NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

 

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Nombres

 

Débutants

Fractions

NOMBRES PÉRIODIQUES

 

Glossaire

Fractions

 

INDEX

 

 

Fractions

 

Représentation des nombres

 

Débutants

Tour d'horizon

Longueur de la période

Nombres décimaux

Nombres périodiques

Dichotomie de la période

Premiers longs

Nombres cycliques

Extraction des décimales

Fractions en 1/99…99

142 857

Égalité 0,999 = 1

Cas particuliers

 

Sommaire de cette page

>>> Chiffres du développement d'une fraction

>>> Programmation

>>> Chiffres de la période d'une fraction

>>> Programmation

>>> Bilan et Calcul direct avec Maple

 

 

 

NOMBRES PÉRIODIQUES

Extraction des décimales

 

Arithmétique des fractions périodiques.

Comment extraire les chiffres un à un.

Comment extraire la période par programmation.

 

 

 

 

Chiffres du développement d'une fraction

 

Procédure

On cherche un moyen d'isoler les chiffres du développement d'une fraction par exemple au moyen d'un tableur.

Pour cela, la solution la plus simple consiste à:

*       faire monter progressivement chacun des chiffres devant la virgule en multipliant par 10,

*       tronquer pour garder la partie entière,

*       et prendre l'unité du nombre entier

 

Exemple: 5 / 13 = ….

 

Implémentation sur tableur

*       La première colonne indique le numéro du pas de calcul (on dit aussi: le numéro de l'itération).

*       La deuxième colonne correspond au numérateur de la fraction multiplié par 10 à la puissance n. La troisième colonne répète la valeur du dénominateur.

*       La quatrième colonne est simplement le quotient de la division du numérateur par le dénominateur. Il s'agit naturellement de la valeur entière de la division.

*       La cinquième colonne isole l'unité du quotient en prenant le reste de la division par 10, techniquement appelée mod 10.

 

 

Formules utilisées

 

 

 

Programmation

Recherche des chiffres d'un nombre décimal

 

Programme selon la procédure vue ci-dessus

Programme qui calcule le nombre décimal à partir d'une fraction et en isole les chiffres.

Explications

La première ligne efface tout dans la mémoire (restart) et positionne p et q à 5 et 13, le numérateur et le dénominateur de la fraction étudiée.

La deuxième ligne traduit une des lignes de la procédure vue ci-dessus et la troisième fait  dérouler toutes ces lignes de 1 à 20 pour obtenir 20 chiffres.  L'instruction evalf(…) calcule la fraction pour simple vérification.

 

Chaque chiffre sera placé en Ch dont les paramètres d'entrée sont n le rang de l'itération (r = p/q), la fraction en cours d'étude à ce rang (cad: multipliée par 10n).

L'instruction irem donne le reste de la division, ici par 10 (équivalent à mod 10); iquo calcule le quotient; numer prend le numérateur de la fraction en le multipliant par 10n et denom prend son dénominateur.

 

L'instruction séquence (seq) permet de former la liste des 20 chiffres demandés, chacun étant l'évaluation de la fonction Ch pour n de 1 à 20.

 

 

Chiffres du développement d'une fraction

(Autre possibilité)

 

Procédure

On cherche un moyen d'isoler les chiffres du développement d'une fraction par exemple au moyen d'un tableur et en extraire la période. Pour cela, il suffit de s'intéresser à la fraction 1 / q.

La solution la plus simple consiste à extraire un chiffre et à éliminer sa contribution pour calculer le suivant; dit autrement, continuer les calculs sur le reste de la division.

 

Exemple pour 1/ 13 = 0,0769…

10            / 13 = 0 reste 10

(10 x 10) / 13 = 7 reste   9

(  9 x 10) / 13 = 6 reste  12

 

Implémentation sur tableur

*       Première colonne: numéro de l'itération.

*       Deuxième colonne: numérateur de la fraction = reste précédent x 10.

*       Quatrième colonne: quotient.

*       Cinquième colonne: reste qui va être recyclé à l'itération suivante.

 

Période

On sait que la période maximale est égale à q – 1. En procédant à 12 itérations, la période est complètement cernée.  Elle peut être plus courte et apparaître k fois comme ici avec deux fois une période de longueur 6.

 

 

 

Programmation – Recherche des chiffres de la période

 

Programme selon la procédure vue ci-dessus

 

 

Programme qui calcule le nombre décimal à partir d'une fraction et en isole les chiffres de la période.

 

Explications

La séquence est répétée de 1 à q – 1  = 12.

La fonction calculée est celle vue ci-dessus: le quotient de 10 fois p par q.

Sauf que p évolue! En effet cette instruction seq, avec sont troisième argument, précise que le reste de la division sera déposé en 'p'. Ainsi le nouveau p est égal à l'ancien reste.

Exemple avec partie non répétitive en tête

 

k évolue de 1 à 15 et non de 1 à q-1 car cette dernière valeur est bien trop grande.

Voir ProgrammationIndex

 

 

 

Bilan et Calcul direct avec Maple

Les deux procédures d'extraction des chiffres sont équivalentes. La première autorise n'importe quel numérateur, alors que la seconde impose la valeur 1.

Notez que le logiciel Maple possède une instruction particulière qui extrait la période: pdexpand.

L'instruction evalf effectue le développement décimal de 1/n

 

L'instruction numtheory[expand] en donne les composantes:

- le signe,

- la partie entière,

- la partie fixe décimale, et

- les chiffres de la période.

 

Pour isoler la période, on sélectionne le quatrième élément et on se débarrasse du texte avec l'instruction op.

 

 

 

 

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Livres

*    Cours complet d'arithmétique – A. Guilmin – 1852  - e-book

*    Experimental Mathematics with Maple – Franco Vivaldi – e-book, extraits – page 95

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