NOMBRES - Curiosités, théorie et usages Accueil DicoNombre Rubriques Nouveautés Édition du: 22/01/2012 Orientation générale  DicoMot Math Atlas Références M'écrire Barre de recherche DicoCulture Index alphabétique
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	Sommaire de cette page >>> Approche >>> Palindromes retard pour les nombres à 2 chiffres  >>> Cas de 121 >>> Exemple avec 89 >>> Cas général >>> Pannumérique

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PALINDROMES à RETARD

ou

PALINDROME à RETOURNEMENT

Itération capable de produire de nombreux palindromes.

Anglais: 196-Algorithm (Wolfram)

APPROCHE

Procédé Prendre un nombre et son inversé (on dit aussi retourné). Faire la somme des deux. Prendre la somme et son inversée. Les ajouter. Recommencer jusqu'à trouver un Palindrome. La probabilité est grande que vous formiez un palindrome plus ou moins rapidement. Exemples 12 + 21 = 33 123 + 321 = 444 456 + 654 = 1110; 1110 + 0111 = 1221 Notation Selon la quantité d'itération nous donnerons un indice pour baptiser le palindrome: P0 Palindrome naturel. P1 Palindrome obtenu avec une itération. Pn Palindrome obtenu avec n itérations.

Exemples
N départ	Opérations			Ordre
121				0 =>	P0
423	423	+ 324	= 747	1 =>	P1
4782	4782  7656 14223	+ 2874 + 6567 + 32241	= 7656 = 14223 = 46464	1 2 3 =>	P3
87	87  165 726 1353	+ 78 + 561 + 627 + 3531	= 165 = 726 = 1353 = 4884	1 2 3 4 =>	P4
1284	1284 6105 11121	4821 5016 12111	= 6105 = 11121 = 23232

Palindromes retard pour les nombres à 2 chiffres
Lecture Sur la ligne du haut les palindromes d'arrivée ; En dessous, tous les nombres de départ possibles. Exemples 10 donne 11 en une seule fois car 10 + 01 = 11. 29 donne 121 en 1 fois et, 19 donne aussi 121, mais en 2 fois.

Table

11	22	33	44	55	66	77	88	99	121	363	484	1111	4884	44044	>10^9
10		12	13	14	15	16	17	18						1 FOIS
	20	21		23	24	25	26	27	29
		30	31	32		34	35	36	38
			40	41	42	43		45	47
				50	51	52	53	54	56
					60	61	62	63	65
						70	71	72	74
							80	81	83
								90	92
									19					2 FOIS
									28
									37	39
									46	48	49
										57	58
									64		67
									73	75	76
									82	84	85
									91	93	94
												59		3 FOIS
												68
												86
												95
													69	4 FOIS
													78
													87
													96
										6 FOIS				79
														97
															89
										>15 FOIS					98

Cas de 121

De nombreux nombres donnent 121 en palindrome retard:

1211 :	29	38	47	56	65	74	83	92
1212 :	19	28	37	46	64	73	82	91

Curiosité avec les chiffres qui se suivent:

121	1211	123 1	124 1	125 1	126 1	127 1
56	457	4567	34 567	345 678	2 345 678	23 456 789

Explication

56 donne 121 en palindrome retard 

457 donne 1211 (exception)

4567 donne 12221 = 12₃1 

Etc.

Cas de 89 – Grand nombre d'itérations
Départ avec 89 et résultats des itérations successives: 89 187 968 1837 9218 17347 91718 173437 907808 1716517 8872688 17735476 85189247 159487405 664272356 1317544822 3602001953 7193004016 13297007933 47267087164 93445163438 176881317877 955594506548 1801200002107 8813200023188 Palindrome de 13 chiffres obtenu en 25 étapes.

CAS GÉNÉRAL – Toujours une solution?

Est-ce que tous les nombres aboutissent à un palindrome ? Voici quelques statistiques sur les nombres à 3 chiffres: 735 sont palindromes en moins de 5 opérations; 6 ont plus d'un million de chiffres, 50 000 opérations et toujours pas de palindromes avec eux Ce sont: 196, 879, 1997, 7059, 10553 et 10563. Pour 196, dix millions d'itérations donnent un nombre de 4 millions de chiffres, mais toujours non palindrome. En binaire, Roland Sprague a prouvé que certains nombres non pas de palindrome à retard. Exemple: 10110 (22 en décimal) ne donne jamais un palindrome. En base 4, on trouve également des séquences infinies. Exemple: 255 en décimal.

PANNUMÉRIQUE – Amusement

n	Pr	n	Pr
12	33
123	444	23	55
1234	55555	234	666
12345	666666	2345	7777
123456	7777777	23456	88888
1234567	88888888	234567	999999
12345678	999999999	2345678	12222221

Voir Pannumériques

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Suite	Palindrome produit
Voir	Retournement magique Procédé de Kaprekar Récurrence
Aussi	Multiplication Calcul mental – Index
DicoNombre	Nombre 121 Nombre 196
Site	Pour dossier complet sur les palindromes: Voir site complet de Patrick De Geest