NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

 

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BASES de l'arithmétique

 

Débutants

Nombres

DIVISIONS

 

Glossaire

Nombres

 

 

INDEX

 

Calcul

 

Calcul mental

 

Initiation

Avancé

Polynôme

Division par 59

Division par 9

Division par 90, 99 …

Division par 98, 97 …

 

Sommaire de cette page

>>> Division par 9

>>> Propriété de la division par 9, 99 …

>>> Multiplication par 9, 99 …

>>> Division de N à quatre chiffres par 99

>>> Division par d = 99, 999, 9999 … (k fois le chiffre 9)

>>> Division de N à plus de quatre chiffres par 99

 

 

 

 

 

DIVISION par 90, 99, 999 …

 

Calcul rapide / Calcul mental

*    Rappel sur la division par 9;

*    Division par 9…9k des nombres avec au plus 2k chiffres

*    Division par 99 dans le cas général

 

 

Division mentale par 99

Pour n < 100, période = n et pour n ≥ 100, centaines, suivie de la somme indiquée.

 

 

Division par 9, 90, 900 …

 

Le calcul est rapide par simple addition cumulées des chiffres.

Chaque chiffre donne la réponse à condition de propager les retenues

Pour le dernier, on effectue la division.

 Voir méthode pratique en détails >>>

 

 

2 3 1 1 2  2

2 5 6 7 9  11

2 5 6 8 0  reste 2

 

231122 = 25680 x 9 + 2

 

Pour une division par 90, 900 … décaler la virgule vers la gauche d'autant de position que de 0.

 

231122 = 25680 x 9     + 2

231122 = 2568   x 90   + 2

231122 = 256,8  x 900 + 2

 

 

 

Division par 99 – Calcul mental

Méthode rapide valable pour tout nombre

 

Partager le nombre en groupe de deux chiffres.

 

Ajouter le prochain groupe à la somme (y compris retenues) que vous venez de trouver.

 

Le reste est égal à la somme réalisée avec la dernière somme.

 

1234 / 99

= 12 reste 46
= 12,464646…

 

 

456789 / 99 

= 4614 R3

= 4614,030303…

 

 

 

Cas d'un nombre impair de chiffres

3456789 / 99

= 34917  R6

= 34917,060606… 

 

Cas d'un nombre avec des 0. Ne pas oublier que 1 devient 01

100000000 / 99

= 1010101  R1

= 1010101,010101…

 

12

34

 

12 + 34

12

46

 

45

67

89

 

45 + 67

112 + 89

45

12

01

1

2

2 + 1

46

14

3

 

3

45

67

89

 

3 + 45

48 + 67

115 + 89

3

48

15

04

 

1

2

2 + 4

3

49

17

6

 

1

00

00

00

00

 

1 + 0

1 + 0

1 + 0

1 + 0

1

01

01

01

01

 

 

 

 

0 + 1

1

01

01

01

1

Voir Méthode rapide, identique pour 9 / Brève 612

 

 

Propriété de la division par 9, 99 …

 

Division par 9 – Cas de 1/9

D'une manière générale:

 

 

Voir Nombres périodiques

Prenons m = 3 et montrons comment passer de l'une à l'autre des représentations

        A = 0,001 001 001 …

1000A = 1,001 001 …

1000A – 1 = A

  999A = 1

C'est aussi une somme infinie:

 

Plus généralement

Avec le logiciel Maple

Voir Longueur de la période d'un nombre périodique

 

 

 

 

 

Division par 9

cas de n/9

 

Écriture particulière de la fraction qui met en évidence une certaine répétition.

 

 

 

 

La même opération peut être répétée sur la dernière fraction autant que l'on veut.

 

 

 

 

 

C'est l'explication des décimales qui se répètent:

 

 

Division par 99

 

 

 

Division par 999

 

 

Etc.

 

 

 

 

Extension à d'autres fractions

Division par 11

Division par 7

Voir Nombres périodiques

 

 

Multiplication par 9, 99 …

Multiplication

par 9

Multiplication d'un nombre à un chiffre par 9

*    Dizaine = a – 1 et

*    Unité = 10 – a.

Multiplication

par 99

Multiplication d'un nombre à deux chiffres par 99.

 

Explications

100(10a + b – 1) + 100 – 10a – b

1000a + 100b – 100 + 100 – 10a – b

(1000 – 10)a + (100 – 1)b

99 x 10a + 99 b

99 x (10a + b) = 99 x  

Multiplication

par 999

 

Multiplication d'un nombre à trois chiffres par 999.

Multiplication  par 99 …99

D'une manière générale, quelle que soit la quantité de chiffres:

*    multiplier par la puissance 10,

*    soustraire le nombre.

 

 

 

Division de N à quatre chiffres par 99

 

Nombres jusqu'à quatre chiffres à diviser par 99

Il s'agit de nombres connus pour être divisibles par 99. Retrouvez immédiatement le quotient.

 

Ajoutez 1 aux deux premiers chiffres. C'est tout!

 

Sauf pour le dernier nombre à quatre chiffres divisible par 99, composé de quatre 9. Il faut alors ajouter 2.

 

  297 / 99 =   3

  990 / 99 = 10

1089 / 99 = 11

2574 / 99 = 26

5445 / 99 = 55

9009 / 99 = 91

9801 / 99 = 99

9900 / 99 = 100

 

9999 / 99 = 101

 

 

Explications

Seule possibilité pour que les fractions en 99 atteignent 2: m = c = d = u = 9

Si le nombre n'est pas divisible, calcul du reste

 

R = 10 (m + d) + c + u – 99

 

Ex : 1095 / 99

Q = 11 et R = 10(1 + 9) + 5 – 99 = 6

11 x 99 + 6 = 1095

 

 

 

Division par d = 99, 999, 9999 … (k fois le chiffre 9)

 

Nombres jusqu'à 2k chiffres à diviser par d

Il s'agit de nombres connus pour être divisibles par d. Retrouvez immédiatement le quotient.

 

Ajoutez 1 aux k premiers chiffres. C'est tout!

 

Sauf pour les nombres composés de 99.

Il faut alors ajouter 2.

                 36 / 9 = 4

           4 455 / 99 = 45

      455 544 / 999 = 456

45 665 433 / 9999 = 4 567

 

999 999 / 999 = 1 001

Division rapide par 999

idem 99 mais avec des blocs de 3

 

123

456

789

 

123+456

579+789

123

579

368

1

1+368

123

580

369

 

 

Division de N à plus de quatre chiffres par 99

Les choses se compliquent un peu et, évidemment, la méthode perd de l'intérêt. On donne d'abord l'explication mathématique avant d'exposer la méthode.  

 

Explications théoriques (pour nombres jusqu'à 1 million)

Exemple

452 133 / 99

Chiffres du quotient

 

4  5  (4+2) (5+1) => 4 5 6 6

 

En cas de somme supérieure à 9, on propage la retenue.

Calcul de correction sur c

10(4 + 2 + 3) + 5 + 1 + 3 = 90 + 9 = 99 => correction 1

Reprise des chiffres

4 5 6 7 = 42 133 / 99

 

 

 

 

Suite

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*    Divisibilité par 99

*    Critère de divisibilité

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