NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

 

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Sommaire de cette page

>>> Inverse de nombres – Somme

>>> Inverse de nombres – Produit

>>> Inverse de carrés – Produit

>>> Avec des produits

>>> Avec des produits & carrés

>>> Expressions avec inverses de nombres

 

 


 

 

SOMMES D'INVERSES

de toute nature

 

Exploration générale.

 

Voir Liste de formules pour  les nombres et leur carré

 

 

 

Inverses de nombres – Somme

 

Particulier

Suite >>>

 

Général

 

La somme des inverses de tous les nombres tend lentement vers l'infini. C'est la série harmonique: 1/1 + 1/2 + 1/3 + …

Aucune formule générique pour donner cette somme pour le rang n.

 

Quelques sommes

 = 1, 1666…                     (Ne pas confondre avec 1, 666… = 5/3)

 

 = 7,071 031 746 50

 

Pour des nombres successifs

 

=   =

 

 =  =

 

 =

 

 =

 

 

 

 

Inverses de nombres – Produit

 

Produit des inverses

 

Le produit des inverses est égal à l'inverse de la factorielle:

1/1 x 1/2 x 1/3 x … x 1/n    =   1 / n!

 

Opposés des inverses

 

=  =

 =

Etc.

Il s'agit du produit de fractions dont le numérateur est égal au dénominateur moins une unité, comme: 1 – 1/4 = 3/4.

Exemple de produit 2/3 x 6/7 x 7/8 = (2x6x7)/(3x7x8) = ½.

 

Avec des nombres

 

L'expression se simplifie grandement lorsque les nombres se suivent. Seules les deux extrémités résistent, comme dans:

 

3/4 x 4/5 x 5/6 = 3/6.

 

Simplification maximale, en commençant par 1/2:

 

Exemple:  

Numérateur et dénominateur se simplifient.

 

Général

 

 

 

 

Inverses de carrés – Produit

 

Produit des inverses des carrés

 

Le produit des inverses des carrés est égal à l'inverse de la factorielle au carré:

1/1² x 1/2² x 1/3² x … x 1/n²    =   1 / (n!)²

 

Opposés des inverses au carré

 

 =

 

 = 

Etc.

Il s'agit du produit de fractions dont le numérateur est égal au dénominateur moins une unité.

 

Avec des nombres

En remplaçant les lettres par les nombres successifs:

 

(1 – 1/2²) (1 – 1/3²) (1 – 1/4²) … (1 – 1/n²)   =   (n + 2) / (2n + 2)

 

Pour n =      2:     4/6      = 0,666… & (1-1/4)(1-1/9) =3/4 x 8/9 = 2/3 = 0,666…

Pour n =   10:   12/22    = 0,54545454…

Pour n = 100: 102/202 = 0,5049504950…

Pour n très grand, la valeur tend vers 1/2.

 

Pour des nombres successifs

 

 =

= = 

Application:

                   (1-1/2²) (1-1/3²) (1-1/4²) = (9-4) / (9-1) = 5/8

Vérification: (1-1/2²) (1-1/3²) (1-1/4²) = 3/4 x 8/9 x 15/16 = 5/8

 

Voir Somme de carrés

 

 

 

Avec des produits

 

Voici l'art de créer des fractions dont numérateur et dénominateur ne différent que d'une unité; le dénominateur étant un carré.

 

 

Suite des fractions produites par cette expression:

 

{3/4, 8/9, 15/16, 24/25, 35/36, 48/49 …}      D= carré et N = D-1.

 

 

 

Avec des produits & carrés

 

Voici l'art de créer des fractions dont les dénominateurs sont la suite de tous les nombres impairs:

 

 

Le numérateur, produit de deux nombre consécutifs, est pair. La fraction se simplifie toujours par 2. Le dénominateur vaut 2n + 1, un nombre impair.

 

Valeurs pour n de 1 à 20

 

                                  n         Terme            Somme        Valeur

                                  1          1/3                   1/3                 0, 333333333

                                  2          4/15                3/5                 0, 6

                                  3          9/35                6/7                 0, 857142857

                                  4          16/63              10/9              1, 111111111

                                  5          25/99              15/11            1, 363636364

                                  6          36/143            21/13            1, 615384615

                                  7          49/195            28/15            1, 866666667

                                  8          64/255            36/17            2, 117647059

                                  9          81/323            45/19            2, 368421053

                                  10       100/399          55/21            2, 619047619

                                  11       121/483          66/23            2, 869565217

                                  12       144/575          78/25            3, 120000000

                                  13       169/675          91/27            3, 370370370

                                  14       196/783          105/29          3, 620689655

                                  15       225/899          120/31          3, 870967742

                                  16       256/1023       136/33          4, 121212121

                                  17       289/1155       153/35          4, 371428571

                                  18       324/1295       171/37          4, 621621622

                                  19       361/1443       190/39          4, 871794872

                                  20       400/1599       210/41          5, 121951220

 

 

 

Expressions avec inverses de nombres

 

 

 

 

 


 

Suite

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Voir

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