NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

 

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FRACTIONS

 

Débutants

Fractions

Fractions continues

 

Glossaire

Fractions

 

 

INDEX

 

Fractions

 

Calculs

Généralités

Valeurs

Analogie rectangle

Calcul

Calendriers

Propriétés

Ramanujan

Engrenages

 

Sommaire de cette page

>>> Analogie avec rectangles

>>> Fractions simples

>>> Premières fractions

>>> Fractions consécutives

>>> Fractions avec Fibonacci

>>> Fractions et pgcd

>>> Fractions et racines

>>> Calcul de la racine carrée d'un nombre

>>> Fractions et nombre d'or

>>> Théorèmes

>>> Nombres d'argent

 

 

 

 

 

FRACTIONS CONTINUES

ou fractions à étages

 

Moyen de décrire un nombre décimal

qui présente une analogie avec la découpe d'un rectangle;

qui ressemble au calcul du PGCD; et

qui permet de résoudre des équations.

 

 

 

ANALOGIE AVEC RECTANGLES

La découpe du rectangle

*       Prenons un rectangle:

8 x 3

*       On le découpe en carrés, autant que possible:

2 carrés de 3 x 3

1 carré de 2 x 2

2 carrés de 1 x 1

*       De sorte que le rectangle: est caractérisé par les trois nombres suivants:

 

 

[2, 1, 2]

 

 

 

 

Passons aux fractions

*       Soit la fraction (mêmes chiffres que pour le carré):

8 / 3

*       On la décompose autant que possible en nombres entiers:

*       On peut l'écrire, en ne conservant que des fractions supérieures à 1:

*       En recommençant la décomposition:

*       De sorte que la fraction est caractérisée par les trois nombres suivants:

[2; 1, 2]

 

Notations

 

*       On peut représenter la fraction à étages par sa formule: c'est lourd.

*       On simplifie l'écriture en donnant la liste des nombres caractéristiques.

L'usage veut que le nombre entier de parts soit suivi d'un " ; "

*       Lorsqu'il est impossible d'arrêter (le rectangle se décompose sans fin en carrés), on obtient une suite infinie de nombres.

C'est l'origine du nom: fraction continue.

 

 

 

FRACTIONS SIMPLES

 

Quelques fractions simples

 

Et les petites fractions ( < 1)

*       Soit la fraction

3 / 5

*       On inverse la fraction

*       On la décompose

*       Caractérisation de 3 / 5

[0; 1, 1, 2]

*       Rappel pour 5 / 3

[    1; 1, 2]

 

 

 

PREMIÈRES FRACTIONS

 

 

Voir Suite


Les fractions continues qui se suivent

Voir Suite

 

 

 

FRACTIONS avec FIBONACCI

 

*    On calcule le rapport entre les nombres successifs de Fibonacci.

 


 Illustration

*    Représentation en découpe du rectangle de la fraction [1, 1, 1, 1, 1 … 1]

 

 

 

 

 

FRACTIONS et PGCD

 

*    Écrivons le procédé de calcul de la fraction continue autrement:

 

 

En jaune, on retrouve la fraction continue:

27 / 7 = [3; 1, 6]

 

L et l sont les dimensions des carrés formés dans le grand rectangle de épart de 27 x 7.

 

 

*    Calcul du PGCD (Plus grand commun diviseur)

*    En fait cette méthode conduit au PGCD de deux nombres: c'est l'algorithme d'Euclide

Le PGCD est la taille l  du dernier carré

Dans l'exemple ci-dessus: l = 1 et PGCD(27, 7) = 1 .

27 et 7 sont premiers entre eux ( on dit aussi: étrangers).

 

 

 

 

FRACTIONS et RACINES

 

*    Avec des fractions, nous savons faire des fractions continues.
Mais, est-ce possible avec des racines de nombres ?
Il n'y a pas d'expression sous forme de fraction. Les mathématiciens ont trouvé une méthode. Voici comment on s'y prend:
 

Soit une racine

2

 

Sa valeur est supérieure à 1 et inférieure à 2

 

= 1 + y

Exprimons y en fraction avec un dénominateur supérieur à 1

 

= 1 + 1/x

Quelle est la valeur de x ?

x

= 1 / (2 – 1)

En multipliant par le conjugué

 

= (2 + 1) / (2 – 1)

= (2 + 1)

Mais nous connaissons la valeur de la racine de 2

 

= (1 + 1/x + 1)

= 2 + 1/x

On remplace x par sa valeur chaque fois qu'il apparaît

x

= 2+1/(2+1/2+1/…

Nous avons notre fraction continue et la valeur de 2

 

= [1; 2, 2, 2, 2…]

 

Racine carrée des premiers nombres

E: entier: valeur entière de la fraction continue

P: période: chiffres qui se répètent indéfiniment

 

 

*    Le dernier chiffre de la fraction continue est égal au double du premier

*    2, 5, 10, 17 ont deux chiffres

- progression avec les impairs successifs: 3, 5, 7

*    3, 6, 11, 18 ont trois chiffres

-  les deux premiers sont identiques: 1,1;   2,2;   33.

*    3, 8, 15, 24 ont trois chiffres

- le centre est égal à 1.

 

 

Calcul de la racine carrée d'un nombre

en utilisant sa fraction continue

 

Appliquons ce que nous venons de voir au calcul des racines carrées.
 

Soit une racine.

= 8,7749…

Sortons le carré le plus grand possible.

77

= 64 + 13

Premier étage de la fraction continue.

Expression de x en utilisant la multiplication par le conjugué.

Quel est l'entier le plus grand inférieur à x1?

E

Valeur de x1 en fraction:

Remplacement de x1 par sa valeur:

Entier le plus grand:

E

Nouveau nombre de la fraction continue:

Remplacement de x2 par sa valeur:

Entier le plus grand:

E

Etc.

La fraction continue s'écrit:

Cette fraction, en s'arrêtant à 2 devient

Si vous voulez continuer: 

Voir DicoNombre 77

 

 

 

FRACTIONS et NOMBRE D'OR

*    Nombre d'or

Le nombre d'or vaut

 

 

= (1 + 5) / 2

= 1,618033989…

Solution de l'équation

x² – x – 1

= 0

On peut l'écrire

= x + 1

Ou encore, en divisant par x

x

= 1 + 1/x

Soit la fraction continue

 

= 1 + 1/(1 + 1/(1 + 1/(1 + …

En abrégé

= [1, 1, 1, 1…]

*    Généralisation à la résolution des équations du 2e degré

Soit l'équation

x² – 5x – 1 

= 0

On peut l'écrire

= 5x + 1

Ou encore

x

= 5 + 1/x

Soit la fraction continue

 

= 5 + 1/(5 + 1/(5 + 1/( …

En fait les deux solutions sont:

5/2 + 1/2 . 29

5/2 - 1/2 .29

Valeur numérique

5,192582404

-0,192582404

Fractions continues

[5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, …]

[-1, 1, 4, 5, 5, 5, 5, 5, …]

 

 

Théorème des fractions continues

 

 Les racines réelles d'une équation du 2e degré à coefficients entiers s'expriment sous la forme d'une fraction continue périodique.

 

Lagrange (1736-1813)

 

 

 

NOMBRES D'ARGENT

Le nombre d'or vaut

 

 

= (1 + 5) / 2

= 1,618033989…

On s'intéresse aux équations :

 

x² – nx – 1 = 0

Dont les racines réelles sont:

S(n)

= n + 1/(n + 1/(n + 1/(n + …

Ou, en fraction continue

 

= [n; n, n, n, …]

C'est aussi

 

= n + 1 / S(n)

 

Définition

Un nombre d'argent Sn d'ordre n est un nombre égal à l'ordre augmenté de son propre inverse:   Sn = n + 1/Sn

 

Nombres d'argent jusqu'à 10

S(2) est solution de x² – 2x – 1 = (x – 1)² – 2 = 0

 

 

Limite des rapports entre deux nombres

de Pell {1, 2, 5, 12, 29, 70, 169 …} ou

de Pell-Lucas {1, 3, 7, 17, 41, 99, 239 …}
Exemples de rapports
169 / 70 = 2,41428…

239 / 99 = 2,414141(note: répétition de 41 le nombre précédent dans la suite)

Ces ratios (moins 1) sont les meilleures approximations de racine de 2.

 

Courbe donnant la partie décimale des nombres d'argent

qui est aussi l'inverse des nombres d'argent

http://villemin.gerard.free.fr/Wwwgvmm/Nombre/FCrectan_fichiers/image016.gif

 

Proportion d'argent

 

Voir Autre nombre d'argent (équation du 3e degré) / Racine de deux    

  /  Liste de nombres irrationnels

 

 

 

Suite

*    Fractions continues – Valeurs

*    Analogie avec découpage des rectangles

*    Réduites des constantes

Voir

*    Bombelli

*    FractionsGlossaire

*    Fractions- somme égale à 1

*    Multiplication des fractions

*    Nombres Périodiques

*    Nombres rationnels, irrationnels, transcendants

*    Racines continues

*    Suite de Farey et calendriers

DicoNombre

*    Nombre 2, 4143…

*    Nombre 3, 3027…

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