NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

 

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NOMBRE D'OR

 

Glossaire

NOMBRE

D'OR

 

 

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Suite de Fibonacci

 

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Phi et Fibonacci

Proportion

Introduction

Formules

Puissances

Construction

Historique

Fraction continue

Trigonométrie

Géométrie

 

Sommaire de cette page

>>> Phi & suite de Fibonacci

>>> Série infinie

>>> Suite de Fibonacci et de Lucas

>>> Série de Fibonacci

 

 

 

 

 

 

Nombre d'or et

ses relations avec

la suite de Fibonacci

 

 

*    On sait déjà que le rapport entre deux termes successifs de la suite de Fibonacci converge vers le nombre d'or lorsque les termes deviennent très grands.

*    Nous allons explorer d'autres propriétés.

 

 

 

PHI & SUITE DE FIBONACCI

 

Puissance de Phi et Fibonacci en formule – Suite d'or

 

 

Φ 1

Φ 2

Φ 3

Φ 4

Φ 5

Φ 6

= Φ

= Φ + 1

= 2Φ + 1

= 3Φ + 2

= 5Φ + 3

= 8Φ + 5

 

 

= Φ 1 + Φ 2

= Φ 2 + Φ 3

= Φ 3 + Φ 4

= Φ 4 + Φ 5

Voir Puissances de Phi

 

Φ n = Φ n-1 + Φ n-2 = a Φ + b

ou a et b sont des suites de Fibonacci.

 

La suite des nombres de Fibonacci est la seule suite ayant les deux propriétés:

Un+1 = Un + Un-1

 

 

Développement de Phi et Fibonacci:

 

Si on calcule Φ avec le développement de sa fraction continue:

 

Φ = 1+ 1/ (1+ (1/  ...

 

1/1

2/1

3/2

5/3

8/5

13/8

21/13

...

 

On retrouve au numérateur et dénominateur la suite de Fibonacci. Ces formes sont appelées les réduites du nombre d'or.

 

Voir Tour de magie exploitant cette propriété

 

 

 

Séries infinies

 


 

 

 

 

SUITE DE FIBONACCI ET DE LUCAS

 

Le rapport entre deux nombres de Fibonacci consécutifs tend vers le nombre d'or.



Le nombre d'or sévit également avec la cousine de la suite de Fibonacci, la suite de Lucas:

*    Chaque terme est également la somme des deux précédents; et

*    Le départ est constitué de deux nombres pris au hasard (traditionnellement 1 et 3), alors que c'est 1 et 1 pour Fibonacci.

 

Exemples

 

Fibonacci

Lucas

Lucas négatif

Suite

Rapport

Écart

Suite

Rapport

Écart

Suite

Rapport

Écart

1

 

x 109

3

 

x 109

-1

 

x 109

1

 

 

7

 

 

-5

 

 

2

2,00

 

10

1,43

 

-6

1,20

 

3

1,50

 

17

1,70

 

-11

1,83

 

5

1,66

 

27

1,59

 

-17

1,55

 

8

1,6

 

44

1,63

 

-28

1,65

 

13

1,625

 

71

1,614

 

-45

1,607

 

21

1,615

 

115

1,620

 

-73

1,622

 

34

1,619

 

186

1,617

 

-118

1,616

 

55

1,6176

 

301

1,6183

 

-191

1,619

 

89

1,6182

 

487

1,6179

 

-309

1,6178

 

144

1,61798

 

788

1,6181

 

-500

1,6181

 

233

1,61806

 

1275

1,61802

 

-809

1,61800

 

377

1,61803

-8238

2063

1,61804

5227

-1309

1,61805

12983

610

1,61804

3147

3338

1,618032

-1997

-2118

1,61803

-4959

987

1,618033

-1202

5401

1,618035

763

-3427

1,618036

1894

1597

1,6180344

459

8739

1,6180337

-291

-5545

1,618033

-724

2584

1,6180338

-175

14140

1,6180341

111

-8972

1,6180343

276

4181

1,6180341

67

22879

1,6180339

-42

-14517

1,6180339

-106

6765

1,61803396

-26

37019

1,61803400

16

-23489

1,61803403

40

10946

1,61803400

10

59898

1,61803398

-6

-38006

1,61803397

-15

17711

1,61803399

-4

96917

1,61803399

2

-61495

1,61803399

6

28657

1,61803399

1

156815

1,61803399

-1

-99501

1,61803399

-2

46368

1,61803399

-0,5

253732

1,61803399

0,3

-160996

1,61803399

0,9

 

Nombre d'or = 1,6180339887…

   

La vitesse de convergence du rapport de deux nombres successifs vers le nombre d'or est quasiment identique en Lucas comme en Fibonacci:   < 1/ 1 milliard après 25 termes.

 

 

 

 

Suite de Fibonacci généralisée

 

*    Suite définie par

 

*    Elle s'exprime aussi avec le nombre d'or (Phi):

 

 

*    On retrouve la suite classique en prenant  et :

U1 =    1,000

U2 =    3,000

U3 =    4,000

U4 =    7,000

U5 =  11,000

*    À noter que le premier terme de la formule augmente indéfiniment, tandis que le second tend vers zéro. Conséquence: le rapport un+1 / un tend vers Phi.

 

 

 

 

 

Suite

*    Modulor

*    Nombre d'or dans le bras

*    Nombre d'or dans les doigts

*    Puissances de Phi et Fibonacci

*    Valeurs du nombre d'or

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