NOMBRES – Curiosités, Théorie et Usages

 

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Somme des puissances de nombres en progression arithmétique

Produit de nombres en progression arithmétique

Somme de produits de nombres en progression arithmétique

Somme de produits – Méthode générale de calculs

 

Sommaire de cette page

>>> Produit de nombres en progression arithmétique

>>> Exemples de calculs

>>> Tables pour (r, d, n) de 1 à 10

>>> Bilan

 

 

 

PRODUIT des PUISSANCES

de nombres en progression arithmétique

(produit PNPA)

 

Nous connaissons les sommes de nombres en progression arithmétique.

Cette page traite du calcul du produit de nombres en progression arithmétique.

 

Exemple

 

Notation: Ppr, d (n)

Produit de n termes en progression arithmétique de raison r, en commençant par le nombre de départ d.

La cas du produit porté à la puissance p est trivial: Ppr, d = (P1r, d)p

 

Voir Nombres consécutifs

 

 

Produit de nombres en progression arithmétique

 

On cherche à calculer un produit tel que celui-ci:

*    raison de la progression: r = 5

*    nombre de départ: d = 3

*    quantité de facteurs: n = 4

 

P5, 3 (4)  = 3 x 8 x 13 x 18 = 5 616

 

Formule avec produit itératif

On lit: produit des nombres (d + k.r) pour toutes les valeurs de k de 0 à n.

Chaque facteur est la somme du nombre de départ (d) avec k fois la raison.

 

Formule de calcul direct

Avec emploi de la fonction gamma (factorielles généralisées)

GAMMA (n) =  (n – 1)!

lorsque n est un nombre entier

Voir Lettres grecques

 

 

Exemples de calculs

Programme
Avec implémentation des deux calculs

Autres exemples

 

P2, 2 (2)  = 2 x 4 = 8

P2, 2 (10) = 2 x 4 x … x 20 = 3 715 891 200 

P2, 10 (10)  = 10 x 12 x … x 28 = 3 719 607 091 200

P3, 3 (3)  = 3 x 6 x 9 = 162

P3, 10 (10)  = 3 x 6 x … x 30 = 214 277 011 200

  

 

Bilan

Soit le produit compte un petit nombre de facteurs, alors le calcul à la main ou avec calculette est simple.

Soit la quantité de facteurs est importante, alors un logiciel s'impose, et le calcul peut être effectué classiquement avec la multiplication itérative ou avec la formule de calcul direct utilisant les factorielles (gamma).

 

Voir Table des produits pour {d, r, n} de 1 à 10 >>>

 

 

 

 

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*      Somme des puissances successives

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*      Toutes les formules de somme

*      Nombres de Bernoulli et sommes de puissances

Voir

*      Identités remarquables – Formulaire

*      Nombres consécutifs Index

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*      Somme des puissances des nombres successifs - Holopotentiel

*      Tautochronie

Sites

*      How to find the product of n terms of an arithmetic progression – Mathematics 

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http://villemin.gerard.free.fr/Wwwgvmm/Identite/MulPuiPA.htm