nombres de Fibonacci, un sur deux:
2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1 597, …

 

La branche du haut est faite des nombres de Pell, un sur deux: 2, 5, 12, 29, 70, 169, 408, 985, 2 378, 5 741, 13 860, 33 461, 80 782, 195 025, 470 832, …

 

 

 

Nombres de Lagrange**

Les nombres de Markov sont utilisés dans la théorie de l'approximation rationnelle des nombres irrationnels.

Nombres de Lagrange

 

 

Lagrange a démontré qu'il existe une infinité d'approximations p/q d'un nombre réel r tel que:

Avec certaines hypothèses, le degré d'approximation peut être affiné avec les nombres de Markov successifs.

Cette théorie fait également intervenir le nombre de Friedman.

Tous les nombres réels supérieurs à cette valeur sont approximables par l'inégalité de Lagrange.

Voir Réduites des principales constantes / Autres nombres de Friedman

 

 

 

Suite

*         Nombres selon leur type

Voir

*         Équations diophantiennes

*         Nombre premiers

*         Nombres de Carol et nombres de Kynea

*         Nombres de Fibonacci

*         Nombres de Pell

*         Triplets de Pythagore

Livre

*         The Book of Numbers – John Conway and Richard Guy – Copernicus – 1996 – Pages 187 à 189

Site

*         Nombre de Markov – Wikipédia

*         L'équation d'Hurwitz – Christophe Rose – 2006  

*         OEIS A002559 – Markoff (or Markov) numbers: union of positive integers x, y, z satisfying x^2 + y^2 + z^2 = 3xyz.

*         Markov numbers – Tom Ace

*         Markov numbers – Wolfram MathWorld

*         Lagrange numbers – Wolfram MathWorld

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http://villemin.gerard.free.fr/aNombre/PUISSANC/Markov.htm