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Édition du: 26/11/2021

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Brèves de Maths

 

INDEX

 

En chiffres

Motifs

Divisibilité

PANNUMÉRIQUES

Pannumériques

123 456 789

Fractions minimales

Division

Divisibilité par 11

Fractions

Divisibilité de 2 à 18

 

 

NOMBRES PANNUMÉRIQUES

divisibles par 11

 

Combien de nombres pannumériques (nombres formés avec tous les chiffres de 1 à 9) sont divisibles par 11 ? Ils sont 31 680 et représentent 8,7% des nombres pannumériques.

Dénombrement détaillé.

    

 

Sommaire de cette page

>>> En bref

>>> Divisibilité par 11 et pannumériques

>>> Deux ensembles de chiffres

>>> Dénombrement

>>> Quelques pannumériques divisibles par 11

 

Débutants

Nombres

 

Glossaire

Nombres

 

 

En bref

Un nombre pannumérique est composé des neuf chiffres dont la somme est 45. Pour être divisible par 11, la somme sur quatre chiffres diminuée de la somme sur cinq chiffres doit être un multiple de 11, ce qui conduit à 28 – 17 = 11. Il existe 11 possibilités de réaliser ces sommes avec 4! façons de permuter les quatre chiffres et 5! pour les cinq chiffres. Bilan, il existe 11 x (4! x 5!) = 31 680 nombres pannumériques divisibles par 11.

Voir Brève 805

 

 

Divisibilité par 11 et pannumériques

haut

 

 

Rappel du critère de divisibilité par 11

 

La différence entre la somme des chiffres de rang impair et ceux de rang pair est divisible par 11.

 

Exemple avec le pannumérique 123456789

 

25 – 20 = 5 => ce nombre n'est pas divisible par 5.

 

 

Pannumériques divisibles par 11

 

La somme des chiffres des chiffres de 1 à 9 est: 45.

 

Pour être divisible par 11, il faut deux ensembles de chiffres totalisant 55 et dont la différence des sommes est un multiple de 11.

 

Pour former un nombre de neuf chiffres, il faut cinq chiffres de rang impair et quatre de rang pair.

 

 

 

Deux ensembles de chiffres l'un de quatre chiffres et l'autre de cinq.

L'un totalisant 28 et l'autre 17.

 

 

Deux ensembles de chiffres

haut

 

Exemples

Un exemple avec ensembles de quatre nombres. totalisant 17 et cinq nombre pour 28; et inversement.

 

NB. les nombres 1, 3, 4, et 9 seront en position paire et les autres en position impaire. Ce qui conduit au nombre: 215364798, par exemple.

 

 

  

 

Les 11 sommes 17 +  28 = 45

 

Il existe neuf ensembles de quatre chiffres qui ont une somme égale à 17, les autres chiffres étant alors fixés.

 

Il existe neuf ensembles de cinq chiffres qui ont une somme égale à 17, les autres chiffres étant alors fixés.

 

Exemple avec la dernière ligne

142738596 = 11 x 12976236

 

 

 

Dénombrement

haut

 

Explications

Choix des chiffres de rang impair (rang: 1, 3, 5, 7, 9). Un fois un choix fait, il y a 120 façons de les mélanger (permutations).

Même chose pour les quatre chiffres restants avec 24 autres permutations.

 

 

 

On peut choisir les chiffres de l'ensemble impair (2 cas), alors les chiffres de rang pair sont fixés;

On peut choisir les chiffres de l'ensemble pair (9 cas), alors les chiffres de rang impair sont fixés;

Il y a donc 11 (2 + 9) façons de choisir ces ensembles de chiffres (cf. le tableau ci-dessus).

 

Une fois ce choix  effectué (1 parmi 11), les chiffres peuvent être permutés.

Soit la quantité de nombres pannumériques divisibles par 11:  11 x (24 x 120) = 31 680.

Or la quantité de permutations des neuf chiffres est: 9! = 362 880.

 

En choisissant les chiffres au hasard la probabilité de tirer
un nombre pannumérique divisible par 11 est :

   

Pannumériques complets (avec le "0")

 

 

Quelques pannumériques divisibles par 11 et leur quotient

123475869, 11225079

123475968, 11225088

123476859, 11225169

123476958, 11225178

123485769, 11225979

123485967, 11225997

123486759, 11226069

123486957, 11226087

123495768, 11226888

987632514, 89784774

987641325, 89785575

987641523, 89785593

987642315, 89785665

987642513, 89785683

987651324, 89786484

987651423, 89786493

987652314, 89786574

987652413, 89786583

Tous ces nombres multipliés par 10, c'est-à-dire avec un "0" ajouté en queue, sont également divisibles par 11.

Le plus petit:   123475869

Le plus grand: 987652413

Avec tous les chiffres y compris le "0":

Le plus petit:   1024375869

Le plus grand: 9876524130

 

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*       Nombre magique 142857

Sites

*       Les nombres pandigitaux divisible par 11 – Renée De Graeve – 2019 – Programmation 

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