NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

 

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Nombres

 

Débutants

Fractions

NOMBRES PÉRIODIQUES

 

Glossaire

Fractions

 

INDEX

 

 

Fractions

 

Représentation des nombres

 

Nombres périodiques

Développement fini

Développement cyclique

142 857

Premiers longs

Analyse de cas

Fractions en 1/99…99

Égalité 0,999 = 1

THÉORIE

 

Sommaire de cette page

>>> Fractions et nombres décimaux

>>> Fractions et nombres périodiques

>>> De périodique à fraction

>>> Chiffres du développement d'une fraction

>>> Programmation

>>> Chiffres de la période d'une fraction

>>> Programmation

 

 

 

NOMBRES PÉRIODIQUES

THÉORIE

 

Arithmétique des fractions périodiques.

Comment extraire les chiffres un à un.

Comment extraire la période par programmation.

 

 

Fractions et nombres décimaux

 

Une fraction irréductible est convertie en nombre décimal si et seulement si son dénominateur ne contient aucun facteur premier autres que 2 et 5.

 

Supposons une fraction irréductible et sa conversion en décimal.

En multipliant par 10n

Le nombre c étant entier, b divise a x 10n

Or,  a et b sont premiers entre eux (fractions irréductible).

10n est divisible par b

Tous les facteurs de b doivent êtres dans 10n

Donc, que des 2 ou des 5.

b = 2k x 5h

Est-ce suffisant? Prenons, comme exemple:

Multiplions par 5 pour égaliser les exposants au dénominateur.

Il est toujours possible de procéder à cette opération.

Voir Division décimale

 

 

Fractions et nombres périodiques

Fraction décimale périodique: les décimales se répètent indéfiniment dans le même ordre.

Le bloc de chiffres qui se répètent est la période.

Fraction périodique simple: la période commence immédiatement derrière la virgule.

Elle est dite mixte, si elle comporte une partie initiale non périodique0

Lorsqu'une fraction ne peut pas être convertie en nombre décimal, elle est périodique.

La démonstration repose sur le fait que les restes sont compris entre 1 et 20 (en jaune sur l'exemple) et qu'à un moment donné on retrouve la même quantité à diviser.

La succession des chiffres du quotient peut être plus ou moins longue entre 1 et 20 chiffres.

 

 

 

De périodique à fraction

Comment transformer un nombre périodique simple en fraction?

 

Multiplions par 10Période = 102

Et faisons la différence.

Le cas échéant, la fraction est réduite.

Bilan

La fraction correspondant à un nombre périodique de période P, de longueur p, est la fraction ayant pour numérateur P et pour dénominateur un 9-repdigit de longueur p.

Comment transformer un nombre périodique mixte en fraction?

 

Multiplions par 10Longueur mixte = 102

 

Puis multiplions par 10Période = 103

Et différence des deux.

Bilan

La fraction correspondant à un nombre périodique de période P, de longueur p, avec partie mixte M de longueur m est la fraction ayant pour numérateur (MP – M) et pour dénominateur un nombre de p fois 9 suivi de m zéros.

Comment transformer un nombre périodique avec partie entière en fraction?

 

On calcule la fraction en ignorant la partie entière puis on ajoute la partie entière.

Bilan

En présence d'une partie entière, celle-ci est ajoutée à la fraction trouvée pour la partie décimale.

En présence d'une période composée de 9?

 

 

Bilan

Validation de l'écriture courante des nombres en xxx,999 = xxx+1.

 

 

 

Chiffres d'un nombre périodique

 

Chiffres du développement d'une fraction

 

Procédure

On cherche un moyen d'isoler les chiffres du développement d'une fraction par exemple au moyen d'un tableur.

Pour cela, la solution la plus simple consiste à:

*       faire monter progressivement chacun des chiffres devant la virgule en multipliant par 10,

*       tronquer pour garder la partie entière,

*       et prendre l'unité du nombre entier

 

Exemple: 5 / 13 = ….

 

Implémentation sur tableur

*       La première colonne indique le numéro du pas de calcul (on dit aussi: le numéro de l'itération).

*       La deuxième colonne correspond au numérateur de la fraction multiplié par 10 à la puissance n. La troisième colonne répète la valeur du dénominateur.

*       La quatrième colonne est simplement le quotient de la division du numérateur par le dénominateur. Il s'agit naturellement de la valeur entière de la division.

*       La cinquième colonne isole l'unité du quotient en prenant le reste de la division par 10, techniquement appelée mod 10.

 

 

Formules utilisées

 

 

 

Programmation

Recherche des chiffres d'un nombre décimal

 

Programme selon la procédure vue ci-dessus

Programme qui calcule le nombre décimal à partir d'une fraction et en isole les chiffres.

Explications

La première ligne efface tout dans la mémoire (restart) et positionne p et q à 5 et 13, le numérateur et le dénominateur de la fraction étudiée.

La deuxième ligne traduit une des lignes de la procédure vue ci-dessus et la troisième fait  dérouler toutes ces lignes de 1 à 20 pour obtenir 20 chiffres.  L'instruction evalf(…) calcule la fraction pour simple vérification.

 

Chaque chiffre sera placé en Ch dont les paramètres d'entrée sont n le rang de l'itération (r = p/q), la fraction en cours d'étude à ce rang (cad: multipliée par 10n).

L'instruction irem donne le reste de la division, ici par 10 (équivalent à mod 10); iquo calcule le quotient; numer prend le numérateur de la fraction en le multipliant par 10n et denom prend son dénominateur.

 

L'instruction séquence (seq) permet de former la liste des 20 chiffres demandés, chacun étant l'évaluation de la fonction Ch pour n de 1 à 20.

 

 

Chiffres du développement d'une fraction

(Alternative)

 

Procédure

On cherche un moyen d'isoler les chiffres du développement d'une fraction par exemple au moyen d'un tableur et en extraire la période. Pour cela, il suffit de s'intéresser à la fraction 1 / q.

La solution la plus simple consiste à extraire un chiffre et à éliminer sa contribution pour calculer le suivant; dit autrement, continuer les calculs sur le reste de la division.

 

Exemple pour 1/ 13 = 0,0769…

10            / 13 = 0 reste 10

(10 x 10) / 13 = 7 reste   9

(  9 x 10) / 13 = 6 reste  12

 

Implémentation sur tableur

*       Première colonne: numéro de l'itération.

*       Deuxième colonne: numérateur de la fraction = reste précédent x 10.

*       Quatrième colonne: quotient.

*       Cinquième colonne: reste qui va être recyclé à l'itération suivante.

 

Période

On sait que la période maximale est égale à q – 1. En procédant à 12 itérations, la période est complètement cernée.  Elle peut être plus courte et apparaître k fois comme ici avec deux fois une période de longueur 6.

 

 

 

Programmation – Recherche des chiffres de la période

 

Programme selon la procédure vue ci-dessus

 

 

Programme qui calcule le nombre décimal à partir d'une fraction et en isole les chiffres de la période.

 

Explications

La séquence est répétée de 1 à q – 1  = 12.

La fonction calculée est celle vue ci-dessus: le quotient de 10 fois p par q.

Sauf que p évolue! En effet cette instruction seq, avec sont troisième argument, précise que le reste de la division sera déposé en 'p'. Ainsi le nouveau p est égal à l'ancien reste.

Exemple avec partie non répétitive en tête

 

k évolue de 1 à 15 et non de 1 à q-1 car cette dernière valeur est bien trop grande.

 

 

Bilan

Les deux procédures d'extraction des chiffres sont équivalentes. La première autorise n'importe quel numérateur, alors que la seconde impose la valeur 1.

 

 

 

 

Retour

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Suite

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Livres

*    Cours complet d'arithmétique – A. Guilmin – 1852  - e-book

*    Experimental Mathematics with Maple – Franco Vivaldi – e-book, extraits – page 95

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