NOMBRES - Curiosités, théorie et usages Accueil DicoNombre Rubriques Nouveautés Édition du: 13/06/2017 Orientation générale  DicoMot Math Atlas Références M'écrire Barre de recherche DicoCulture Index alphabétique
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	Fractions en 1/99…99	142 857	Égalité 0,999 = 1
	Cas particuliers
		Sommaire de cette page >>> Détermination de la longueur >>> Calcul du développement décimal >>> Pourquoi périodique? – Une approche >>> Divisibilité des nombres en 99…9 >>> Théorème et sa démonstration >>> Graphe: longueur de la période

NOMBRES PÉRIODIQUES

Longueur de la période

Une fraction; son développement décimal périodique; quelle est la longueur de la période?

Voir Cartographie des nombres périodiques

Détermination de la longueur
Soit le développement décimal de la fraction 1/p. La longueur maximale de la période est égale à p – 1. La longueur est égale à la valeur maximale ou un sous-multiple.
La longueur de la période L est déterminée par la plus petite valeur telle que: Calcul de la période P	Pour p = 7 La période est de 6 chiffres P = 999 999 / 7 = 142 857

Calcul du développement décimal
Formule de base
Quel est le développement décimal de 7/41? On trouve que: 10^5 divisé par 1 donne un reste de 1 et par conséquent: 41 divise 99 999 avec 2 439 comme quotient.

Pourquoi périodique? – Une approche

Lorsqu'on divise un nombre par un autre, le reste ne peut pas être plus grand que le diviseur.

On exprime le fait que la division de a par b donne un reste r par la relation ci-contre.

Pour trouver les décimales dans cette division, on divise 10 fois le reste. Cela donnera la première décimale.

Cherchons les décimales suivantes.

Le processus ne se répète pas sans fin, car au pire, toutes les valeurs du reste sont explorées et le reste suivant est forcément l'un de ceux déjà trouvé.

Sachant que le reste nul est exclu, il reste b-1 possibilités de restes et donc la même quantité de décimales possibles.

Soit la division de a par b: il existe b types de restes possibles: ce sont toutes les valeurs de 0 à b – 1.

Exemple: pour la division par 3, les restes possibles sont: 0, 1 et 2.

a	b	a = bQ + r
r	Q

La division et la relation

10r	b	Q,q1
r1	q1

Q est la partie entière du quotient et q₁ est la première décimale.

10r1	b	Q,q1q2
r2	q2

La deuxième décimale.

Etc.

Le développement périodique de la fraction a/b comporte, au plus,

b – 1 décimales.

Voir Exemple de la division par 7 / Division posée

Divisibilité des nombres en 99…9
Tout nombre n, non divisible par 2 ou 5, divise un repdigit en 9 (R9) de q chiffres. Le tableau montre cet effet pour les nombres de 2 à 15. les nombres divisibles par 2 ou par 5 ne sont pas diviseurs d'un nombre en 9. tous les nombres premiers le sont. La colonne Rep9 identifie le nombre avec sa quantité de 9 (L) et la division donne P, la période du nombre périodique 1/n. Parmi eux, ici, seul 9 est un nombre composé qui divise 9 (trivial). Les suivants sont 21, 27, 33, 39 et 49 pour n jusqu'à 50.
	Programme On fixe la recherche au 25 premiers nombres (nmax), par exemple. Boucle examinant n pour toutes les valeurs de 2 à nmax Si n n'est pas divisible par 2 (mod) et pas par 5 alors recherche du premier repdigit en 9 qui est divisible par n. R est le repdigit en 9 qui grandit en ajoutant un 9 à chaque itération. Si le nouveau R est divisible par n, on affiche le nombre n, la longueur du nombre en 9 et la division R/n qui est la période (partie répétitive) de ce nombre périodique. Ayant trouvé la divisibilité (R mod n = 0), on force la fin de boucle en imposant: i = nmax. L'exécution du programme produit les nombres en bleu. Par exemple avec 7, il faut attendre le repdigit avec six 9 (L = 6):
Quel est le développement décimal de 7/41 On trouve que 41 divise 99 999 et que 99 999 / 41 = 2 439

Théorème et sa démonstration
Théorème Pour tout nombre n > 1, tel que PGCD(10, n) = 1, il existe un nombre entier m (m < n) tel que: . Rappel de la relation en les repdigits et les puissances de 10. 1000 – 1 = 999 10^k – 1 = 99…9k	Démonstration PGCD (10, n) = 1 PGCD (10^r , n) = 1 Aucun des nombres 10, 10^2, .. 10^n n'est divisible par n Comme il n'y a que n – 1 restes possibles, il en existe deux identiques: Or PGCD(10^v , n) = 1 Il reste

Graphe montrant la longueur de la période pour 1/n jusqu'à n = 90

Valeurs numériques en commençant par n = 1; les groupes en jaunes commencent par n = 1, 20, 40, 60 et 80

[ 0, 0, 1, 0, 0, 1, 6, 0, 1, 0, 2, 1, 6, 6, 1, 0, 16, 1, 18,

0, 6, 2, 22, 1, 0, 6, 3, 6, 28, 1, 15, 0, 2, 16, 6, 1, 3, 18, 6,

0, 5, 6, 21, 2, 1, 22, 46, 1, 42, 0, 16, 6, 13, 3, 2, 6, 18, 28, 58,

1, 60, 15, 6, 0, 6, 2, 33, 16, 22, 6, 35, 1, 8, 3, 1, 18, 6, 6, 13,

0, 9, 5, 41, 6, 16, 21, 28, 2, 44, 1]

Voir Calcul de la période et de sa longueur – Programmation

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Aussi	Calcul mental – Index Clé de divisibilité Fractions continues Fractions de Farey Géométrie – Index Nombre 0,1347… Nombres décimaux Nombres rationnels Nombres têtus Théorie des nombres – Index
Site	OEIS A051626 - Length of the period of decimal representation of 1/n. OEIS – Toutes les entrées relatives au développement décimal de 1/n.
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