NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

 

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Sommaire de cette page

>>> Nombres de Coster – Définition

>>> Nombres de Coster de 0 à 199

>>> Liste développée pour les nombres de 1 à 199

>>> Nombres à plus de deux chiffres

 

 

 

 

Nombres de COSTER

 

Nombres égaux à leurs chiffres calculés, deux fois. Cousins des nombres de Friedman, égaux à leurs chiffres calculés une fois.

 

 

Historique: Ces nombres ont été introduit en 2006 comme énigme dans le journal hollandais "Pythagoras", d'après une idée d'un de ses rédacteurs nommé Matthijs Coster, d'où le nom de la suite.

 

Anglais: Coster Numbers / Néerlandais: Costergetallen

 

 

           

Nombres de Coster

 

Définition

Un nombre de Coster est un entier qu'on peut recalculer en utilisant deux fois tous les chiffres du nombre, ainsi que les opérations +, -, * et :, ainsi que ( ) .

 

Remarquez qu'il y a une certaine ressemblance avec les nombres de Friedman, mais le type des opérations autorisées est plus limité.

 

 

Règles

1. Il faut utiliser tous les chiffres sans exception exactement deux fois dans un ordre quelconque;

2. Des opérations comme  racine carrée, factorielle, exposant,... ne sont pas autorisée.
Ex: 24 =  4! + (4 - 2 - 2) est interdit; et,

3. Concaténer des chiffres pour former un nombre n'est pas permis.
Ex: 34 = 33 + 4/4 est interdit.

 

 

 

 

Nombres de Coster de 0 à 199

 

Nombres de Coster à 1 chiffre

Ils sont 2 seulement: 0 et 1.

 

Nombres de Coster à 2 chiffres

 

Ils sont 36 à se conformer à la règle de formation: 25 réguliers et, au moins, 11 supplémentaires non-réguliers.

 

Motifs réguliers

Un nombre à deux chiffres s'écrit: n = 10d + u.

On peut reformer cette configuration des trois manières suivantes:

 

 

Liste des nombres de Coster de 0 à 199.

En bleu: trois nombres consécutifs au moins.

0, 1,

13, 14, 15,

18, 19, 24, 25, 26, 28, 29,

35, 36, 37,

39, 45, 46, 48, 49, 52, 55, 59,

64, 65, 66,

69, 73, 75, 78, 79, 81, 82, 85, 89, 91, 95, 99,

125, 126, 127, 128, 129,

134, 135, 136, 137, 138,

143, 144, 145, 146, 147, 148, 149,

152, 153, 154,  155, 156, 157, 158, 159,

162, 163, 164, 165,

167, 168, 169,

172, 173, 174, 175, 176,

178, 179,

182, 183, 184, 185, 186,

189,

192, 193, 194, 195, 196, 197,

199

 

Quantité

Il y en a une infinité dont 89 jusqu'à 199.

 

Liste selon type avec présentations multiples

 

 

Liste développée pour les nombres de 1 à 199

Source Prijsvragen van Pythagoras – Matthijs Coster - 2008

 

 

Nombres à plus de deux chiffres

 

 

Exemples

 

144 = 4 x 4 x (4 – 1) (4 – 1) = 16 x 9

193 = 1 + (9 – 1)  (9x3 – 3) = 1 + 8 x 24

256 = (2x5 + 6)  (2x5 + 6) = 16²

59 049 = 9 x 9 x 9 x 9 x (5 + 4) (5 – 4) + 0 + 0 = 95

127 750 = 5 x 5 x 7 x 2 (7 x (7x7 + 2 + 1) + 1) + 0 + 0

               = 175 x 2  7 x 52 + 1)

               = 175 x 2 x 365

 

 

 

Motifs infinis

45 = (4 + 4) x 5 + 5 = 8 x 5 + 5 = 40 + 5

 

4545 = 5 x (4+5) x (4 x 5 x 5 + 4/4)

           = 5 x 9 x (100 + 1) = 45 x 101

 

454545 = 5 x (4+5) x ((4 x 4 x 5 x 5 + 4) x 5 x 5+4/4)

                = 5 x 9 x (404 x 25 + 1) = 45 x 10 101

 

45454545 = 5 x (4+5)

x (((4 x 4 x 5 x 5 + 4) x 4 x 5 x 5 + 4) x 5 x 5 + 4/4)

= 45 x ((404 x 100+4) x 25 + 1)

= 45 (40404 x 25 + 1)

= 45 x 1 010 101

 

Propriétés de ces nombres en 45

Point de départ du calcul des formules itératives ci-dessus.

 

 

 

Autre motif de David de Kloet

Exemples

Pour n = 1 => 889                 555                                 556

Pour n = 2 => 888 889         555 555 555                 556

Pour n = 3 => 888 888 889 555 555 555 555 555 556

 

Développement pour n = 2


 

Soit: 7 "8" pour dix; 19 "5" pour 22, 2 "9" pour 2; et, 1 "6" pour 2.

L'astuce consiste à ajouter 0 avec une expression contenant la quantité nécessaire de chiffres, comme:

Source: Livre Special Cases of Coster Numbers (entrez cette phrase dans un moteur de recherche)
D'autres propriétés y  sont analysées

 

 

 

 

 

 

 

Merci à Jos Heynderickx pour sa contribution à la rédaction de cette page

 

 

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Livre

*        Coster numbers – Chapitre du livre: Half a Century of Pythgoras Magazine – Alex Van Den Brabdhol, Jan Guichelaar, Arnout Jaspers – 2015 – Chapitre accessible sur Internet

Sites

*        OEIS A106007Coster numbers: similar to Friedman numbers (A036057), but here the operations + - * / are allowed. All digits of a number have to be used exactly twice.

*        De Coster–getallen, de Pythagoras prijsvraag - Matthijs Coster

*        Coster Gestallen – 2006 – Néerlandais

*        Pythagoras – April 207

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http://villemin.gerard.free.fr/aNombre/MOTIF/Coster.htm