NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

 

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PANNUMÉRIQUES

 

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Général

 

 

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Motifs

 

Magie

 

 

Pannumériques

Nombres & Carrés PN

Produits PN

123 456 789

381 654 729

PN & Repdigits

 

Sommaire de cette page

>>> Grille carrée pannumérique

>>> Nombre et sa puissance =  pannumérique

>>> Nombre et carré

>>> Les carrés différents

>>> Nombre et cube

>>> Nombre et puissance 4

>>> Nombre et puissance de 5 à 11

>>> Carré de nombres =  pannumériques

>>> Programmation

 

PN: Pannumériques / Anglais: pandigital

 

 

 

 

NOMBRES PANNUMÉRIQUES

CARRÉS

 

Trois types de pannumériques avec carrés:

*       Les neufs chiffres dans une grille carrée >>>

*       Le nombre et son carré sont pannumériques >>>

*       Le carré est un nombre pannumérique >>>

 

 

 

Un carré pannumérique

 

Problème

 

Avec tous les chiffres, remplir le carré avec tous les chiffres de 1 à 9.

 

A

1

2

3

B

4

5

6

C

7

8

9

 

Trouver leur disposition pour que

B = 2A

C = 3A

 

Solutions

 

2

1

9

 

3

2

7

4

3

8

 

6

5

4

6

5

7

 

9

8

1

 

Pour la solution de droite, on observe également que les sommes des couples « rangée / colonne » correspondantes sont égales:

N°1:

3 + 2 + 7

= 7 + 4 + 1

= 11

N°2:

6 + 5 + 4

= 2 + 5 + 8

= 15

N°3:

9 + 8 + 1

= 3 + 6 + 9

= 18

 

 

Tous les chiffres sont dans le nombre et son carré

 

CERNER LES RECHERCHES

 

*    Il s'agit de trouver un nombre qui, avec son carré, utilisent tous les chiffres. Remarquons que les deux nombres doivent totaliser 9 chiffres.

 

    N                                  Qté de chiffres

       9                       81           3

     99                  9 801           6

   100               10 000          8

   999              998 001         9

1 000         1 000 000        11

9 999         99 980 001       12

 

*    Le nombre N doit donc être compris entre 100 et 999.

*    Affinons:

 

100                10 000       8

300                90 000       8

316                99 856       8

317              100 489       9

999              998 001       9

 

*    Il est possible d'éliminer tous les grands N dont les chiffres se répètent.

 

317              100 489       9

987              => limite haute         

999              998 001       9

 

*    Autre idée pour limiter la recherche: par principe, chaque chiffre ne doit intervenir qu'une seule fois. Un chiffre des unités qui donnerait le même chiffre des unités dans le carré, n'est pas possible.
Soit Nu (N suivi du chirres des unités) le nombre et Cu, le carré.

 

N0                  C0              à éliminer

N1                  C1              à éliminer

N2                  C4               

N3                  C9               

N4                  C6               

N5                  C5              à éliminer

N6                  C6              à éliminer

N7                  C9               

N8                  C4               

N9                  C1               

 

*    Bilan: il faut balayer tous les nombres suivants:

 

317        318         319        322         323         324

327        328         329        332         333         334

                                                                       

977        978         979        982         983         984

987                                                                    

 

 

 

 

 

 

 

NOMBRE et son CARRÉ

 

*    Avec beaucoup de patience ou, … un peu de programmation, les deux vraies solutions se présentent:

 

N                         C =

567                      321 489

807                      651 249 (avec 0 et sans 3)

854                      729 316

 

 

 

 

LES CARRÉS DIFFÉRENTS

 

*    Trouver un nombre qui avec son carré n'utilisent aucun chiffre identique, mais par forcément tous les chiffres (comme ci-dessus).

 

N          N 2                                 N          N 2

2           4                                    54         2 916

3           9                                    57         3 249

4           16                                 59         3 481

7           49                                 72         5 184

8           64                                 79         6 241

9           81                                 84         7 056

17         289                               209       43 681

18         324                               259       67 081

24         576                               567       321 489

29         841                               807       651 249

53         2 809                            854       729 316

 

*    Ces sont les seuls.

Les trois derniers sont nos pannumériques (tous les chiffres).

 

 

 

NOMBRE ET CUBE

 

*    Trouver un nombre qui avec son cube utilisent tous les chiffres. Cherchons à centrer la solution:

 

N                      N 3                 Qté de chiffres

99                    970 299        8

100                  1 000 000     10

 

*    On passe directement de 8 à 10 chiffres

Il n'y a pas de solutions avec les neufs chiffres, sans le zéro. Ni avec le zéro.

*    Les seules valeurs avec aucun chiffre identique sont:

 

 N                          N 3

  2                             8

  3                           27

  8                         512

27                    19 683

 

 

 

 

 

 

NOMBRE ET PUISSANCE 4

 

*    Trouver un nombre qui avec sa puissance 4 n'utilisent aucun chiffre identique

*    Il existe un seul pannumérique:

 

 N                            N 4

  2                               16

  3                                81

  4                              256

  7                           2 401

  8                           4 096

32                    1 048 576

 

 

 

 

 

NOMBRE ET PUISSANCE de 5 à 11

 

*    Trouver un nombre qui avec sa puissance 5 à 11 n'utilisent aucun chiffre identique.

*    Les seules valeurs sont indiquées ci-dessous:

                  N           N 5        N 6        N 7         N 8        N 9        N 10       N 11

                  2             /            64          /             /             /             /             /

                  3             /            729       2 187     /             /             /             /

 

 

 

 

Le carré est un  nombre pannumérique

ou, quels sont les pannumériques dont la racine est un entier?

 

 

Racine de PN = N

 

Il existe 3 628 800 nombres pannumériques (0 à 9).

 

Aucun pannumérique avec les chiffres de 1 à k avec k = 1 à 7 n'est un carré.

 

Il existe 5 pannumériques avec les chiffres de 1 à 8 (ci-contre).

Pannumérique SANS le 0

30 cas

Pannumérique AVEC le 0

87 cas

 

Pannumérique comme puissance d'un nombre

Carrés

 

 

117cas

Cubes

2 cas

Puissance 4 Puissance 5

 

Aucun

 

 

Programmation – Recherche des racines entières

 

 

 

Commentaires

Remise à zéro et initialisation d'un compteur d'occurrences (kt).

Liste des chiffres (ici, les 10, mais choix possible). D'où qL pour obtenir la quantité de chiffres choisie.

Appel du package logiciel relatif à la combinatoire pour pourvoir exécuter la permutation des chiffres.

Boucle sur la quantité de permutation (3 628 800 avec les dix chiffres).

Sélection d'une des  permutations dans NN.

Calcul du nombre associé aux chiffres de cette permutation. L'instruction sum opère le cumul à partir de 1 et jusqu'à la quantité de chiffres choisie (qL).

Calcul de la racine voulue (ici, racine carré).

Si la racine st entière faire l'impression de cette racine et du pannumérique associé.

Fin de condition et fin de boucle.

Pour obtenir le résultat de ce calcul (les 30 + 87 = 117 cas vus ci-dessus), il faudra attendre une dizaine de minutes.  

 

 

 

 

 

Suite

*    Produits pannumériques

*    Nombre 123456789

*    Racines pannumériques

Voir

*    Nombre phénix ou de Lewis Carroll

*    Nombre magique 142857

Aussi

*    Croix pannumérique

*    Jeux – Index 

*    Rep-Digit

*    Rep-Unit

*    Triangle magique pannumérique

DicoNombre

*    Nombre 567

*    Nombre 854

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