NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

 

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Nombres

 

Débutants

Fractions

NOMBRES PÉRIODIQUES

 

Glossaire

Fractions

 

INDEX

 

Fractions

 

Représentation des nombres

 

Débutants

Tour d'horizon

Longueur de la période

Nombres décimaux

Nombres périodiques

Dichotomie de la période

Premiers longs

Nombres cycliques

Extraction des décimales

Fractions en 1/99…99

142 857

Égalité 0,999 = 1

Cas particuliers

 

Sommaire de cette page

>>> Approche avec les nombres premiers de 7 à 41

>>> Programmation – Calcul des demi-sommes

>>> Théorème de Midy

>>> Nombres dichotomiques

>>> Programmation – Nombres dichotomiques

>>> Nombres trichotomiques

>>> Analyse de quelques premiers longs

 

 

 

 

 

NOMBRES PÉRIODIQUES

DICHOTOMIE

Somme des demi-périodes en 99…9

Nombres de Midy ou nombres Dichotomiques

 

Le développement décimal de la fraction 1/7 est périodique. La somme de la première demi-période (142) et de la seconde demi-période (857) est égale à 999.

Nombreux sont les nombres premiers comme 7 qui somment en un repdigit en 9.

Qui sont les nombres dichotomiques?

Notez qu'on a aussi: 14 + 28 + 57 = 99  avec les tiers de période.

 

Voir Cartographie des nombres périodiques / Nombres réels

 

 

 

Approche avec les nombres premiers de 7 à 41

Calculons le développement décimal de la fraction 1/7. La période est 142857 avec une longueur de période (LC) de six chiffres. La longueur maximale pour la période (p –  1 = 7 – 1 = 6).

En partageant cette période en deux moitiés égales (dichotomie) et en sommant les deux nombres, on obtient 999.

 

Dans tous les cas, la somme étant en 99…9, la période est divisible par 9.

Mieux, la somme est effectuée sans retenue: chaque chiffre de la première partie trouve son complément à 9 au même rang dans la seconde partie.

 

Cette opération se reproduit pour tous les nombres premiers de ce tableau avec une somme comportant LC / 2 fois le chiffre 9.

 

Avec les premiers 7, 13 et 19, dont la période est divisible par 3, la propriété s'étend au tiers de somme:

1/7 => 14 + 28 + 57 = 99

1/13 => 7 + 69 + 23 = 99

1/19 => 52631 + 578947 + 368421 = 999999

Cette fois les additions sont avec retenues.

 

Pour le nombre premier suivant, pas de chance, la longueur de la période n'est pas paire; elle n'est pas partageable en deux moitiés égales.

Par contre, la somme est en 9 pour les tiers.

 

3225 + 80645 + 16129 = 99999

Le suivant a une période de 3 chiffres dont la somme (somme des tiers) est 9.

0 + 2 + 7 = 9

Le suivant a une période de cinq chiffres. Aucune propriété particulière, sinon la somme des chiffres qui est divisible par 9.

 

Somme des chiffres: 18

 

Bilan

On s'intéresse au développement décimal de l'inverse d'un nombre premier:

*    Il est périodique de longueur L.

*    Si L est pair, la somme des chiffres de la période est un multiple de 9; le nombre formé par la période est divisible par 9.

*    Si d est un diviseur de L, il est parfois possible de partager les chiffres de la période en d nombres dont la somme vaut 99…9.

 

 

Programmation – Calcul des demi-sommes

 

Initialisation avec restart.

Ouverture des logiciels de théorie des nombres.

 

Le nombre premier au départ sera égal à 5 et nextprime donne le suivant (7).

On lance une boucle de cinq itérations.

 

Calcul des chiffres de la période P. C'est le quatrième élément de l'expansion de 1/p obtenu avec l'instruction dédiée: pdexpand.

Calcul des deux demi-sommes avec l'instruction somme (sum). La première de 1 à L/2 et la seconde de L/2 +1 à L.

 

On affiche successivement: le nombre premier p, la longueur L de la période, les deux demi-sommes Si et S2, puis leur somme.

Voir ProgrammationIndex

 

 

 

Nombre dichotomiques – Théorème de Midy (1836)

 

Théorème de Midy (1836) – 1/p

Si le développement décimal de 1/p a une période de longueur paire, alors les motifs des deux demi-périodes ont pour somme un repdigit en 9.

 

 

 

 

Théorème de Midy – n/p

 

L'inverse d'un  nombre premier (1/p) ou ses multiples (n/p). On se limite à n de 1 à p – 1. Au-delà, on retrouve les mêmes propriétés mais la fraction comporte une partie entière.

 

Ce nombre (n/p) a un développement décimal périodique.

 

Pour un nombre premier p différent de 2 et 5.

Si la longueur de la période est paire L = 2k:

 

 

Théorème de Midy (complet)

 

Soit n et p deux nombres entiers positifs, avec p > 1, PGCD(p, 10) = 1,  PGCD(p, n) = 1 et 0 < n < p.

Si le  développement décimal de n/p a une longueur de période paire, notée:

 

 

 

*    Si p est un nombre premier, ou

*    Si p est une puissance d'un nombre premier, ou

*    Si PGCD(p, 10k – 1) = 1

 

Alors, pour :

 

Traduction: cette somme exprime que chaque chiffre de la première partie trouve son complément à 9 dans la seconde partie.

 

Théorème de 0. Mathieu (2002)

Avec p > 7, la décimale  (p + 1)/ 2 est 0 ou 9, valeur dépendante de p mod 40.

 

 

 

 

Anglais: The nines property: when the period length is even

and the period is broken into two halves of equal length

which are then added, the result is a string of 9’s.

 

 

Étienne Midy (vers 1773-1846) et les autres …

 

Mathématicien français qui a été professeur à Cahors, Orléans et Nantes. Auteurs d'une quinzaine de publications >>>

Son article qui a donné le théorème de Midy comporte 21 pages.

Les autres mathématiciens qui se sont intéressés à cette question: H. Goodwyn (1802), Dikson (1952), Leavitt (1967), Shrader-Frechette (1978).

C'est Ginsberg (2004) qui a étendu le théorème aux périodes divisible par 3.

Voir Contemporains

 

 

 

Nombres dichotomiques

Observations

On pourrait être tenté d'explorer les fractions avec un dénominateur composé.

 

Ça ne marche pas toujours!

 

Pour tous les cas où ça marche (jaune), on a PGCD(p,10k – 1) = 1

Et une autre valeur dans les cas où ça ne marche pas.

C'est le troisième cas du théorème de Midy.

Nombres dichotomiques

 

Un nombre dichotomique est un nombre dont le développement décimal de son inverse présente une période partagée en demis sommant en 99…9; la somme des deux demi-périodes est égale à un repdigit en 9.

Les nombres premiers comme les nombres composés ne sont pas tous dichotomiques. Parmi les nombres de 1 à 1000, seuls 390 sont dichotomiques.

Par contre, tous ceux caractérisés par le théorème de Midy sont dichotomiques.

Les premiers nombres dichotomiques (dont premiers en rouge): 7, 11, 13, 14, 17, 19, 22, 23, 26, 28, 29, 34, 35, 38, 44, 46, 47, 49, 52    Suite >>>

 

 

 

Programmation – Nombres dichotomiques

 

 

Deux procédures (sorte de fonction) qui calculent les deux demi-périodes S12 et S22.

 

En n, on trouve une liste de chiffres dont la quantité est q (calcul avec nops).

 

L'instruction somme (sum) reconstitue le nombre classique à partir des chiffres multipliés pat la puissance de dix associée.

 

La première demi-période prend les chiffres de 1 à q/2; et la seconde de q/2+1 à q.

 

La procédure Midy interroge les deux procédures précédentes pour renvoyer le nombre n que s'il est dichotomique.

 

En s on place les chiffres de la période de 1/n. C'est le quatrième élément de l'expansion de 1/n, obtenue par l'instruction pdexpand du logiciel numtheory. Le op initial permet de se débarrasser du texte qui accompagne la réponse de pdexpand.

 

Si la longueur de la période est paire (son modulo 2 = 0), alors

Si la somme des demi-périodes est égale à 99…9 (= 10k – 1), alors le nombre n est retourné comme validé dichotomique.

 

Le programme principal balaye les nombres de 2 à 100 et forme la liste S des nombres dichotomiques. On affiche L et sa quantité d'éléments.

 

En bleu, résultat du traitement: 39 nombres dichotomiques de 2 à 100, commençant par 7, 1, 13 …

Voir ProgrammationIndex

 

 

 

Nombres trichotomiques

 

Un nombre trichotomique est un nombre dont le développement décimal de son inverse présente une période partagée entiers sommant en 99…9; la somme des trois tiers de périodes est égale à un repdigit en 9.

Contrairement aux nombres dichotomiques, la somme comporte des retenues dans la majorité des cas.

 

 

 

Les premiers nombrs trichotomiques:
7, 13, 19, 21, 26, 28, 31, 35, 37, 39, 43, 49, …
Suite >>>

 

 

 

 

 

 

 

 

Analyse de quelques premiers longs

Voir Table des premiers longs

  

1/17

= 0,0588235294117647…

Somme

16

 

0 + 5 + 8 + …+ 7 =

= 9 x 8

1

 

05 + 88 + 23 + 52 + 94 + 11 + 76 + 47 =

= 99 x 4

2

 

0588 + 2352 + 9411 + 7647

= 9 999 x 2

4

 

05882352 + 94117647

= 99…98 x 1

8

 

1/19

= 0,052631578947368421…

Somme

18

 

0 + 5 + 2 + 6 + … + 1

= 9 x 9

1

 

05 + 26 + 31 + 57 + … + 36 + 84 + 21

= 99 x 4

2

 

052 + 631 + 578 + 947 + 368 + 421

= 999 x 3

3

 

052631 + 578947 + 368421

= 99…96 x 1

6

 

052631578 + 947368421

= 99…99 x 1

9

 

1/23

= 0,0434782608695652173913…

Somme

22

 

0 + 4 + 3 + 4 + … + 3

= 9 x 11

1

 

04 + 34 + 78 + … + 13

= 99 x 4

2

 

04347826086 + 95652173913

= 99…911 x 1

11

 

1/29

= 0,0434782608695652173913…

Somme

28

 

0 + 4 + + 3 + 4 + … + 3

= 9 x 14

1

 

04 + 34 + 47 + … 13

= 99 x 7

2

 

= 9999 x 4

4

 

= 99…97 x 2

7

 

= 99…914 x 1

14

 

1/47

= 0,0212765957 4468085106 3829787234 0425531914 893617…

Somme

46

 

0 + 2 + 1 + 2 + 7 + … + 7

= 9 x 23

1

 

02 + 12 + 76 + 000 + 17

= 99 x 9

2

 

= 99…923 x 1

23

 

1/97

= 0,0103092783 5051546391 7525773195

     8762886597 9381443298 9690721649

     4845360824 7422680412 3711340206 185567…

Somme

96

 

0 + 1 + 0 + 3 + 0 + 9 + … + 7

9 x 48

1

 

01 + 03 + 09 + 27 + … + 67

99 x 24

2

 

010 + 309 + 278 + … + 567

999 x 16

3

 

0103 + 0927 + 8350 + … + 5567

9 999 x 12

4

 

010309 + 278350 + 515463 + … + 185567

99…96 x 8

6

 

01030927 + 83505154 + … + 06185567

99…98 x 6

8

 

99…912 x 4

12

 

99…916 x 3

16

 

99…924 x 2

24

 

99…932 x 1

32

 

99…948 x 1

48

 

Bilan

En prenant 1/97 comme exemple, la période 96 a pour diviseurs (1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 24, 32, 48 et 96). En partageant la période par ces nombres, on obtient des nombres dont la somme est toujours divisible par un repdigit en 9 ayant autant de chiffres que p divisé par le diviseur.   

Certains cherchent la théorie de ces motifs. Notez que les chiffres portés en rouge sont des anomalies. On ne retrouve pas les diviseurs de la colonne de droite dans le produit de la colonne juste à gauche. Pourquoi?

 

 

 

 

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Site

*    Mystères des nombre périodiques – O. Mathieu / Jérôme Germoni – Diaporama 81 pages – 2007

*    OEIS A187040 – Numbers for which Midy's theorem holds

*    Midy's Theorem for Periodic Decimals – Joseph Lewittespdf 19 pages

*    Extended Midy's TheoremBassam Abdul-Baki – 2005

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