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ITÉRATIONS

 

Débutants

Fibonacci

Nombres de

FIBONACCI et Cie

 

Glossaire

Suite et série

 

 

INDEX

 

Fibonacci

 

Itérations

 

Fibonacci

Propriétés (1/2)

Propriétés (2/2)

Formule de Binet et Binet généralisé

Fraction 1/89 et polynôme générateur

 

Sommaire de cette page

>>> Comment établir la formule de Binet ?

>>> Formule de Binet sous diverse formes

>>> Formule de binet – Commentaires

>>> Progression exponentielle

>>> Croissance avec Phi

>>> Calcul PRATIQUE

>>> Somme des puissances de Phi et Phi' = entier

>>> Formule de Binet généralisée

>>> Suites de Fibonacci généralisées

 

 

 

 

SUITE DE FIBONACCI

Formule de Binet

  

Comment calculer directement les nombres de Fibonacci sans avoir à calculer tous les précédents. Généralisation des nombres de Fibonacci.

En 1834, Jacques Binet (1786-1856) publie une formule qui donne le énième nombre de la suite de Fibonacci. Elle était connue d'Abraham de Moivre (1718), Daniel Bernoulli, et démontrée par Leonhard Euler (1765).

 

La formule de Binet pour calculer un nombre de Fibonacci de rang n >>>

En pratique pour calculer un nombre de Fibonacci de rang n élevé >>>

 

 

Comment établir la formule de Binet ?

La suite de Fibonacci a l'allure exponentielle d'une suite géométrique.

[1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, …]

Forme générique d'une suite géométrique:

Selon la relation de récurrence de la suite de Fibonacci.

En divisant par a.rn-1

Équation du second degré dont les racines sont:

D'une suite géométrique nous passons à deux possibles.

Si la relation de récurrence est satisfaite, reste à vérifier que les conditions initiales sont respectées.

F0 = 0;   Or, G0 = a; 

Ce qui veut dire que a  = 0; ce qui est impossible; il n'y aurait pas de suite géométrique.

Observation conduisant à profiter des deux suites trouvées pour former une nouvelle suite qui satisfait toujours la récurrence.

Gn+1 =  Gn + Gn-1

Hn+1 =  Hn + Hn-1 

Gn+1 – Hn+1  =  Gn – Hn + Gn-1 – Hn-1 

Notre formule prend forme:

Condition initiale: F0 = 0

F0 = G0 – H0 = a(1 – 1) = 0

Autre condition initiale: F1 = 1

 

Formule finale:

 

 

 

Formule de Binet sous diverses formes

Formules développées

 

Note: ici, nous avons la différence entre les deux termes en phi qui, divisée par racine de 5, donne un entier. La somme, sans cette division, donne aussi un entier >>>

 

 

 

Formules condensées

 

Avec le nombre d'or.

et l'opposé de son inverse


 

 

 

 

 

Toutes ces formules donnent bien ce résultat, avec F0 = 0:

[0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610,…]

En remplaçant la puissance n par n + 1, vous trouverez:

[1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987]

avec F0 = 1.

 

Voir Table des nombres de Fibonacci / Généralisation de la suite de Fibonacci

 

Formule de Binet – Commentaires

*      Avec n = 1, on retrouve bien le premier terme.

*      Avec n = 2, on retrouve bien le deuxième terme.

 

 

 

*      Avec n = 3, idem.

 

 

 

 

*      En fait, la formule donne effectivement des nombres entiers malgré la présence de racine de 5. Un calcul littéral comme ci-dessus donne le nombre entier. Cependant, il devient vite fastidieux.

*      Un calcul sur machine donnera un résultat très proche de l'entier. Il suffit d'arrondir pour l'obtenir. Un logiciel comme Maple donne les valeurs de ce tableau:

 

*      Ce même logiciel, auquel on demande une précision de 1000 décimales sort la valeur suivante de F25:  75024.999…99761000 décimales

 

 

 

Progression exponentielle

 

*    La progression  de la suite de Fibonacci est exponentielle.

 

 

*    En demandant la courbe de tendance pour la courbe de droite sur le tableur Excel, l'équation donnée est la suivante:

y = 0,4547 e0,4807 x

 

*    Cependant, cette fonction ne donne une valeur que très approchée. La formule de Binet donne la valeur exacte.

 

   Exemple

 

 

Croissance avec Phi – Efficacité de la formule de Binet

 

*    La formule de Binet comporte deux termes dont l'un croît et l'autre décroît.

*    Le tableau montre l'évolution de ces deux termes. La colonne de droite donne le poids (P) du terme décroissant. Pour n = 10, sa valeur  n'est que 66 millionièmes du nombre de Fibonacci, et pour n= 20, c'est moins d'un milliardième.


 

*    Lorsque les lapins n'attendent pas pour procréer, la progression est exponentielle en puissance de 2:   

                              2,    22 ,  23 ,  24 ,  25 ….

*    La suite de Fibonacci est exponentielle comme la puissance du nombre d'or (avec un facteur de "un sur racine de 5").

                                     

 

 

 

 

Calcul en pratique

 

*    Pour n suffisamment grand, la formule de Binet devient simplement:

 

 

*    Le tableau montre la valeur des nombres de Fibonacci Fn et la valeur du premier terme de la formule de Binet Gn.
Notez que dans tous les cas:

Arrondi (Gn) = Fn

 

En pratique, pour calculer un nombre de Fibonacci avec la formule de Binet, seul le calcul du premier terme suffit.

 

Exemple de calcul de F10 avec la calculette:

*    Entrez :1,618 (cette approximation suffit)

*    Mettre à la puissance 10 avec la touche xy => 122,966…

*    Entrez le symbole diviser (/)

*    Puis le nombre 5

*    Touche racine carrée => 2,2360…

*    Enfin, touche entrez (ou touche =)

                     => 54,992… Arrondi à 55.

 

 

 

Somme des puissances de Phi et Phi' = entier

 

*    Calculons la somme des termes de la formule de Binet (sans diviser par racine de 5)

Cette somme est un entier qui est lié aux nombres de Fibonacci.

 

 

*      Début d'explication: chaque développement des puissances conduit à un nombre suivi d'une racine de 5 de coefficient égal mais opposé. Avec la somme, ces deux coefficients s'annulent.

 

 

 

Formule de Binet généralisée

Le coefficient en racine de 5 dans la formule de Binet est rendu quelconque.

 

 

FIBONACCI

La suite de Fibonacci est obtenue avec la formule de Binet.

 

[1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610,…]

F1 = 1, F2 = 1 …

 

Programme Maple

 

Notes: on commence bien la boucle avec n = 1.

Le coefficient en racine de cinq (rc)  est appliqué en plus sur le premier terme et en moins sur le second

Les nombre entiers de la suite sont obtenus en arrondissant (round) les valeurs calculées

LUCAS

 

On retrouve la suite de Lucas avec les coefficients (1, 1)

 

Note: deux versions au départ: F1 = F2 = 2 ou F1 = 1 et F2 = 3.

 

 

[1, 3, 4, 7, 11, 18, 29, 47, 76, 123, 199, 322, 521, 843, 1364 …]

F1 = 1, F2 = 3 …

 

Programme Maple

 

Note:

Cette fois les coefficients sont :
alpha = 1, et
béta  = – 1 

Voir Convergence du rapport de ces suites (nombre d'or et ses cousins)

 

Merci à Jamila B. pour ses remarques

 

 

Suites de Fibonacci généralisées

Prenons la suite construire à partir de a = 2 et b = 5.

2, 5, 7, 12, 19 …

Quelle est la "formule de Binet" qui permet de construire cette suite ?

 

La solution consiste à ajouter deux suites  (Fibonacci  + Lucas) chacune dans une certaine proportion.

 

 

 

Cette formule résulte d'un calcul sur une suite récurrente à deux termes. (Voir les sites en référence).

 

Pour note exemple

 

En effet

Calcul du énième terme

 

Merci à Jean-Pierre G pour ses remarques

 

 

Suite

*       Fibonacci et les lapins

*       Nombres de Lucas

Voir

*       Arctg et Fibonacci

*       Fraction continue

*       Récurrence

*       Théorie des nombres

*       Pavage du rectangle avec des dominos

*       Tables des nombres de Fibonacci et autres

Aussi

*       Arctg et Fibonacci

*       Boucle infernale

*       Calcul mental

*       Chaîne d'Or

*       Fraction continue

*       Géométrie

*       Nombre d'or

*       Nombres en cercle

*       Récurrence

*       Théorie des nombres

Sites

*       Formule de Binet pour les suites de Fibonacci et de Lucas – Chronomath

*       Suites numériques récurrentes linéaires à 1 ou 2 termes – Chronomath

*       Binet's Formula – AoPS Wiki

*       Binet's Fibonacci Number Formula – Wolfram MathWorld

*       Linear Recurrence Equation – Wolfram MathWorld

Cette page

http://villemin.gerard.free.fr/Wwwgvmm/Iteration/Binet.htm