NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

 

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Nombres

 

Débutants

Fractions

NOMBRES PÉRIODIQUES

 

Glossaire

Fractions

 

INDEX

 

Fractions

 

Représentation des nombres

 

Nombres périodiques

Développement fini

Développement cyclique

142 857

Premiers longs

Analyse de cas

Fractions en 1/99…99

Égalité 0,999 = 1

THÉORIE

 

Sommaire de cette page

>>> Nombre de cycles et leur longueur

>>> Liste des valeurs périodiques pour n < 100

>>> Nombres premiers longs

>>> Période de la fraction a/b

>>> Bilan

 

 

 

 

 

NOMBRES PÉRIODIQUES

& NOMBRES CYCLIQUES

 

Nous nous intéressons aux fractions 1/P où p est un nombre premier. Leur développement décimal est périodique. Comment caractériser la période ?

Lorsque la période est de longueur maximale, le nombre premier est un nombre cyclique ou  nombre premier long.

Anglais pour période (la partie décimale répétée): repetend.

 

 

Nombre de cycles et leur longueur

 

Liste des nombres premiers avec le nombre de cycles

 

*    Examinons le nombre de motifs, ou de cycles (Nc) et leur longueur (Lc) pour les nombres premiers (P). 

 

 

P

2

3

5

7

11

13

17

19

23

Nc

/

2

/

1

9

2

1

1

1

Lc

/

1

/

6

2

6

16

18

22

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

P

29

31

37

41

43

47

53

59

61

Nc

1

2

12

8

2

1

4

1

1

Lc

28

15

3

5

21

46

13

58

60

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

P

67

71

73

79

83

89

97

101

103

Nc

2

2

9

6

2

2

1

25

3

Lc

33

35

8

13

41

44

96

4

34

 

On remarque que

Nc . Lc   =   P – 1

 

*    Nombre de cycles x Longueur du cycle = Nombre premier – 1

                    

Exemple: 2 x 33 = 67 – 1

*    En jaune, les nombres premiers de période maximale. Les fractions de ce nombre sont formées des mêmes chiffres en permutations circulaire, comme nous l'avons vu pour 1/7.

 

 

 

Liste des valeurs périodiques pour N < 100

 

Lire la liste

*    Ligne 3:   on a 3 qui se répète (1/3 = 0,333...) et aussi 6 avec 2/3 = 0,666...
dit autrement: il ya deux cycles

*    Ligne 7:   on a  142857 qui se répète (1/7 = 0, 142 857 …). Il n'y a qu'un seul cycle et avec ses permutations circulaires: 2/7 = 0,285714 … et la suite.

*    Etc.

 

 

Liste

 

3

3

6

7

14257

11

09

18

27

36

45

54

63

72

81

13

0769230769230769

1538461538461538

17

0588235294117647

19

052631578947368421

23

0434782608695652173913

29

0344827586206896551724137931

31

032258064516129

096774193548387

37

027

054

081

135

162

189

243

297

378

459

486

567

41

02439

04878

07317

09756

12195

14634

26829

36585

43

023255813953488372093

046511627906976744186

47

0212765957446808510638297872340425531914893617

53

0188679245283

0377358490566

0754716981132

0943396226415

59

0169491525423728813559322033898305084745762711864406779661

61

016393442622950819672131147540983606557377049180327868852459

67

014925373134328358208955223880597029850746268656716417910447761194

71

0140845070422535211267605633802816909859154929577464788732394366197183

73

01369863

02739726

04109589

05479452

06849315

08219178

12328767

15068493

16438356

 

79

0126582278481

0253164556962

0379746835443

 

0506329113924

0759493670886

1518987341772

83

01204819277108433734939759036144578313253

02409638554216867469879518072289156626506

89

01123595505617977528089887640449438202247191

03370786516853932584269662921348314606741573

97

01030927835051546391752577319587628865979381443298969072164948 4536082474226804123711340206185567

 

Curiosité

*    10 / 81 = 0,1 2 3 4 5 6 7 9 0 0 1 2 3 4...
Note: il n'y a pas de "8".

Voir Autres cas

  

 

 

Nombres premiers longs

 

Liste  

7

17

19

23

29

47

59

61

97

109

113

131

149

167

179

181

193

223

229

>>>

 

Propriété

Conjecture d'Emil Artin (1927): La densité des nombres premiers longs, en nombre infini, tend vers: C = 0,373955... , la constante d'Artin.

Cette conjecture n'est toujours pas démontrée (2016).

Voir Racine primitive

 

 

Formule

= 0,373 955 813 619 202 288 05...

 

Voir Nombres premiers longs / Nombres têtus

 

 

Période de la fraction a/b

 

*    Si une fraction 1/b a un développement périodique de longueur L, quelle est la longueur de la période pour la fraction irréductible a/b?

*    Avec l'exemple de 1/7, il semble que ce soit la même. Est-ce vrai?

 

a/b par rapport à 1/b

*    La période de la fraction a/b est celle de 1/b de toute manière, mais elle peut être plus petite (L').

 

Imaginez un engrenage de L dents, si la multiplication par a faisait tourner l'engrenage plus vite, la période serait un multiple de L et L resterait la période. Par contre, moins vite, la multiplication par a pourrait faire apparaître une périodicité sous-jacente inférieure à L. Est-ce possible?

 

1/b par rapport à a/b

*    La fraction a/b est irréductible. Alors, a et b sont étrangers. Et avec Bézout, on sait qu'il existe deux nombres x et y tels que ax + by = 1.

Alors: 1/b = (ax + by) / b = ax/b + y
Ce qui montre que la période de 1/b est la même que celle de a/b, ou alors inférieure: elle peut prendre les valeurs L ou inférieure (L1) ou L' ou inférieure (L'1).

*    Illustrons nos résultats

*    Ce schéma montre que la période de 1/b étant L, les autres valeurs n'existent pas. La période de a/b est également L.

 

 

 

 

Bilan

 

*    Exprimer une fraction par un nombre avec des décimales, c'est donner son développement décimal.

 

*    Soit une fraction irréductible:    (a et b sont étrangers).

 

*    Alors:

 

*    Si b = 2x x 5y  => le développement décimal est fini,

*    Sinon => le développement décimal est périodique.

*    Si le développement est périodique:

*    la longueur de la période est déterminée par 1/b,

*    si b est un multiple d'un nombre premier p, cette longueur est au maximum égale à p – 1.

*    avec un nombre premier: Nc . Lc = P – 1.

 

*    Lorsque le nombre a une période de longueur maximale, c'est un nombre premier long.

 

*    Le produit de la période par le nombre premier générateur est un repdigit en 9.  Ex: 1/7 = 0, 142857 … et 142 857 x 7 = 999 999

 

 

 

 

Retour

*    Développement fini

Suite

*    Fraction 1/7  et magie du nombre 142 857

Voir

*    Nombres périodiques – Analyse de cas

*    Nombre magique 142857

*    Nombres têtus

Aussi

*    Calcul mentalIndex

*    Clé de divisibilité

*    Fractions continues

*    Fractions de Farey

*    GéométrieIndex

*    Nombre 0,1347…

*    Nombres décimaux

*    Nombres premiers longsTable

*    Nombres rationnels

*    Nombres têtus

*    Théorie des nombresIndex

Site

*    Artin's constant – Wolfram MathWorld

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