NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

 

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Débutants

Général

Forme des nombres

Glossaire

Général

 

PALINDROMES

 

 

 

Index général

 

>>> INDEX

 

Introduction

Triangles

Carrés

Cubes

Premiers

Retard

Produit

Division

Dates

Palinquad

11, 101, 111 …

Programmation

Langue

Carrés – Table

 

Sommaire de cette page

>>> Approche

>>> Propriétés

>>> Listes

>>> Palindrome ayant un carré palindrome

>>> Séquences en 01

>>> Autres formes de carrés palindromiques

>>> Nombre palindrome quasi carré

>>> Palindrome bicarré

 

 

 

 

Nombres PALINDROMES

CARRÉS

 

Nombres à la fois carrés et palindromes.

 

2

Aucun

3

11²   =      121

4

Aucun

5

101² = 10 201  

111² = 12 321  

121² = 14 641  

202² = 40 804  

212² = 44 944  

264² = 69 696  

307² = 94 249

6

836² = 698 896

 

Vous remarquerez que la racine peut, elle-même,

être un palindrome (11, 101, 111, 121 …)

 

 

APPROCHE

 

Définition

 

*      Palindrome carré:

 

Palindrome de la forme

n est la base.

 

 

La base peut aussi être un palindrome >>>

 

 

 

Voire même repunit

 

 

Exemples

 

N

264

836

2285

69696

698896

5221225

11

101

1001

10001

121

10201

1002001

100020001

1

11

111

1111

1

121

12321

1234321

 

 

 

 PROPRIÉTÉS

 

*      Ils se terminent par  1, 4, 5, 6 ou 9.

 

*      Il existe des séquences infinies de formation des palindromes carrés (comme pour les cubes, mais pas pour les triangles).

 

*      Il n'existe pas de carré palindrome de longueur:  2, 4, 8, 10, 14, 18, 20, 24 et 30.

 

*      Il semble que les carrés palindromes de longueur paire soient peu nombreux.

 

*      Curiosité :

 

                 52 + 92 + 92 + 52 = 212        et   2122 = 44 944

 

 

 

 LISTES

 

Pour commencer

Les premiers à base non palindrome sont:

 

26

264

307

836

2 285

2 636

676

69696

94249

698896

5221225

6948496

 

 Curiosité

Le 2e plus grand nombre palindrome carré à nombre pair de chiffres:

 

637 832 238 736 = 796 644²                David Wells

 

Repunits

 

Les rep-units commencent bien, mais ne donnent pas une séquence infinie.

 

N

1

11

111

1111

11111

111111

1111111

11111111

111111111

1111111111

1

121

12321

1234321

123454321

12345654321

1234567654321

123456787654321

12345678987654321

1234567900987654321

qui n'est pas palindrome

 

 

 

LES PLUS GRANDS CONNUS

 

n = 831 775 153 121 251 039 203 514   (24 chiffres)

n² = 691 849 905 349 880 612 384 525 525 483 216 088 943 509 948 196  (48 chiffres, pair).

Mike Bennett janvier 1998

 

 

n= 1 373 512 530 649 258 635 292 477 609²

n² = 1 886 536 671 850 530 641 991 373 196 913 731 991 460 350 581 766 356 881 (55 chiffres)

Feng Yuan 2008

Source: Palindromic Polygonal Sporadic Number Record TableWorldofnumber..com

Voir ce site pour mise à jour

 

 

CARRÉ PALINDROME

     D'UN NOMBRE PALINDROME

n

Tn

Chiffres

1 111 111

1 234 567 654 321

13

1 001

1 002 001

7

212

44 944

5

202

40 804

5

121

14 641

5

111

12 321

5

101

10 201

5

22

484

3

11

121

3

3

9

1

2

4

1

1

1

1

Voir Suite – Table

 

SÉQUENCE DE 01

N

1

1

101

10201

10101

102030201

1010101

1020304030201

101010101

10203040504030201

10101010101

102030405060504030201

1010101010101

1020304050607060504030201

101010101010101

10203040506070807060504030201

10101010101010101

102030405060708090807060504030201    a

1010101010101010101

10203040506070809100908070605004030201    b

 

a => Ce N est le plus petit entier qui donne un carré palindrome pannumérique.

b =>Palindrome loupé de 1 seulement.

 

 

Autres FORMES

de carrés PALINDROMES 

N

3

9

307

94249

30 693

942060249

3 069 307

9420645460249

306 9 30 693

94206450305460249

30 69 3 069 307

942064503484305460249

3 069 306 9 30 693

9420645034800084305460249

306 930 693 069 307

94206450348005140084305460249

 

Dernier nombre: non palindrome

 

 

 

 NOMBRE PALINDROME QUASI CARRÉ

 

*      Un nombre palindrome quasi carré est de la forme n² + 1.

 

Exemples

                           10² + 1           =     101

                           25² + 1           =   6261

                         100² + 1          = 10001

 

 

Propriétés

 

*      Ils se terminent par 1, 2, 5, 6 ou 7.

 

*      On obtient des séquences infinies avec les 4 formes suivantes:

*      10n avec n = 0, 1 , 2, ... => 1, 10, 100, 1000, ...

*      103n+2*10n avec n = 1, 2, 3, ... => 1 020, 1 000 200, 1 000 002 000, ...

*      103n+1+9*10n avec n = 1, 2, 3, ... => 10 090, 10 000 900, 10 000 009 000, ...

*      105n+2*103n+2*10n avec n = 1, 2, 3, ... => 102 020, 10 002 000 200, 1 000 002 000 002 000, ...

 

*      On obtient des séquences finies avec les 2 formes suivantes:

*      10 (09)n 10 , avec n = 1 à 4.

*      100 (90)n , avec n = 0 à 5.

 

 

 

Longueur paire

 

*      Il n'y a pas de tels nombres de longueur paire.
Car un nombre palindrome de longueur paire est divisible par 11.

Et un nombre de la forme n² + 1 n'est pas divisible par 11.

 

En effet

 

n mod 11

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

(n² + 1) mod 11

1

2

5

10

6

4

4

6

10

5

2

 

*      On ne trouve jamais 0 sur la 2e ligne: CQFD.

 

 

 

Le plus grand connu

 

N        = 1 009 090 909 090  (13 chiffres).

Npqc = 1 018 264 462 808 082 644 628 101  (25 chiffres)

Warut Roonguthai Novembre 1997

 

 

 

Liste des palindromes quasi carrés

Rang

n

Npqc

Chiffres

42

100 000 000 000

10 000 000 000 000 000 000 001

12

41

16 353 780 069

267 446 122 545 221 644 762

11

40

15 577 088 671

242 645 691 464 196 546 242

11

 

Autres: voir  site de De Geest

 

13

100 000

10 000 000 001

6

12

10 090

101 808 101

5

11

10 000

100 000 001

5

10

2 248

5 053 505

4

9

1 489

2 217 122

4

8

1 020

1 040 401

4

7

1 000

1 000 001

4

6

100

10 001

3

5

25

626

2

4

10

101

2

3

2

5

1

2

1

2

1

1

0

1

1

 

 

  

PALINDROME BICARRÉ

 

*      Il existe beaucoup de palindromes cubes. Tous les palindromes connus de puissance 4 sont tous à base palindrome et même de la forme 100..001 avec n zéros (n ³ 0) :

 

n

n4

11

14641

1001

1004006004001

10001

10004000600040001

100001

100004000060000400001

1000001

1000004000006000004000001

111

151807041

10101

10410161916100401

 

*      Pour les puissances 5 à 10, on n'a pas trouvé de palindromes. On conjecture qu'il n'y a pas de palindrome pour nk avec k > 4.

 

 

 

 

 

 

 

 

Suite

*    Palindromes avec puissance palindrome

*    Palindromes cubes

Voir

*    Calcul de carrés

*    Carré des nombres

*    Carrés et quadrilatères

*    Carrés magiques

*    Carrés parfaits

*    GéométrieIndex

*    Recherche des palindromes carrés

*    Somme de carrés

Sites

*    Pour dossier complet sur les palindromes:

  Voir site de Patrick De Geest

Cette page

http://villemin.gerard.free.fr/Wwwgvmm\Formes\PalCarre.htm