NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

 

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Multiplication

MULTIPLICATION

 

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Multiplication

 

 

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Calcul

 

 

 

 

 

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Musulmane et...

Védiques

Avec les doigts

Décimales

Produits

Chinoise

 

Sommaire de cette page

>>> Cas GÉNÉRAL – Deux chiffres

>>> Cas GÉNÉRAL – Trois chiffres

>>> Méthode du pivot

 

>>> Cas de multiplications particulières

 

 

 

 

 

 

 

 

 MULTIPLICATIONS

des nombres à deux et trois chiffres

 

On va examiner les méthodes utilisées par ceux qui calculent rapidement

notamment les Indiens (védiques).

Le calcul est optimisé selon les nombres à multiplier.

On utilise les identités remarquables.

 

 

Cas GÉNÉRAL – Deux chiffres

 

Méthode basée sur le même principe avec le développement à trois chiffres

(10a + b) (10x + y)

=

100     (a.x) +

10    (a.y + b.x) +

1         (b.y)

Voir Identités du premier degré

 

 Disposition pratique (mentale ou écrite)

Produit en colonne de droite / somme des produits en croix / produit en colonne de gauche

 

     

 

Cas des carrés (un peu de simplification)

      

 

 

 

Cas GÉNÉRAL – Trois chiffres

 

Méthode basée sur le même principe avec le développement à trois chiffres

(100a + 10b + c) (100x + 10y + z)

=

10000      (a.x) +

1000    (a.y + b.x) +

100 (a.z + b.y + c.x) +

10         (b.z + c.y) +

1               (c.z)

Voir Identités du premier degré

 

 

Disposition pratique (mentale ou écrite) avec cas d'un carré

 

  

 

 

 

Résumé illustré

 

 

Multiplication rapide à pivot

Méthode élégante basée sur l'identité:
(a + x) (a + y) =

a (a + x + y) + x.y

 

Toute l'astuce consiste à choisir le pivot a, tel que le produit a (a + x + y) soit facile à calculer.

 

Dans le premier exemple avec 23 x 27, si on choisit a = 20 alors (a + x + y) = 30. Le produit 20 x 30 = 600. Reste à ajouter x.y qui vaut 3 x 7 = 21.
Bilan: 23 x 27 = 621.

 

Dans le deuxième exemple, on montre qu'il est possible de choisir un pivot créant des écarts négatifs.

 

Méthode pratique si les deux nombres à multiplier ne sont pas trop éloignés.

 

 

 

Cas particuliers

 

Général

Mêmes Unités

Mêmes dizaines

Cas particuliers

Général

Aa x Bb

Au x Bu

Da x Db

A4 x B6

Avec 1

 

 

1a x 1b

 

5

 

A5 x B5

 

A5²

9

 

 

9a x 9b

 

Autres

 

 

 

A4 x A6

 

Rappel

27 peut se décomposer

en 20 + 7 ou 2 x 10 + 7

ou de manière générale

Aa devient 10A + a

On ne confondra pas dans cette page

Aa qui indique deux nombres concaténées

et A.a qui indique le produit de A par a.

 

 

AVEC MÊMES UNITÉS

 

Principe

Au . Bu

 

En décomposant dizaines et unités

 

= (10A + u) (10B + u)

 

 

= 100A.B + 10u (A+B) + u²

Exemple

12 x 32

 

Cent fois le produit des dizaines

 

100 x (1x3) =

300

Dix fois la somme des dizaines

multipliées par le chiffre des unités

 

10 (1 + 3)

x 2 =

80

Unité au carré

 

2² =

4

Total

 

 

384

 

Pratiquons

12 x 32

23 x 43

55 x 55

26 x 56

27 x 87

99 x 19

100AB

300

800

2 500

1 000

1 600

900

10 (A+B)u

80

180

500

420

700

900

4

9

25

36

49

81

Total

384

989

3 025

1 456

2 349

1 881

 

 

 

 

 

AVEC MÊMES UNITÉS égales à 5

 

Principe

A5 . B5

 

En décomposant dizaines et unités

 

= (10A + 5) (10B + 5)

 

 

= 100A.B + 50 (A+B) + 25

Exemple

15 x 35

 

Cent fois le produit des dizaines

 

100 x (1x3) =

300

Cent fois la demi- somme des dizaines

 

1/2 x 100 (1+3) =

200

ajoutez

 

 

25

Total

 

 

525

 

Pratiquons

15 x 35

25 x 25

55 x 55

55 x 75

95 x 95

125 x 245

100AB

300

400

2 500

3 500

8 100

28 800

10 (A+B)u

200

200

500

600

900

1 800

25

25

25

25

25

25

Total

525

625

3 025

4 125

9 025

30 625  

Note: le dernier exemple montre que la méthode vaut quel que soit le nombre de chiffres de A et B

 

 

 Cas particulier d'un carré en 5

 

Principe

A5 . A5

 

En décomposant dizaines et unités

 

= (10A + 5) (10A + 5)

= 100A² + 100A + 25

 

 

= 100A(A + 1) + 25

Exemple

15 x 15

 

Produit de la dizaine et de sa suivante

 

1 x 2 =

2

Cent fois ce produit

 

2 x 100 =

200

ajoutez 25

 

 

25

Total

 

 

225

 

Pratiquons

25 x 25

55 x 55

95 x 95

125 x 125

A (A+1)

2 x 3

5 x 6

9 x 10

12 x 13

100 fois

600

3000

9000

15 600

 

25

25

25

25

Total

625

3 025

9 025

15 625

Note: le dernier exemple montre que la méthode vaut quel que soit le nombre de chiffres de A et B

 

 

 

 

 

AVEC MÊMES DIZAINES

 

Principe

Da . Db

 

En décomposant dizaines et unités

 

= (10D + a) (10D + b)

= 100D² + 10D (a+b) + a.b

 

 

= 10D { 10D + a + b } + a.b

Exemple

25 x 27

 

Dix fois la dizaine plus les unités

 

20+5+7 =

32

multiplié par dix fois la dizaine fois

 

32 x 20 =

640

Plus produit des unités

 

 

35

Total

 

 

675

 

Pratiquons

22 x 25

42 x 43

51 x 56

88 x 89

99 x 99

x= 10D + a + b

27

45

570

97

108

x . D . 10

540

1 800

2 850

7 760

9 720

ab

10

6

6

72

81

Total

550

1 806

2 856

7 832

9 801

 

 

 

 

AVEC La MÊME DIZAINE égale à 1

 

Principe

1a . 1b

 

En décomposant dizaines et unités

 

= (10 + a) (10 + b)

= 100 + 10 (a+b) + a.b

= 10 { 10 + a + b } + a.b

Désignons par X le premier nombre à multiplier

X = 10 + a = 1a

 

= 10 { X + b } + a.b

Exemple

13 x 19

 

Le premier nombre plus l'unité du 2e

 

13 + 9 =

22

multiplié par dix

 

 

220

Plus produit des unités

 

 

27

Total

 

 

247

 

Pratiquons

11 x 11

12 x 15

13 x 17

14 x 18

19 x 19

X + b

12

17

20

22

28

10 X

120

170

200

220

280

ab

1

10

21

32

81

Total

121

180

221

252

361

 

 

 

 

 

AVEC MÊMES DIZAINES égales 9

 

 Principe

9a . 9b

 

On introduit les compléments

 à 100 de ces nombres

x =

y =

100 - 9a

100 - 9b

La multiplication devient

(100-x)(100-y) =

10 000 - 100 (x+y) +x.y

100 (100-x - y) + x.y

Soit N le premier nombre (9a)

 

100 (N - y) + x.y

Observons que

xy <

100

Bilan

Centaines

Unités

= N - y

= x.y

Exemple

93 x 97

 

x et y

 

7 et 3

 

Centaines

 

100 fois 93 - 3 =

9 000

Unités

 

7 x 3

21

Total

 

 

9 021

 

Pratiquons

99 x 91

98 x 92

95 x 95

99 x 99

91 x 91

x et y

1, 9

2, 8

5, 5

1, 1

9, 9

N - x

9 000

9 000

9 000

9 800

8 200

xy

9

16

25

1

81

Total

9 009

9 016

9 025

9 801

8 281

 

 

 

 

 

 

AVEC UNITÉS EN 4 ET 6

 

 Principe

A4 . B6

 

A4 et B6 sont deux nombres

proches de nombres terminés en 5

A4 =

B6 =

A5 - 1

B5 + 1

La multiplication devient

A4 . B6

= (A5 - 1)( B5 + 1)

 

On note que A4.B5 est

un produit avec unités en 5

 

= A5.B5 + A5 - B5 - 1

Exemple

14 x 36

 

Produit en 5

 

15 x 35 =

525

Soustraction des nombres en 5

 

15 - 35 =

- 20

Soustraire 1

 

 

- 1

Total

 

 

504

 

Pratiquons

16 x 34

24 x 26

54 x 56

56 x 74

96 x 94

Produit en 5

525

625

3 025

4 125

9 025

Soustraction

20

0

0

20

0

Moins 1

-1

-1

-1

-1

-1

Total

544

624

3 024

4 144

9 024

 

 

 

Cas particulier de la même dizaine 

 

 Principe

A4 . A6

 

A4 et B6 sont deux nombres

proches de nombres terminés en 5

A4 =

A6 =

A5 - 1

A5 + 1

La multiplication devient

A4 . A6

= (A5 - 1)( A5 + 1)

 

On note que A4.B5 est

un produit avec unités en 5

 

= A5² - 1

Exemple

14 x 16

 

Calcul du carré en 5

 

15² =

225

On retranche 1

 

 

- 1

 

 

 

 

Total

 

 

224

 

Pratiquons

24 x 26

54 x 56

56 x 74

96 x 94

124 x 126

Carré en 5

625

3 025

4 125

9 025

15 625

Moins 1

-1

-1

-1

-1

- 1

Total

624

3 024

4 144

9 024

15 624

Note: le dernier exemple montre que la méthode vaut quel que soit le nombre de chiffres de A et B

 

 

 

Bilan

Selon le principe de ces pages, vous pouvez compléter selon les unités ou les dizaines.

Mais à multiplier les méthodes, on ne sait plus laquelle utiliser.

Pour deux et trois chiffres, il est souvent plus judicieux de se référer à la méthode générale plutôt que de chercher quel cas particulier à appliquer.

 

 

 

 

Voir

*    Barre magique des nombres premiers

*    Base décimale

*    Calcul des carrés

*    Calcul mental

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*    FAQ - Multiplications

*    Identités remarquables

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*    Puissances - Index

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*    Théorie des nombres

Livre

*    Des "trucs" géométriques pour calculer – Tangente n°184 de septembre – octobre 2018

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