NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

 

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Général

Forme des nombres

Glossaire

Général

 

PALINDROMES

 

 

 

Index général

 

>>> INDEX

 

Introduction

Triangles

Carrés

Cubes

Premiers

Retard

Produit

Division

Dates

Palinquad

11, 101, 111 …

Programmation

Langue

Numéro

Année 2011

 

Sommaire de cette page

>>> Approche

>>> Palindromes retard pour les nombres à 2 chiffres 

>>> Cas de 121

>>> Exemple avec 89 

>>> Cas général

>>> Pannumérique

 

 

 

 

 

PALINDROMES à RETARD

ou

PALINDROME à RETOURNEMENT

 

Itération capable de produire de nombreux palindromes.

Anglais: 196-Algorithm (Wolfram)

 

  

APPROCHE

 

Procédé

*      Prendre un nombre et son inversé  (on dit aussi retourné).

Faire la somme des deux.

Prendre la somme et son inversée.

Les ajouter.

Recommencer jusqu'à trouver un Palindrome.

 

*      La probabilité est grande que vous formiez un palindrome plus ou moins rapidement.

 

Exemples

*    12 + 21 = 33

*    123 + 321 = 444

*    456 + 654 = 1110; 1110 + 0111 = 1221

 

Notation

*      Selon la quantité d'itération nous donnerons un indice pour baptiser le palindrome:

                             P0           Palindrome naturel.

                             P1           Palindrome obtenu avec une itération.

                             Pn           Palindrome obtenu avec n itérations.

 

 

 

Exemples

N départ

Opérations

Ordre

121

 

 

 

 0 =>

P0

423

423 

+ 324

= 747

1 =>

P1

4782

 

 

4782 

7656

14223

+ 2874

+ 6567

+ 32241

= 7656

= 14223

= 46464

1

2

3 =>

 

 

P3

87

87 

165

726

1353

+ 78

+ 561

+ 627

+ 3531

= 165

= 726

= 1353

= 4884

1

2

3

4 =>

 

 

 

P4

1284

1284

6105

11121

4821

5016

12111

= 6105

= 11121

= 23232

 

 

 

  

Palindromes retard pour les nombres à 2 chiffres

 

Lecture

*      Sur la ligne du haut les palindromes d'arrivée ;

*      En dessous, tous les nombres de départ possibles.

 

Exemples 

*    10 donne 11 en une seule fois car 10 + 01 = 11.

*    29 donne 121 en 1 fois et,
19 donne aussi 121, mais en 2 fois.

 

 

 

Table

 

11

22

33

44

55

66

77

88

99

121

363

484

1111

4884

44044

>109

10

 

12

13

14

15

16

17

18

 

 

 

 

 

1 FOIS

 

 

20

21

 

23

24

25

26

27

29

 

 

 

 

 

 

 

 

30

31

32

 

34

35

36

38

 

 

 

 

 

 

 

 

 

40

41

42

43

 

45

47

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

50

51

52

53

54

56

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

60

61

62

63

65

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

70

71

72

74

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

80

81

83

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

90

92

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

19

 

 

 

 

2 FOIS

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

28

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

37

39

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

46

48

49

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

57

58

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

64

 

67

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

73

75

76

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

82

84

85

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

91

93

94

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

59

 

3 FOIS

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

68

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

86

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

95

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

69

4 FOIS

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

78

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

87

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

96

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

6 FOIS

 

79

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

97

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

89

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

>15 FOIS

 

 

98

 

 

 

Cas de 121

 

*      De nombreux nombres donnent 121 en palindrome retard:

 

1211 :

29

38

47

56

65

74

83

92

121:

19

28

37

46

64

73

82

91

  

*      Curiosité avec les chiffres qui se suivent:

 

121

1211

123 1

124 1

125 1

126 1

127 1

56

457

4567

34 567

345 678

2 345 678

23 456 789

 

Explication 

56   donne    121 en palindrome retard 

457 donne    1211 (exception)

4567 donne 12221 = 123

Etc.

 

 

 

Cas de 89 – Grand nombre d'itérations

 

*      Départ avec 89 et résultats des itérations successives:

          89                               187                        968                        1837

          9218                           17347                    91718                   173437

          907808                      1716517               8872688               17735476

          85189247                  159487405           664272356          1317544822

          3602001953             7193004016        13297007933      47267087164

          93445163438           176881317877    955594506548    1801200002107

          8813200023188                                                                   

Palindrome de 13 chiffres obtenu en 25 étapes.

 

Curiosité: 89 est le 24e nombre premier, soit le 25e en y incluant exceptionnellement le nombre 1. Quant à 13, il apparait curieusement dans le décompte des nombres premiers.

Merci à David H.

 

 

  

 CAS GÉNÉRAL – Toujours une solution?

 

*      Est-ce que tous les nombres aboutissent à un palindrome ?
Voici quelques statistiques sur les nombres à 3 chiffres:
 

*    735 sont palindromes en moins de 5 opérations;

*        6 ont plus d'un million de chiffres, 50 000 opérations et toujours pas de palindromes avec eux

Ce sont: 196, 879, 1997, 7059, 10553 et 10563.

*      Pour 196, dix millions d'itérations donnent un nombre de 4 millions de chiffres, mais toujours non palindrome.

 

 

*      En binaire, Roland Sprague a prouvé que certains nombres non pas de palindrome à retard.

 

Exemple: 10110 (22 en décimal) ne donne jamais un palindrome.

 

*      En base 4, on trouve également des séquences infinies.

 

Exemple: 255 en décimal.

 

 

 

 PANNUMÉRIQUE – Amusement

 

 

n

Pr

 

n

Pr

12

33

 

 

123

444

23

55

1234

55555

234

666

12345

666666

2345

7777

123456

7777777

23456

88888

1234567

88888888

234567

999999

12345678

999999999

2345678

12222221

 

 

Voir Pannumériques

 

 

 

 

Suite

*    Palindrome produit

Voir

*    Retournement magique

*    Procédé de Kaprekar

*    Récurrence

Aussi

*    Multiplication

*    Calcul mentalIndex

DicoNombre

*    Nombre 121

*    Nombre 196

Site

*    Pour dossier complet sur les palindromes:

        Voir site complet de Patrick De Geest

Cette page

http://villemin.gerard.free.fr/Wwwgvmm/Formes/PalRetar.htm