NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

 

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NOMBRE D'OR

 

Glossaire

NOMBRE

D'OR

Débutant

Valeurs

Phi et Fibonacci

Proportion

Tout PHI en bref

Formules

Puissances

Construction

Introduction

Fraction continue

Trigonométrie

Géométrie

Historique

 

 

 

 

Sommaire de cette page

>>> Nombre d'or ou divine proportion

>>> Phi et son inverse

>>> Approximations

>>> Relations entre Pi et Phi

>>> Formule avec 1, i, e, Pi et Phi

>>> Équations

>>> Fonctions

>>> Nombre d'or irrationnel – Démonstration

 

 

 

 

 

 

 

NOMBRE d'OR – Valeurs

 

= 1,118… + 0,5

 

 

 

Valeurs de Phi et commentaires

    Φ = (5 + 1) / 2 = 1, 618 …

1/ Φ = (5 – 1) / 2 = 0, 618 …

*      Nombre d'or et son inverse.

*      Nombre irrationnel.                Voir Démo

*      Non transcendant.

Φ  + 1/ Φ  = 5

2 Φ – 1     = 5

                = 2, 236 067 977 …

*      Valeur de racine de 5 donnée par le nombre d'or.

 

  Φ =   5.5 x      .5 + .5

  Φ  =  5 ^ .5 * .5 + .5

*      Amusant, et plus facile à calculer.

*      L'écriture anglaise n'utilise que le chiffre 5.

 Voir Jeux

  Φ = 2, 236 067 977 …

                             x 0,5 + 0,5

       = 1, 118 033 988… + 0,5

       = 1, 618 033 988…

*      Calcul explicité de Phi.

1,618 033 98 … avec 8 décimales

*      O nombre d'élégance ! Toi, toi, grandiose, étonnant (! pour 0).

Voir Mnémotechnique

1,6180339887  49894848 …

*      Connu en 1998 avec 10 000 000 décimales - Simon Plouffe - 29 minutes de calcul.

 

Nombre d'or avec 1 024 décimales

 
1,6180339887  4989484820  4586834365  6381177203  0917980576
    2862135448  6227052604  6281890244  9707207204  1893911374
    8475408807  5386891752  1266338622  2353693179  3180060766
    7263544333  8908659593  9582905638  3226613199  2829026788
    0675208766  8925017116  9620703222  1043216269  5486262963
    1361443814  9758701220  3408058879  5445474924  6185695364
    8644492410  4432077134  4947049565  8467885098  7433944221
    2544877066  4780915884  6074998871  2400765217  0575179788
    3416625624  9407589069  7040002812  1042762177  1117778053
    1531714101  1704666599  1466979873  1761356006  7087480710
    1317952368  9427521948  4353056783  0022878569  9782977834
    7845878228  9110976250  0302696156  1700250464  3382437764
    8610283831  2683303724  2926752631  1653392473  1671112115
    8818638513  3162038400  5222165791  2866752946  5490681131
    7159934323  5973494985  0904094762  1322298101  7261070596
    1164562990  9816290555  2085247903  5240602017  2799747175
    3427775927  7862561943  2082750513  1218156285  5122248093
    9471234145  1702237358  0577278616  0086883829  5230459264
    7878017889  9219902707  7690389532  1968198615  1437803149
    9741106926  0886742962  2675756052  3172777520  3536139362

    1076738937  6455606060  5921...

 

Notez que 1/Phi vaut la même chose en remplaçant le 1 initial par 0.

 

 

 

Phi et son inverse

 

*    Phi et son inverse possèdent les mêmes décimales.

Ce qui veut dire, par exemple, que diviser un nombre par Phi est équivalent à le multiplier par 0,618…, ce qui est plus facile à exécuter.

 

 

*    Curiosité intéressante, mais pas si rare. C'est le cas pour toutes les racines de l'équation: x – 1/x = n avec n entier. Ou, autre formulation:

x² - nx – 1 = 0

 

*              Pour n = 1, on retrouve le nombre d'or: 1,618 …

*              Pour n = 2 => 2,414… =  1 + 2

*              Pour n = 3 => 3,3027…

*              Pour n = 4 => 4,2360… = Φ3  >>>

*              Pour n = 5 =>  5,1925…

 

 

Voir Suite binaire dorée

 

 

 

Approximations (écart entre parenthèses)

= 1,617985…

  (0,00005)

Approximation avec  et e

= 1,6211

(0,0031)

F  5 / 3

= 1,666 …

  (0,05)

F  8 / 5

= 1,600 …

  (0,02)

F  233 / 144

= 1,618 055 …

  (0,000 02)

F  377 / 233

= 1,618 025 751 …

  (0,000 008)

1/F   5 / 8

= 0,625

= 0,00014400

 

Quelques relations avec Pi

Le fait que Pi soit proche de 2 Phi incite à chercher une relation plus approchée de ces valeurs.

 

Prenons le logarithme en supposant l'égalité:

Formule pour le calcul de b qui donne l'égalité

Voici quelques résultats de calcul avec n décimales exigées:

 

Les deux lignes en jaune donnent des valeurs presque entières avec Pi et avec Phi.

La dernière ligne montre les limites d'un tel exercice. Une égalité à n décimales est obtenue en multipliant chacun par le nombre formé des n chiffres de l'autre.

 

 

 

Formule avec 1, i, e, Pi et Phi

Une approximation originale qui allie ces cinq nombres.

*    Formule d'Euler:

*    Ce qui veut dire aussi:

*    En multipliant par p = 4 sur racine de Phi:

*    Or, on sait que Pi x Rac(Phi) est très proche de 4.

*    Proche de Pi.

  

*    Formule proposée avec PP = Pi  dans le premier terme, et en divisant par 4:

*    Valeurs numériques:

- 0,785398… + 0,786151…

= 0,00075…

*    On retient surtout:

Merci à Ûllah G.

 

 Équations

*      Le nombre d'or et son inverse.

 

 

*      Équations

 

 

 

 

 

Valeurs des racines des équations:

 

(en gras, les racines)

 

– x

–1

= 0

Φ =

( 5 + 1) / 2 =

1,6180

2,618

-1,618

1

0

1/ Φ =

( 5 - 1) / 2 =

0,6180

0,381

-0,618

1

1,24

- Φ =

( 5 + 1) / 2 =

1,6180

2,618

1,618

1

3,24

-1/ Φ =

-( 5 - 1) / 2 =

-0,6180

0,381

0,618

1

0

 

 

 

+ x

– 1

= 0

Φ =

( 5 + 1) / 2 =

1,6180

2,618

1,618

1

3,24

1/ Φ =

( 5 - 1) / 2 =

0,618

0,381

0,618

1

0

- Φ =

(5 + 1) / 2 =

1,618

2,618

-1,618

1

0

-1/ Φ =

( 5 - 1) / 2 =

0,618

0,381

-0,618

1

1,24

 

 

 

FONCTIONS

 

Pour l'amusement, observons les quatre fonctions possibles

 

*      Les courbes bleue (x² + x + 1) et jaune (x² - x + 1) ne donnent pas de racines.

 

        - 1,618                    - 0,618                        0,618                       1, 618

 

*      Les courbes rouge (x² - x – 1) et verte (x² + x – 1) donnent le nombre d'or et son inverse au signe près.

 

 

 

Le nombre d'OR est irrationnel

                                          Démonstration

 

Supposons que le nombre d'or x soit rationnel, c'est-à-dire égal à une fraction p/q.

On suppose que les nombres entiers p et q sont choisis de manière que la fraction soit la plus simplifiée possible.

Autrement dit, p et q n'ont pas de facteur commun.

Ou encore: p de divise par q, pas plus que q ne divise p.

(Pour les matheux: leur plus grand commun diviseur est égal à 1).

 

x

 

 

PGCD (p,q)

= p/q

 

 

= 1

Le nombre d'or est défini par l'équation.

x² – x – 1

= 0

En y introduisant la valeur rationnelle de x.

(p/q)² – (p/q) – 1

= 0

En multipliant par q².

p² –  pq – q²

p( p – q)

= 0

= q²

En divisant par p.

p – q

= q² / p

Le membre de gauche est un entier

En conséquence celui de droite doit l'être aussi.

Mais est-ce bien vrai?

p – q

q² / p

= entier

= entier ?

Eh bien non! p ne peut pas diviser q.

Ce serait contraire à notre hypothèse de départ.

p et q

Aucun facteur commun

Cette contradiction montre qu'il n'est pas possible d'écrire le nombre d'or sous forme de fraction.

Le nombre d'or

est irrationnel

 

 

 

 

Suite

*    Valeurs trigonométriques

*    Formules

*    Puissances

*    Divine proportion

*    Nombre d'or en racines

Aussi

*    Cercle

*    Constante Pi

*    Constantes Mathématiques

*    Série du type Fibonacci et cousins

DicoNombre

*    Nombre 1,618…

*    Nombre racine de 5 = 2,236…

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