NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

 

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Pavage

 

Débutants

Pavage

du PLAN

 

Glossaire

Général

 

 

INDEX

 

Géométrie

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Dominos

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Rectangles

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Échiquier

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Hexagone

Dodécagone

Penrose

 

Sommaire de cette page

>>> Point sur le pavage polygonal

>>> Pavage – Définition

>>> Trois pavages du plan avec polygones réguliers

>>> Pavage hexagonal de l'écolier

>>> Polygones réfléchis

>>> Vocabulaire

>>> Anglais

 

 

 

 

 

Pavage POLYGONAL

Pavage du plan avec des polygones

 

 

Trois possibilités seulement avec des polygones réguliers >>>

Nombreuses possibilités en combinant les polygones >>>

Autres possibilités avec des polygones irréguliers >>>

Anglais: Tessellation

 

 

Devinette

Faire une croix avec ces six pièces;

ou encore, faire la lettre V.

Solution

 

 

Le point en matière de pavage polygonal

 

On peut paver une surface plane (infinie) avec les formes géométriques suivantes:

*    triangle quelconque,

*    quadrilatère quelconque,

*    trois types d'hexagones convexes, et

*    quinze types de pentagones convexes (irréguliers).

Mais c'est impossible avec des:

*    polygones de plus de six côtés,

*    pentagones réguliers (108° incompatible avec 360°).

Il existe de nombreux types de pavages en mixant les formes régulières ou irrégulières.

 

Voir Pavage pentagonal / Polygones réguliers

 

 

 

Pavage

 

Le pavage d'un plan, à la manière d'un puzzle infini, doit recouvrir toute la surface sans trou ni chevauchement.

 

 

Condition pour les formes  assemblées à un sommet: la somme des angles doit être égale à 360°.

 

 

Somme des angles au sommet  = 360°

 

 

Les onze possibilités de pavage semi-régulier

Triangle, carré, hexagone, octogone et dodécagone

pour lesquels tous les sommets sont du même type.

 

Exemple: la dernière ligne indique que le sommet est formé des sommets d'un carré (90°), d'un hexagone (120°) et d'un dodécagone (150°). Total 360°  (Illustration)

 

Notation: chaque polygone est noté par son nombre de côté. La dernière ligne donnera: 4.6.12. (Illustration). La première sera 4.82.

 

Présentation: Chaque ligne du tableau peut faire l'objet d'un ou plusieurs types de pavage. Ainsi, la septième ligne donne: 33.42 qui a pour sommet trois fois un triangle (33) suivi de deux fois un carré (4²). Mais, avec la même combinaison, on peur aussi réaliser: 3².4.3.4 qui correspond à deux triangles, un carré, un triangle, un carré (voir modèles).

 

Généralisation: Il existe d'autres pavages en mixant des sommets de plusieurs types. En 1987, Grünbaum et Shephard donnaient une liste de 20 pavages semi-réguliers (2-uniform demiregular tilings) à sommet unique ou multi-sommet (voir modèles).

 

 

Douze exemples de pavages semi-réguliers  avec notation de chacun

 

Un exemple de pavage semi-régulier à deux types de sommet (3.4.6.4 et 3²4.3.4)

 

 

Pavages impossibles avec les polygones réguliers avec n = 5 ou n > 6

 

 

 

Exemples de pavages

 

Trois pavages du plan avec des polygones

CARRÉS

 

TRIANGLES

équilatéraux

HEXAGONES

réguliers

 

Note: l'hexagone peut être découpé selon diverses formes à son tour.

Un exemple ci-dessous.

 

 

 

Pavage hexagonal d'écolier

 

Pouvez-vous voir le relief des cubes de deux manières différentes?

*    Escaliers montants vers la droite avec le plat des marches en bleu, ou

*    Escaliers montants vers la gauche avec le plat des marches en orange.

Voir Illusions

 

 

Exemple de pavage particulier avec des losanges (deux types)

Voir Losange (Penrose)

 

 Polygones réfléchis

 

Une méthode générale de pavage du plan consiste à utiliser des polygones réfléchis.

Ici, le pentagone dont une partie est repliée sur lui-même le long d'une ligne passant par deux sommets.

La tuile jaune est utilisée pour paver le plan.

 

Cette méthode est valable pour tout polygone ayant un nombre impair de côté, supérieur à 3.

 

Un pentagone réfléchi régulier sert de tuile pour paver un décagone régulier. Le pavage peut être étendu à tout le plan.

 

Cas de l'heptagone et son réfléchi (à gauche).

 

 

Une idée du pavage qu'il est possible de réaliser (à droite).

 

L'angle aigu du polygone réfléchi à n côté est égal à:

 

Pentagone réfléchi: 36 °

Heptagone réfléchi: 25,714 …°

Anglais pour tuile: tile (tuile) ou aussi shield qui veut dire bouclier, écu, blason

 

 

Devinette – Solution

 

Retour

 

 

Vocabulaire

Polygone régulier

Polygone irrégulier

Polygone dont les côtés sont tous égaux. Dans le cas contraire, ils sont irréguliers (ou quelconque).

Polygone convexe

Les droites portant les côtés sont toutes externes au polygone (aucune de possède de segment interne au polygone).

Angle (intérieur) du polygone

Angle donnant vers l'intérieur du polygone.

D'une manière générale la somme des angles intérieurs d'un polygone vaut: S = (n – 2) x 180, avec n le nombre de côtés. L'angle intérieur pour un polygone régulier vaut alors: A = S / n. Ex. Pour n = 6 (hexagone): S = 4 x 180 = 720° et, pour l'hexagone régulier: A = 720 / 6 = 120°.

Formes congruentes

Autre terme pour dire superposables (ou égales).

Plan (surface plane)

Ce qui est plat, à deux dimensions, comme la surface d'une table.

Le problème du pavage suppose que la surface est infinie.

Comme pour carreler une pièce il faut sectionner des carreaux; un exemple de dessin de pavage montrera des formes tronquées.

Voir DicoMot Maths

 

English corner

 

A tessellation is created when a shape is repeated over and over again to cover the plane without any overlaps or gaps.

A vertex of a tessellation is a point where three or more corners of the tessellating shapes are joined.

 

A tessellation can be defined as the covering of a surface with a repeating unit consisting of one or more shapes in such a way that:

*    there are no spaces between, and no overlapping of, the shapes thus employed, and

*    the covering process has the potential to continue indefinitely (for a surface of infinite dimensions).
 

Voir Anglais

 

 

 

 

 

 

Suite

*    Pavage avec pentagones

*    Jeu du PLU PLUS

Voir

*    Carré

*    Carrés parfaits

*    Construction géométrique des nombres

*    Dodécagone

*    Dominos

*    Frises – Bandes décoratives

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*    Golygone à huit côtés

*    Hexagone – Généralités 

*    Hexagone – pavage

*    Méandres

*    Pavage mystérieux du triangle

*    Pentominos

*    Poincaré

*    Polygone

*    Triangle équilatéral

Diconombre

*    Nombre 3

*    Nombre 6 – hexagone

Sites

*    Tessellation Tutorials – Suzanne Alejandre – Très complet!

*    Shapes that tesssellate – Illustrations de nombreuses possibilités; possibilité de créer votre propre pavage.

*    The mathematcis of tesselation – Andrew Harris – 2000

*    Demiregular tiling Wikipedia – Tous les pavages et liens vers d'autres sites cherchant l'exhaustivité.

*    TilingJaap Scherphuis – Quantité de pavages, sinon tous, avec applet pour créer les vôtres.

Cette page

http://villemin.gerard.free.fr/Pavage/Polygone.htm