NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

 

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Nombres

 

Débutants

Nombres

11

 

Glossaire

Nombres

 

 

INDEX

 

DicoNombre

 

Calcul mental

Le nombre 11

Multiplication

Divisibilité

 

Sommaire de cette page

>>>  Multiplication par 11

>>>  Retournement avec 11

>>>  Somme instantanée – Magie avec 11

 

 

 

 

 

 

 

Le nombre 11 et sa magie

 

La multiplication d'un nombre par 11 est assez simple pour être réalisée mentalement.

D'autres propriétés extraordinaires vous attendent.

Notamment un tour de magie qui étonnera vos amis: vous êtes capable d'additionner dix nombres en moins de temps qu'il en faut pour les entrer dans la calculette!

 

 

 

 

Multiplication par 11 – Calcul mental

 

Pour multiplier un nombre de deux chiffres par 11:

*    additionnez les deux chiffres, et

*    placez la somme au milieu des  de ces deux chiffres.

 

 

 

Dans le cas où, la somme dépasse 9, faites fonctionner la retenue comme pour une addition classique.

 

Sans retenue

 

 

Avec retenue

 

Avec plus de chiffres, appliquer la même méthode en cascade.

Exemples sans et avec retenue.

 

En calcul mental, il est plus facile d'énoncer les chiffres successifs que de nommer le nombre complètement.

 

 

 

123 x 11 = 1 / 1+2 / 2+3 / 3

                =  1    3        5    3

 

789 x 11 = 7 / 7+8 / 8 + 9 / 9

                = 7 /  15  /   17    / 9

                = 7+1 /  5+1  /  7 / 9

                =    8        6       7   9

 

 

Voir Divisibilité par 11

 

 

 

 

Retournement avec 11

 

Le retourné multiplié par 11 donne le résultat retourné du produit initial:

 

  N x 11 =  M

rN  x 11 = rM

 

rN = retourné de N  

 

La condition pour que ça marche: la somme de deux chiffres consécutifs

doit être inférieure à 10 (sans retenue).

 

Exemples

 

123 x 11 = 1 353

321 x 11 = 3 531

 

2 627 x 11 = 28 897

7 262 x 11 = 79 882

 

454 526 x 11 = 4 999 786

625 454 x 11 = 6 879 994

 

 

 

Palindromes avec 11

Les premières puissances de 11 sot palindromiques. Ce sont même les coefficients du Triangle de Pascal

 

Lorsqu'apparaissent les retenues, la forme palindromique est détruite. 

 

 

 

Autre manière de présenter ce résultat

 

Extension au carré des repunits.

 

 

 

 

 

Somme instantanée – Magie avec 11

Explication

Exemple

Formulation

 

Demandez à quelqu'un de choisir deux nombres entre 1 et 20 (ce qui facilitera les calculs).

 

1             6

2           13

n

 

 

  m

Demandez à cette personne d'additionner les deux nombres.

Continuez d'additionner les deux derniers nombres, jusqu'à obtenir dix résultats.

 

Vous pouvez mettre un numéro de ligne pour faciliter le compte.

La calculette est conseillée, car le résultat doit être juste, évidemment.

 

3          19

4          32

5          51

6          83

7        134

8        217

9        351

10        568

 

n

n

2n

3n

5n

8n

13n

21n

+ m

+ 2m

+ 3m

+ 5m

+ 8m

+ 13m

+ 21m

+ 34m

 

Vous pariez que vous connaissez instantanément la somme de ces nombres.

Comment faites-vous?

Vous notez mentalement le 7e nombre et vous le multipliez par 11. C'est la réponse.

 

S

= 134 x 11

= 1 474

S = 55n

 

S = 11 (5n

+ 88m

 

+ 8m)

 

Vous avez sans doute reconnu la suite de Fibonacci.

Le rapport entre deux nombres successifs de cette suite tend vers le nombre d'or 1, 618…

 

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13 …

 

Demandez à votre interlocuteur de diviser le 10e nombre par le 9e.

 

Vous êtes capable de lui donner les trois premiers chiffres: 1,61.

 

Note: si l'écart est assez grand entre n et m, le 8 est présent (1,618).

C'est le cas :

si n = 1 pour m > 1;

si n = 2 pour m > 3;

si n = 3 pour m > 4 ;

si n = 4 pour m > 6;

etc.

si n = k pour k > (m + m/2 + 1)entier

Pour un écart très grand entre n et m, on passe à 1,619.

Ex: n = 1 et m > 42;

       n = 2 et m > 84;

       etc.

 

R

= 568 / 351 = 1,6182

Inégalité (propriété)

 

Voir Fractions

 

 

 

Application

 

 

La magie continue à marcher au-delà de 20 bien entendu.

 

 

Exemple avec n = 123 et m = 456.

 

 

 

 

 

 

 

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