NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

 

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Forme des nombres

 

Débutants

Général

PALINDROMES

 

Glossaire

Général

 

 

INDEX

 

Formes

 

Formes et motifs

 

Introduction

Triangles

Carrés

Cubes

Premiers

Retard

Produit

Division

Dates

Palinquad

11, 101, 111 …

Programmation

Langue

Numéro

Année 2011

Concaténation

Palintiples

Nombres qui se lisent

Strobogrammatique

Formes retournées

Premiers pyramides

 

Sommaire de cette page

>>> Approche

>>> Propriétés

>>> Programme de recherche des palindromes carrés

>>> Racines particulières

>>> Palindrome ayant un carré palindrome

>>> Séquences en 01

>>> Autres formes de carrés palindromiques

>>> Nombre palindrome quasi carré

>>> Palindrome bicarré

 

 

 

 

Nombres PALINDROMES CARRÉS

 

Nombres à la fois carrés et palindromes.

 

2

3 chiffres

4

5

6

Aucun

11²   =      121

22²   =      484

26²   =      676

Aucun

101² = 10 201  

111² = 12 321  

121² = 14 641  

202² = 40 804  

212² = 44 944  

264² = 69 696

307² = 94 249

836² = 698 896

 

Vous remarquerez que la racine carrée peut, elle-même,

être un palindrome, repdigit, premier, triangulaire, carré … (11, 101, 111, 121 …)

 

 

APPROCHE

 

Définition

Palindrome carré: palindrome de la forme n², n étant la base ou la racine.

La base peut aussi être particulière: palindrome, repunit, carrée, 

 

Exemples

n

n

n

264

836

2285

69696

698896

5221225

11

101

1001

10001

121

10201

1002001

100020001

1

11

111

1111

1

121

12321

1234321

 

 

 

Propriétés des palindromes carrés

 

Voir Unités des carrés

Ils se terminent par  1, 4, 5, 6 ou 9.

Il existe des séquences infinies de formation des palindromes carrés (comme pour les cubes, mais pas pour les triangles).

Il n'existe pas de carré palindrome de longueur: 2, 4, 8, 10, 14, 18, 20, 24 et 30.

Il semble que les carrés palindromes de longueur paire soient peu nombreux.

 

Curiosité palindromique et carrée

52 + 92 + 92 + 52 = 212     et   2122 = 44 944

Voir DicoNombre 212

 

 

Programme de recherche des palindromes carrés

 

Programme Maple

Listing pour copie directe dans Maple

restart: with(ListTools): Pal := proc (n) local t, N; N := convert(n, base, 10); t := evalb(N = Reverse(N)); return t end proc: L := []; for n from 10 to 10000 do if Pal(n) = true and type(sqrt(n), integer) then L := [op(L), [n, sqrt(n)]] end if end do: L;

 

 

Commentaires

Réinitialisation générale (restart) et appel des logiciels de traitement de listes pour disposer de l'instruction Reverse.

 

Procédure Pal (sous-programme) identifiant les nombres palindromes.

Conversion de manière à disposer dans N  de la liste des chiffres.

Évaluation binaire (evalb) de l'égalité N avec la liste retournée (Reverse) de N.

La variable t vaut "true" si l'égalité est satisfaite, c'est-à-dire, si n est un palindrome.

 

Programme principal

Ouverture d'une liste L.

Analyse des nombres de 10 à 1000. Si le retour de Palindrome (Pal) est vrai (true) et si la racine carrée (sqrt) de n est un entier (integer) alors ajouter n et sa racine dans la liste L. op(L) est la liste telle qu'elle existe déjà.

 

En bleu, le résultat de la recherche avec le couple: palindrome et sa racine carrée.

Voir Programmation palindromes carrés (variante sans l'instruction Reverse) / ProgrammationIndex

 

Liste des palindromes carrés avec leur racine carrée

 

Légende des couleurs

22  => base palindrome

698 896 =>  quantité paire de chiffres

Les plus grands connus

 

n = 831 775 153 121 251 039 203 514   (24 chiffres)

n² = 691 849 905 349 880 612 384 525 525 483 216 088 943 509

948 196  (48 chiffres, pair).

Mike Bennett janvier 1998

 

n= 1 373 512 530 649 258 635 292 477 609²

n² = 1 886 536 671 850 530 641 991 373 196 913 731 991 460 350

581 766 356 881 (55 chiffres)

Feng Yuan 2008

 

Source: Palindromic Polygonal Sporadic Number Record Table – Worldofnumber..com

Voir ce site pour mise à jour

 

 

 

 Palindromes carrés à racines particulières

La racine carrée est un nombre premier

 

Exemple

307 est un nombre premier et

son carré 94 249 est un palindrome.

 

Nombre 101

1012 = 10201

1013 = 1030301

1014 = 104060401

Voir DicoNombre 101

 

121,   11

10201,   101

94249,   307

900075181570009,   30001253

10022212521222001,   100111001

12124434743442121,   110111011

12323244744232321,   111010111

12341234943214321,   111091111

1022321210249420121232201,   1011099011101

1210024420147410244200121,   1100011100011

1210222232227222322220121,   1100101010011

1212223242528252423222121,   1101010101011

10022032324432823442323022001,   100110101011001

10022210341004940014301222001,   100110990111001

10201002020020502002020010201,   101000010000101

10203222143242824234122230201,   101011000110101

10223232102244844220123232201,   101110000011101

 

Quantité paire de chiffres

 

Ils sont peu nombreux.

 

Exemple

698 896 est un palindrome de six chiffres et c'est le carré de 836.

 

698 896

David Wells                  637 832 238 736

Cédric Brun        4 099 923 883 299 904

6 916 103 777 337 773 016 196

40 460 195 511 188 111 559 106 404

4 872 133 543 202 112 023 453 312 784

9 658 137 819 052 882 509 187 318 569

46 501 623 417 708 833 880 771 432 610 564

1 635 977 102 407 987 117 897 042 017 795 361

Liste OEIS A027829

 

 

Racine non palindrome

 

26

264

307

836

2 285

2 636

22 865

676

69 696

94 249

698 896

5 221 225

6 948 496

522 808 225

 

24 846

30 693

798 644

 617 323 716

942 060 249

637 832 238 736

Racine palindrome

 

n

Chiffres

1 111 111

1 234 567 654 321

13

1 001

1 002 001

7

212

44 944

5

202

40 804

5

121

14 641

5

111

12 321

5

101

10 201

5

22

484

3

11

121

3

3

9

1

2

4

1

1

1

1

Voir Suite – Table

 

Repunits

 

Les repunits commencent bien, mais ne donnent pas une séquence infinie.

 

 

N

1

11

111

1111

11111

111111

1111111

11111111

111111111

1111111111

1

121

12321

1234321

123454321

12345654321

1234567654321

123456787654321

12345678987654321

1234567900987654321

qui n'est pas palindrome

 

Suite de 01

 

a => Ce N est le plus petit entier qui donne un carré palindrome pannumérique.

 

b => Palindrome loupé de 1 seulement.

 

N

1

1

101

10201

10101

102030201

1010101

1020304030201

101010101

10203040504030201

10101010101

102030405060504030201

1010101010101

1020304050607060504030201

101010101010101

10203040506070807060504030201

10101010101010101

102030405060708090807060504030201    a

1010101010101010101

10203040506070809100908070605004030201    b

 

Autres formes de carrés palindromes

 

Dernier nombre: non palindrome

 

N

3

9

307

94249

30 693

942060249

3 069 307

9420645460249

306 9 30 693

94206450305460249

30 69 3 069 307

942064503484305460249

3 069 306 9 30 693

9420645034800084305460249

306 930 693 069 307

94206450348005140084305460249

 

Voir Palindromes en 11, 101, 111 …

 

 

 NOMBRE PALINDROME QUASI CARRÉ

Un nombre palindrome quasi carré

est de la forme n² + 1.

 

 

Exemples

          10² + 1              =     101

          25² + 1              =     626

        100² + 1              = 10001

 

Propriétés

 

Ils se terminent par 1, 2, 5, 6 ou 7.

 

On obtient des séquences infinies avec les 4 formes suivantes:

*      10n avec n = 0, 1 , 2, ...   => 1, 10, 100, 1000, ...

*      103n + 2x10n avec n = 1, 2, 3, ...    => 1 020, 1 000 200, 1 000 002 000, ...

*      103n+1 + 9x10n avec n = 1, 2, 3, ...     => 10 090, 10 000 900, 10 000 009 000, ...

*      105n +2x103n + 2x10n avec n = 1, 2, 3, ...    => 102 020, 10 002 000 200, 1 000 002 000 002 000, ...

 

On obtient des séquences finies avec les 2 formes suivantes:

*      10 (09)n 10 , avec n = 1 à 4.

*      100 (90)n , avec n = 0 à 5.

 

Longueur paire

 

 

Il n'y a pas de tels nombres de longueur paire.
Car un nombre palindrome de longueur paire est divisible par 11.

Et un nombre de la forme n² + 1 n'est pas divisible par 11.

 

En effet

n mod 11

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

(n² + 1) mod 11

1

2

5

10

6

4

4

6

10

5

2

 

On ne trouve jamais 0 sur la 2e ligne: CQFD.

 

Le plus grand connu

 

N        = 1 009 090 909 090  (13 chiffres).

Npqc = 1 018 264 462 808 082 644 628 101  (25 chiffres)

Warut Roonguthai Novembre 1997

 

 

Liste des palindromes quasi carrés

 

Rang

n

Npqc

Chiffres

42

100 000 000 000

10 000 000 000 000 000 000 001

12

41

16 353 780 069

267 446 122 545 221 644 762

11

40

15 577 088 671

242 645 691 464 196 546 242

11

 

Autres: voir  site de De Geest

 

13

100 000

10 000 000 001

6

12

10 090

101 808 101

5

11

10 000

100 000 001

5

10

2 248

5 053 505

4

9

1 489

2 217 122

4

8

1 020

1 040 401

4

7

1 000

1 000 001

4

6

100

10 001

3

5

25

626

2

4

10

101

2

3

2

5

1

2

1

2

1

1

0

1

1

 

 

 

 

  PALINDROMES cubes, bicarrés, …

Palindromes cubes

Il existe beaucoup de palindromes cubes.

Palindromes bicarrés

 

Tous les palindromes connus de puissance 4 sont tous à base palindrome et même de la forme 100..001 avec n zéros (n ³ 0) 

 

 

 

n

n4

11

14641

1001

1004006004001

10001

10004000600040001

100001

100004000060000400001

1000001

1000004000006000004000001

111

151807041

10101

10410161916100401

 

Puissance 5 et plus

 

Pour les puissances 5 à 10, on n'a pas trouvé de palindromes.

On conjecture qu'il n'y a pas de palindrome pour nk avec k > 4.

 

 

 

 

Suite

*    Palindromes avec puissance palindrome

*    Palindromes cubes

Voir

*    Calcul de carrés

*    Carré des nombres

*    Carrés et quadrilatères

*    Carrés magiques

*    Carrés parfaits

*    GéométrieIndex

*    Recherche des palindromes carrés

*    Somme de carrés

Sites

*    Pour dossier complet sur les palindromes carrés:

           Voir site de Patrick De Geest

*    Palindromic Polygonal Sporadic Number Record Table – World Of Numbers – Patrick De Geest

*      OEIS A002779 – Palindromic squares

*      OEIS A027829 – Palindromic squares with an even number of digits

*      OEIS A065378 – Primes p such that p^2 is a palindromic square

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