NOMBRES - Curiosités, théorie et usages Accueil DicoNombre Rubriques Nouveautés Édition du: 08/01/2011 Orientation générale  DicoMot Math Atlas Références M'écrire Barre de recherche DicoCulture Index alphabétique
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Nombres PALINDROMES

Nombres à la fois carrés et palindromes.

2	Aucun
3	11² = 121	>>>
4	Aucun
5	101² = 10 201 111² = 12 321 121² = 14 641 202² = 40 804 212² = 44 944 264² = 69 696 307² = 94 249
6	836² = 698 896	>>>

Vous remarquerez que la racine peut, elle-même,

être un palindrome (101, 111, 121 …)

APPROCHE

Définition

Palindrome carré:

Palindrome de la forme n²

n est la base.

La base peut aussi être un palindrome.

Voire même repunit

Exemples

N	N²
264 836 2285	69696 698896 5221225
11 101 1001 10001	121 10201 1002001 100020001
1 11 111 1111	1 121 12321 1234321

PROPRIÉTÉS

Ils se terminent par 1, 4, 5, 6 ou 9.

Il existe des séquences infinies de formation des palindromes carrés (comme pour les cubes, mais pas pour les triangles).

Il n'existe pas de carré palindrome de longueur: 2, 4, 8, 10, 14, 18, 20, 24 et 30.

Il semble que les carrés palindromes de longueur paire soient peu nombreux.

Curiosité :

5² + 9² + 9² + 5² = 212 et 212² = 44 944

LISTES

Pour commencer

Les premiers à base non palindrome sont:

26	264	307	836	2 285	2 636	…
676	69696	94249	698896	5221225	6948496	…

Curiosité

Le 2^e plus grand nombre palindrome carré à nombre pair de chiffres:

637 832 238 736 = 796 644² David Wells

Repunits

Les rep-units commencent bien, mais ne donnent pas une séquence infinie.

N	N²
1 11 111 1111 11111 111111 1111111 11111111 111111111 1111111111	1 121 12321 1234321 123454321 12345654321 1234567654321 123456787654321 12345678987654321 1234567900987654321 qui n'est pas palindrome

LES PLUS GRANDS CONNUS

n = 831 775 153 121 251 039 203 514 (24 chiffres)

n² = 691 849 905 349 880 612 384 525 525 483 216 088 943 509 948 196 (48 chiffres, pair).

Mike Bennett janvier 1998

CARRÉ PALINDROME D'UN NOMBRE PALINDROME (les 50 premiers)
Rang	n	Tn	Chiffres
50	1 270 869	1 615 108 015 161	13
49	1 111 111	1 234 567 654 321	13
	Autres: voir site de De Geest
15	1 001	1 002 001	7
14	836	698 896	6
13	307	94 249	5
12	264	69 696	5
11	212	44 944	5
10	202	40 804	5
9	121	14 641	5
8	111	12 321	5
7	101	10 201	5
6	26	676	3
5	22	484	3
4	11	121	3
3	3	9	1
2	2	4	1
1	1	1	1

SÉQUENCE DE 01
N	N²
1	1
101	10201
10101	102030201
1010101	1020304030201
101010101	10203040504030201
10101010101	102030405060504030201
1010101010101	1020304050607060504030201
101010101010101	10203040506070807060504030201
10101010101010101	102030405060708090807060504030201 a
1010101010101010101	10203040506070809100908070605004030201 b
a => Ce n est le plus petit entier qui donne un carré palindrome pannumérique. b =>Palindrome loupé de 1 seulement

AUTRES FORMES DE CARRÉS PALINDROMES
N	N²
3	9
307	94249
30 693	942060249
3 069 307	9420645460249
306 9 30 693	94206450305460249
30 69 3 069 307	942064503484305460249
3 069 306 9 30 693	9420645034800084305460249
306 930 693 069 307	94206450348005140084305460249
Dernier nombre: non palindrome

NOMBRE PALINDROME QUASI CARRÉ

Un nombre palindrome quasi carré est de la forme n² + 1. Exemples 10² + 1 = 101 25² + 1 = 6261 100² + 1 = 10001 Propriétés Ils se terminent par 1, 2, 5, 6 ou 7. On obtient des séquences infinies avec les 4 formes suivantes: 10^n avec n = 0, 1 , 2, ... => 1, 10, 100, 1000, ... 10^3n+2*10^n avec n = 1, 2, 3, ... => 1 020, 1 000 200, 1 000 002 000, ... 10^3n+1+9*10^n avec n = 1, 2, 3, ... => 10 090, 10 000 900, 10 000 009 000, ... 10^5n+2*10^3n+2*10^n avec n = 1, 2, 3, ... => 102 020, 10 002 000 200, 1 000 002 000 002 000, ... On obtient des séquences finies avec les 2 formes suivantes: 10 (09)n 10 , avec n = 1 à 4. 100 (90)n , avec n = 0 à 5.

Longueur paire

Il n'y a pas de tels nombres de longueur paire.
Car un nombre palindrome de longueur paire est divisible par 11.

Et un nombre de la forme n² + 1 n'est pas divisible par 11.

En effet

n mod 11	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
(n² + 1) mod 11	1	2	5	10	6	4	4	6	10	5	2

On ne trouve jamais 0 sur la 2^e ligne: CQFD.

Le plus grand connu

N = 1 009 090 909 090 (13 chiffres).

Npqc = 1 018 264 462 808 082 644 628 101 (25 chiffres)

Warut Roonguthai Novembre 1997

Liste des palindromes quasi carrés
Rang	n	Npqc	Chiffres
42	100 000 000 000	10 000 000 000 000 000 000 001	12
41	16 353 780 069	267 446 122 545 221 644 762	11
40	15 577 088 671	242 645 691 464 196 546 242	11
	Autres: voir site de De Geest
13	100 000	10 000 000 001	6
12	10 090	101 808 101	5
11	10 000	100 000 001	5
10	2 248	5 053 505	4
9	1 489	2 217 122	4
8	1 020	1 040 401	4
7	1 000	1 000 001	4
6	100	10 001	3
5	25	626	2
4	10	101	2
3	2	5	1
2	1	2	1
1	0	1	1

PALINDROME BICARRÉ

Il existe beaucoup de palindromes cubes. Tous les palindromes connus de puissance 4 sont tous à base palindrome et même de la forme 100..001 avec n zéros (n ³ 0) :

n	n^4
11	14641
1001	1004006004001
10001	10004000600040001
100001	100004000060000400001
1000001	1000004000006000004000001
111	151807041
10101	10410161916100401

Pour les puissances 5 à 10, on n'a pas trouvé de palindromes. On conjecture qu'il n'y a pas de palindrome pour n^k avec k > 4.

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Suite	Palindromes cubes
Voir	Calcul de carrés Carré des nombres Carrés et quadrilatères Carrés magiques Carrés parfaits Géométrie – Index Recherche des palindromes carrés Somme de carrés
Sites	Pour dossier complet sur les palindromes: Voir site de Patrick De Geest