NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

 

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Multiplication

 

 

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Sommaire de cette page

>>> Cas GÉNÉRAL – Deux chiffres

>>> Cas GÉNÉRAL – Trois chiffres

>>> Méthode du pivot

>>> Le truc pratique pour multiplier rapidement deux nombres quelconques

>>> Nombres proches de 100

 

>>> Cas de multiplications particulières

 

 

 

 

 

 

 

 

 MULTIPLICATIONS

des nombres à deux et trois chiffres

& Généralisation

 

On va examiner les méthodes utilisées par ceux qui calculent rapidement

notamment les Indiens (védiques).

Le calcul est optimisé selon les nombres à multiplier.

On utilise les identités remarquables.

 

Voir tout de suite de truc pratique pour la multiplication rapide >>>

 

 

Cas GÉNÉRAL – Deux chiffres

 

Méthode basée sur le même principe avec le développement à trois chiffres

(10a + b) (10x + y)

=

100     (a.x) +

10    (a.y + b.x) +

1         (b.y)

Voir Identités du premier degré

 

 Disposition pratique (mentale ou écrite)

Produit en colonne de droite / somme des produits en croix / produit en colonne de gauche

 

    

 

Cas des carrés (un peu de simplification)

     

 

 

 

Cas GÉNÉRAL – Trois chiffres

 

Méthode basée sur le même principe avec le développement à trois chiffres

(100a + 10b + c) (100x + 10y + z)

=

10000      (a.x) +

1000    (a.y + b.x) +

100 (a.z + b.y + c.x) +

10         (b.z + c.y) +

1               (c.z)

Voir Identités du premier degré

 

 

Disposition pratique (mentale ou écrite) avec aussi cas d'un carré

 

  

 

 

 

Résumé illustré

 

 

 

Le truc pratique pour multiplier deux nombres rapidement

Principe

Le principe a été vu sur deux exemples (2 et 3 chiffres).

Voici la généralisation et la méthode pratique de calcul.

Deux règles

 


 

Exemple détaillé

Disposition pratique avec l'habitude

On calcule de gauche à droite en posant les résultats de calcul mental sur deux lignes, les dizaines en haut et les unités en bas, en décalant d'un cran évidemment.

Ne reste plus qu'à faire l'adition finale.

 

 

Multiplication rapide à pivot

 

Disposition classique

 

Méthode élégante basée sur l'identité:

                    

 

Toute l'astuce consiste à choisir le pivot c, tel que le produit (a + c) (b – c) soit facile à calculer.

 

Dans le premier exemple avec 23 x 27, on calcule graphiquement cette opération:
23 x 27 = 30 x 20 + 7 x (23 + 7 – 27)
= 600 + 7 x 3
= 621

 

Dans le deuxième exemple, on montre qu'il est possible de choisir un pivot créant des écarts négatifs.

 

 

 

Autre disposition

 

De la multiplication désirée à gauche, on passe à la multiplication simplifiée à droite.

On corrige le résultat par le produit interne indiqué (rouge par bleu).

 

 

 

 

Multiplication rapide proche de 100

Procédé (cas des nombres inférieurs à 100)

 

*      Complément à 100 à droite u et v;

*      Produit u . v pour dizaines et unités; et

*      Somme u + v retirée des milliers et centaines

 

 

Exemple complet

 

 

Deux nombres inférieurs à 100:

Méthode basée sur l'identité:
(100 – x) (100 – y) =

10000 100(x + y) + xy

 

Deux nombres dépassant 100:
(100 – x) (100 – y) =

10000 + 100(x + y) + xy

 

Deux nombres autour de 100:
(100 – x) (100 + y) =

10000 + 100(x y) xy

 

Exemples pour calcul mental

Simple         /         Typique         /         Limite

Voir Nombre 100

 

 

 

 

Cas particuliers

 

Général

Mêmes Unités

Mêmes dizaines

Cas particuliers

Général

Aa x Bb

Au x Bu

Da x Db

A4 x B6

Avec 1

 

 

1a x 1b

 

5

 

A5 x B5

 

A5²

9

 

 

9a x 9b

 

Autres

 

 

 

A4 x A6

 

Rappel

27 peut se décomposer

en 20 + 7 ou 2 x 10 + 7

ou de manière générale

Aa devient 10A + a

On ne confondra pas dans cette page

Aa qui indique deux nombres concaténées

et A.a qui indique le produit de A par a.

 

 

AVEC MÊMES UNITÉS

 

Principe

Au . Bu

 

En décomposant dizaines et unités

 

= (10A + u) (10B + u)

 

 

= 100A.B + 10u (A+B) + u²

Exemple

12 x 32

 

Cent fois le produit des dizaines

 

100 x (1x3) =

300

Dix fois la somme des dizaines

multipliées par le chiffre des unités

 

10 (1 + 3)

x 2 =

80

Unité au carré

 

2² =

4

Total

 

 

384

 

Pratiquons

12 x 32

23 x 43

55 x 55

26 x 56

27 x 87

99 x 19

100AB

300

800

2 500

1 000

1 600

900

10 (A+B)u

80

180

500

420

700

900

4

9

25

36

49

81

Total

384

989

3 025

1 456

2 349

1 881

 

 

 

 

 

AVEC MÊMES UNITÉS égales à 5

 

Principe

A5 . B5

 

En décomposant dizaines et unités

 

= (10A + 5) (10B + 5)

 

 

= 100A.B + 50 (A+B) + 25

Exemple

15 x 35

 

Cent fois le produit des dizaines

 

100 x (1x3) =

300

Cent fois la demi- somme des dizaines

 

1/2 x 100 (1+3) =

200

ajoutez

 

 

25

Total

 

 

525

 

Pratiquons

15 x 35

25 x 25

55 x 55

55 x 75

95 x 95

125 x 245

100AB

300

400

2 500

3 500

8 100

28 800

10 (A+B)u

200

200

500

600

900

1 800

25

25

25

25

25

25

Total

525

625

3 025

4 125

9 025

30 625  

Note: le dernier exemple montre que la méthode vaut quel que soit le nombre de chiffres de A et B

 

 

 Cas particulier d'un carré en 5

 

Principe

A5 . A5

 

En décomposant dizaines et unités

 

= (10A + 5) (10A + 5)

= 100A² + 100A + 25

 

 

= 100A(A + 1) + 25

Exemple

15 x 15

 

Produit de la dizaine et de sa suivante

 

1 x 2 =

2

Cent fois ce produit

 

2 x 100 =

200

ajoutez 25

 

 

25

Total

 

 

225

 

Pratiquons

25 x 25

55 x 55

95 x 95

125 x 125

A (A+1)

2 x 3

5 x 6

9 x 10

12 x 13

100 fois

600

3000

9000

15 600

 

25

25

25

25

Total

625

3 025

9 025

15 625

Note: le dernier exemple montre que la méthode vaut quel que soit le nombre de chiffres de A et B

 

 

 

 

 

AVEC MÊMES DIZAINES

 

Principe

Da . Db

 

En décomposant dizaines et unités

 

= (10D + a) (10D + b)

= 100D² + 10D (a+b) + a.b

 

 

= 10D { 10D + a + b } + a.b

Exemple

25 x 27

 

Dix fois la dizaine plus les unités

 

20+5+7 =

32

multiplié par dix fois la dizaine fois

 

32 x 20 =

640

Plus produit des unités

 

 

35

Total

 

 

675

 

Pratiquons

22 x 25

42 x 43

51 x 56

88 x 89

99 x 99

x= 10D + a + b

27

45

570

97

108

x . D . 10

540

1 800

2 850

7 760

9 720

ab

10

6

6

72

81

Total

550

1 806

2 856

7 832

9 801

 

 

 

 

AVEC La MÊME DIZAINE égale à 1

 

Principe

1a . 1b

 

En décomposant dizaines et unités

 

= (10 + a) (10 + b)

= 100 + 10 (a+b) + a.b

= 10 { 10 + a + b } + a.b

Désignons par X le premier nombre à multiplier

X = 10 + a = 1a

 

= 10 { X + b } + a.b

Exemple

13 x 19

 

Le premier nombre plus l'unité du 2e

 

13 + 9 =

22

multiplié par dix

 

 

220

Plus produit des unités

 

 

27

Total

 

 

247

 

Pratiquons

11 x 11

12 x 15

13 x 17

14 x 18

19 x 19

X + b

12

17

20

22

28

10 X

120

170

200

220

280

ab

1

10

21

32

81

Total

121

180

221

252

361

 

 

 

 

 

AVEC MÊMES DIZAINES égales 9

 

 Principe

9a . 9b

 

On introduit les compléments

 à 100 de ces nombres

x =

y =

100 - 9a

100 - 9b

La multiplication devient

(100-x)(100-y) =

10 000 - 100 (x+y) +x.y

100 (100-x - y) + x.y

Soit N le premier nombre (9a)

 

100 (N - y) + x.y

Observons que

xy <

100

Bilan

Centaines

Unités

= N - y

= x.y

Exemple

93 x 97

 

x et y

 

7 et 3

 

Centaines

 

100 fois 93 - 3 =

9 000

Unités

 

7 x 3

21

Total

 

 

9 021

 

Pratiquons

99 x 91

98 x 92

95 x 95

99 x 99

91 x 91

x et y

1, 9

2, 8

5, 5

1, 1

9, 9

N - x

9 000

9 000

9 000

9 800

8 200

xy

9

16

25

1

81

Total

9 009

9 016

9 025

9 801

8 281

 

 

 

 

 

 

AVEC UNITÉS EN 4 ET 6

 

 Principe

A4 . B6

 

A4 et B6 sont deux nombres

proches de nombres terminés en 5

A4 =

B6 =

A5 - 1

B5 + 1

La multiplication devient

A4 . B6

= (A5 - 1)( B5 + 1)

 

On note que A4.B5 est

un produit avec unités en 5

 

= A5.B5 + A5 - B5 - 1

Exemple

14 x 36

 

Produit en 5

 

15 x 35 =

525

Soustraction des nombres en 5

 

15 - 35 =

- 20

Soustraire 1

 

 

- 1

Total

 

 

504

 

Pratiquons

16 x 34

24 x 26

54 x 56

56 x 74

96 x 94

Produit en 5

525

625

3 025

4 125

9 025

Soustraction

20

0

0

20

0

Moins 1

-1

-1

-1

-1

-1

Total

544

624

3 024

4 144

9 024

 

 

 

Cas particulier de la même dizaine 

 

 Principe

A4 . A6

 

A4 et B6 sont deux nombres

proches de nombres terminés en 5

A4 =

A6 =

A5 - 1

A5 + 1

La multiplication devient

A4 . A6

= (A5 - 1)( A5 + 1)

 

On note que A4.B5 est

un produit avec unités en 5

 

= A5² - 1

Exemple

14 x 16

 

Calcul du carré en 5

 

15² =

225

On retranche 1

 

 

- 1

 

 

 

 

Total

 

 

224

 

Pratiquons

24 x 26

54 x 56

56 x 74

96 x 94

124 x 126

Carré en 5

625

3 025

4 125

9 025

15 625

Moins 1

-1

-1

-1

-1

- 1

Total

624

3 024

4 144

9 024

15 624

Note: le dernier exemple montre que la méthode vaut quel que soit le nombre de chiffres de A et B

 

 

 

Bilan

Selon le principe de ces pages, vous pouvez compléter selon les unités ou les dizaines.

Mais à multiplier les méthodes, on ne sait plus laquelle utiliser.

Pour deux et trois chiffres, il est souvent plus judicieux de se référer à la méthode générale plutôt que de chercher quel cas particulier à appliquer.

 

 

 

 

Voir

*    Barre magique des nombres premiers

*    Base décimale

*    Calcul des carrés

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*    Théorie des nombres

Livre

*    Des "trucs" géométriques pour calculer – Tangente n°184 de septembre – octobre 2018

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