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FRACTIONS CONTINUES ou fractions à étages Moyen de décrire un nombre
décimal qui présente une analogie
avec la découpe d'un rectangle; qui ressemble au calcul du
PGCD; et qui permet de résoudre des
équations. |
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La découpe du rectangle |
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Passons aux fractions |
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8
/ 3
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[2;
1, 2]
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Notations
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Quelques fractions simples
Et les petites fractions ( < 1) |
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3 / 5
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[0; 1, 1, 2]
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[ 1; 1, 2]
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En jaune, on retrouve la
fraction continue: 27 / 7 = [3; 1, 6] L et l sont les dimensions des carrés formés dans
le grand rectangle de épart de 27 x 7.
Le
PGCD est la taille l du dernier carré Dans l'exemple ci-dessus: l = 1 et PGCD(27, 7) = 1 . 27 et 7 sont premiers
entre eux ( on dit aussi: étrangers).
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Soit une racine
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Sa valeur est
supérieure à 1 et inférieure à 2
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= 1 + y
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Exprimons y en fraction avec un dénominateur
supérieur à 1
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= 1 + 1/x
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Quelle est la
valeur de x ?
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x
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= 1 / (
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En multipliant
par le conjugué
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= (
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Mais nous
connaissons la valeur de la racine de 2
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= (1 + 1/x + 1)
= 2 + 1/x
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On remplace x par
sa valeur chaque fois qu'il apparaît
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x
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= 2+1/(2+1/2+1/…
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Nous avons notre
fraction continue et la valeur de
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= [1; 2, 2, 2, 2…]
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Racine carrée des premiers nombres E: entier:
valeur entière de la fraction continue
P: période:
chiffres qui se répètent indéfiniment
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Calcul de la racine carrée d'un
nombre en
utilisant sa fraction continue |
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Appliquons ce que nous venons de voir au calcul des racines carrées.
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Soit une racine.
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= 8,7749…
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Sortons le carré
le plus grand possible.
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77
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= 64 + 13
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Premier étage de
la fraction continue.
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Expression de x
en utilisant la multiplication par le conjugué.
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Quel est l'entier
le plus grand inférieur à x1?
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E
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Valeur de x1
en fraction:
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Remplacement de x1
par sa valeur:
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Entier le plus
grand:
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E
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Nouveau nombre de
la fraction continue:
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Remplacement de x2
par sa valeur:
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Entier le plus
grand:
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E
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Etc.
La fraction
continue s'écrit:
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Cette fraction,
en s'arrêtant à 2 devient
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Si vous voulez
continuer:
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Voir DicoNombre
77
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Le nombre d'or
vaut
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= (1 +
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Solution de l'équation
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x² – x – 1
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= 0
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On peut l'écrire
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x²
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= x + 1
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Ou encore, en
divisant par x
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x
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= 1 + 1/x
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Soit la fraction
continue
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= 1 + 1/(1 + 1/(1 + 1/(1 + …
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En abrégé
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= [1, 1, 1, 1…]
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||||
Soit l'équation
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x²
– 5x – 1
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= 0
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On peut l'écrire
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x²
|
= 5x + 1
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Ou encore
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x
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= 5 + 1/x
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Soit la fraction
continue
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= 5 + 1/(5 + 1/(5 + 1/(
…
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En fait les deux
solutions sont:
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5/2
+ 1/2 .
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5/2
- 1/2 .
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Valeur numérique
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5,192582404
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-0,192582404
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Fractions
continues
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[5,
5, 5, 5, 5, 5, 5, …]
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[-1,
1, 4, 5, 5, 5, 5, 5, …]
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||
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Les racines réelles
d'une équation du 2e degré à coefficients entiers s'expriment sous
la forme d'une fraction continue périodique.
Lagrange (1736-1813) |
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Le nombre d'or
vaut
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= (1 +
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On s'intéresse
aux équations :
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x² – nx – 1 = 0
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Dont les racines
réelles sont:
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S(n)
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= n + 1/(n +
1/(n + 1/(n + …
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Ou, en fraction continue
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= [n;
n, n, n, …]
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C'est aussi
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=
n + 1 / S(n)
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Définition Un
nombre d'argent Sn
d'ordre n est un nombre égal à l'ordre augmenté de son propre
inverse: Sn
= n + 1/Sn
Nombres d'argent jusqu'à 10 (Parfois:
nombre d'argent pour S(2) et nombres
métalliques pour la famille. S(3) sera le nombre de bronze, S(4), le
cuivre, etc.) |
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Voir Autre nombre d'argent
(équation du 3e degré) / Racine de deux
/ Liste
de nombres irrationnels
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Voir |
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