NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

 

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Général

 

PALINDROMES

 

 

 

Index général

 

>>> INDEX

 

Introduction

Triangles

Carrés

Cubes

Premiers

Retard

Produit

Division

Dates

Palinquad

11, 101, 111 …

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Sommaire de cette page

>>> Palindromes & division par 11

>>> Palindromes & division par   9

>>> Palindromes & division par   7

>>> Palindromes & division par 13

 


 

NOMBRES PALINDROMES

& Divisibilité

 

 

  

PALINDROMES & DIVISION PAR 11

 

Divisibilité par 11

 

*      Un nombre est divisible par 11 si la somme des chiffres de rang pair est égale à la somme des chiffres de rang impair.

 

Palindrome

Tous les palindromes à nombre pair de chiffres sont divisibles par 11.

 

 

A fortiori

Tous les repdigits à nombre pair de chiffres sont divisibles par 11.

 

Démonstration

 

 

 

 

Exemple pour 5 chiffres

(abcde) = 0 (mod 11)

si a + c + e = b + d

 

 

Exemple pour 4 et 6 chiffres

 

Abba     => a + b = b + a

Abccba => a + b + c = c + b + a

 

88 = 11 x 8

4554 = 11 x 414

789987 = 11 x 71817

98766789 = 11 x 8 978 799

Suite en Table

 

2222 = 11 x 202

999999 = 11 x 90909

*      Un palindrome pair est la somme de multiples de

 

et, avec un calcul de modulo

 

 

 

ce qui signifie que =>

102k+1 + 1

 

102k+1 + 1

= (-1)2k+1 + 1 (mod 11)

= -1 + 1 (mod 11)

= 0 (mod 11)

102k+1 + 1 est divisible par 11

 

  

 

PALINDROMES & DIVISION PAR 9

 

*      Trouver les nombres palindromes divisibles par 9.

 

 

Divisibilité par 9 – Rappel

 

La somme des chiffres est divisible par 9.

 

 

Avec 2 chiffres

 

*      Une seule possibilité.

 

     N = aa               a + a = 9k

                               2a = 9k => k = 2

                               a = 9

     N = 99               99 = 11 x 9

 

 

 

Avec 3chiffres

 

*      L'exploration montre qu'il y a 10 nombres palindromes de 3 chiffres divisibles par 9.

 

     N = aba            a + b + a = 9k

                               2a + b = 9k

                               b = 9k – 2a

 

     Si k = 1             b = 9 – 2a

     N = 171            (a, b) = (1, 7)

     N = 252            (a, b) = (2, 5)

     N = 333            (a, b) = (3, 3)

     N = 414            (a, b) = (4, 1)

 

     Si k = 2             b = 18 – 2a

     N = 585            (a, b) = (5, 8)

     N = 666            (a, b) = (6, 6)

     N = 747            (a, b) = (7, 4)

     N = 828            (a, b) = (8, 2)

     N = 909            (a, b) = (9, 0)

 

     Si k = 3             b = 27 – 2a

     N = 999            (a, b) = (9, 9)

 

 

 

Avec 4 chiffres

 

*      De nouveau 10  nombres palindromes de 4 chiffres divisibles par 9.

 

 

 

     N = abba          a + b + b + a = 9k

     N = abba          2a + 2b = 9k
                               b = ½ (9k – 2a)

     k est pair          pour que b soit divisible par 2

 

     (a + b)MAX = 18      => kMAX = 4

     Avec k pair           => k = (2, 4)

    

     Si k = 2             b = (9 – a)

     N = 1881          (a, b) = (1, 8)

     N = 2772          (a, b) = (2, 7)

     N = 3663          (a, b) = (3, 6)

     N = 4554          (a, b) = (4, 5)

     N = 5445          (a, b) = (5, 4)

     N = 6336          (a, b) = (6, 3)

     N = 7227          (a, b) = (7, 2)

     N = 8118          (a, b) = (8, 1)

     N = 9009          (a, b) = (9, 0)

 

     Si k = 4             b = (18 – a)

     N = 9999          (a, b) = (9, 9)

 

 

 

 

Avec 5 chiffres

*      100  nombres palindromes de 5 chiffres divisibles par 9.
En rose, nombres avec forme particulière.

 

 

           10701     20502      30303     40104     50805     60606      70407     80208     90009

           11511     21312      31113     41814     51615     61416      71217     81018     90909

           12321     22122      32823     42624     52425     62226      72027     81918     91719

           13131     23832      33633     43434     53235     63036      72927     82728     92529

           14841     24642      34443     44244     54045     63936      73737     83538     93339

           15651     25452      35253     45054     54945     64746      74547     84348     94149

           16461     26262      36063     45954     55755     65556      75357     85158     95859

           17271     27072      36963     46764     56565     66366      76167     86868     96669

           18081     27972      37773     47574     57375     67176      77877     87678     97479

           18981     28782      38583     48384     58185     68886      78687     88488     98289

           19791     29592      39393     49194     59895     69696      79497     89298     99099

                                                                                                                                                99999

 

 

 

 

PALINDROMES & DIVISION PAR 7

 

*      Table des nombres palindromes divisible par 7; en tête de colonne la quantité.

 

        1     12     18           131                                                                                                    

        77   161   1001      10101  20202  30303  40404  50505  60606  70007  80108  90209

               252   1771      10801  20902  31213  41314  51415  61516  70707  80808  90909

               343   2002      11011  21112  31913  42224  52325  62426  71617  81018  91119

               434   2772      11711  21812  32123  42924  53235  63336  72527  81718  91819

               525   3003      12621  22022  32823  43134  53935  64246  73437  82628  92029

               595   3773      13531  22722  33033  43834  54145  64946  74347  83538  92729

               616   4004      14441  23632  33733  44044  54845  65156  75257  84448  93639

               686   4774      15351  24542  34643  44744  55055  65856  75957  85358  94549

               707   5005      16261  25452  35553  45654  55755  66066  76167  86268  95459

               777   5775      16961  26362  36463  46564  56665  66766  76867  86968  96369

               868   6006      17171  27272  37373  47474  57575  67676  77077  87178  97279

               959   6776      17871  27972  38283  48384  58485  68586  77777  87878  97979

                         7007      18081  28182  38983  49294  59395  69496  78687  88088  98189

                         7777      18781  28882  39193  49994                             79597  88788  98889

                         8008      19691  29092  39893                                                        89698  99099

                         8778                    29792                                                                                   99799

                         9009                                                                                                                 

                         9779                                                                                                                 

 

 

 

 

PALINDROMES & DIVISION PAR 13

 

*        Table des nombres palindromes divisible par 13.

 

             6        9              69                                                     

             494    1001        10101    30303    50505    70707    90909

             585    2002        11011    31213    51415    71617    91819

             676    3003        15951    32123    52325    72527    92729

             767    4004        16861    33033    53235    73437    93639

             858    5005        17771    37973    54145    74347    94549

             949    6006        18681    38883    55055    75257    95459

                       7007        19591    39793    59995    76167    96369

                       8008        20202    40404    60606    77077    97279

                       9009        21112    41314    61516    80808    98189

                                       22022    42224    62426    81718    99099

                                       26962    43134    63336    82628   

                                       27872    44044    64246    83538   

                                       28782    48984    65156    84448   

                                       29692    49894    66066    85358   

                                                                                   86268   

                                                                                   87178   

                                                                                   88088   

 

       

 

 


 

Suite

*    Palindromes – Table des divisible par 11

*    Palindromes – Dates

Voir

*    Diviseurs

*    Divisibilité

*    Multiplication

*    Divisibilité par 11

DicoNombre

*    Nombre 11

Site

*    Pour dossier complet sur les palindromes:

Voir site de Patrick De Geest