NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

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ORIENTATION GÉNÉRALE    -   M'écrire   -   Édition du: 29/05/2016

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>>> Nombres premiers de Mersenne

 

 

 

 

   

Nombres premiers de Mersenne

 

Nombres premiers de la forme: 2n – 1.

Ce sont eux qui détiennent les records du plus grand nombre premier connus.

 

NB. Ne pas confondre: le donnant le rang d'un nombre de Mersenne premier et son indice Mn indiquant la puissance de 2 impliquée. 

Retour à Nombres de Mersenne

 

 

Le nombre premier le plus long en 2016 (M49?)

3003764180 8460618205 2986098359 1660500568 7586303030 1484843941 6933455477 2321906799 4296893655 3007726883

... 22 338 418 chiffres ...

3646879425 8014451073 9310021292 7181629335 9314942390

1821387921 7671164956 2871904986 8701007339 1086436351

 

Les deux derniers ont été découverts par Curtis Cooper.

En janvier 2016, il s'agit de son quatrième nombre premier record.

 

 

MERSENNE premiers

Nombre de Mersenne

Quantité de chiffres

Par qui

Découverte

49 ?

2 74 207 281 – 1

22 338 618

GIMPS – Curtis Cooper

1 / 2016

48?

2 57 885 161 – 1

17 425 170

GIMPS – Curtis Cooper

1 / 2013

47?

2 43 112 609 – 1

12 978 189

8 / 2008

46?

2 42 643 801 – 1

12 837 064

GIMPS

4 / 2009

45?

2 37 156 667 – 1

11 185 272

GIMPS

9 / 2008

44 ?

2 32 582 657 – 1

9 808 358

GIMPS

9 / 2006

43 ?

2 30 402 457 – 1

9 152 052

GIMPS

12 / 2005

42 ?

2 25 964 951 – 1

7 816 230

GIMPS

2 / 2005

41 ?

2 24 036 583 – 1 

7 235 733

GIMPS

5 / 2004

 

 

GIMPS

Great Internet Mersenne Prime Search, lancé par George Woltman en1996. Appel aux volontaires qui accueillent le programme GIMPS sur leur ordinateur et déroulent le programme de recherche sur une plage de nombres.

 

40 ?

2 20 996 011 – 1 

6 320 430

GIMPS

2003

39

2 13 466 917 – 1

4 053 946

Cameron, Woltman, Kurowski, GIMPS

2001

38

2 6 972 593 – 1

2 098 960

Hajratwala, Woltman, Kurowski
& GIMPS, PrimeNet

1999

37

2 3 021 377 – 1

909 526

Clarkson, Woltman, Kurowski & GIMPS, PrimeNet

1998

36

2 2 976 221 – 1

895 932

Spence, Woltman & GIMPS

1997

35

2 1 398 269 – 1

420 921

Armengaud, Woltman & GIMPS

1996

34

2 1 257 787 – 1

378 632

Slowinski & Gage

1996

33

2 859 433 – 1

258 716

Slowinski & Gage

1994

32

2 756 839 – 1

227 832

Slowinski & Gage

1992

31

2 216 091 – 1

65 050

David Slowinski – Cray

1985

 

 

 

En 1985

On découvre le 31e nombre de Mersenne premier avec l'exécution de 1 500 milliards opérations sur calculateur Cray.

 

30

2 132 049 – 1

39 751

David Slowinski – Cray

1983

29

2 110 503 – 1

33 265

Welsh & Colquitt – NEC

1988

28

2 86 243 – 1

25 962

David Slowinski – Cray

1982

27

2 44 497 – 1

13 395

Slowinski & Nelson – Cray

1979

26

2 23 209 – 1

6 987

L. Curt NollCDC

1979

25

2 21 701 – 1

6 533

Nickel & Noll – CDC

1978

24

2 19 937 – 1

6 002

Bryant Tuckerman – IBM

1971

23

2 11 213 – 1

3 376

Donald B. GilliesIlliac

1963

22

2 9 941 – 1

2 993

Donald B. GilliesIlliac

1963

21

2 9 689 – 1

2 917

Donald B. GilliesIlliac

1963

 

20

2 4 423 – 1

1 332

Alexander Hurwitz – IBM

1961

19

2 4 253 – 1

1 281

Alexander Hurwitz – IBM

1961

18

2 3 217 – 1

969

Riesel

1957

17

2 2 281 – 1

687

Robinson

1952

16

2 2 203 – 1

664

Robinson

1952

15

2 1 279 – 1

386

Robinson

1952

2 1 039 – 1

Record de factorisation

2007

14

2 607 – 1

183

Robinson

1952

13

2 521 – 1

157

Robinson

1952

 

Valeurs pour les trois derniers cités

1279

10407932194664399081 92524032736408553861

52622472667048053191 12350403608059673360

29801223944173232418 48424216139542810077

91383566248323464908 13990660567732076292

41295093892203457731 83349661583550472959

42054768981121169367 71475484788669625013

84438260291732348885 31116082853841658502

82556046662248318909 18801847068222203140

52102669843548873295 80288780508697361869

00714720710555703168 729087

= 0,1040793219 10 386

607

53113799281676709868 95882065524686273295

93117727031923199444 13820040355986085224

27391625022652292856 68889329486246501015

34657933765270723940 95199787665873519438

31270835393219031728 127

= 0,5311379928  10 183

521

68647976601306097149 81900799081393217269

43530014330540939446 34591855431833976560

52122559640661454554 97729631139148085803

71219879997166438125 74028291115057151

= 0,6864797660 10 157

 

 

Mersenne factorisé

 

 

2193 – 1 = 12554203470773361527671578846415332832204710888928069025791

             = 1,25… 1058

             = 13 821 503

              x 61 654 440 233 248 340 616 559

              x 14 732 265 321 145 317 331 353 282 383

 

*    Factorisé en1983 en un peu plus d'une centaine de minutes grâce à une nouvelle méthode de factorisation, efficace si les facteurs ne sont pas de même taille. (Hendrick LenstraAlbuberque – Nouveau Mexique).

   
 

 

 

 

 

 Avant les ordinateurs

 

M127 = 170 141 183 460 469 231 731 687 303 715 884 105 727

     0,17 10 39 soit un nombre à 39 chiffres

 

De 1876 à 1952, ce nombre, découvert par Lucas, a détenu le record du plus grand nombre premier connu, tous types confondus.

 

Tous les nombres cités ci-dessous étaient connus sans l'aide des ordinateurs.

 

Voir ce nombre sur DicoNombre

 

De Lucas (1842-1891) à Euler (1707-1783)

12

2 127  – 1

   0,17 10 39

170 141 183 460 469 231

 731 687 303 715 884 105

 727

Lucas

1876

11

2 107  – 1

   0,16 10 33

162 259 276 829 213 363

391 578 010 288 127

Powers

1914

10

2 89  – 1

   0,6 10 27

618 970 019 642 690

 137 449 562 111

Powers

1911

2 67  – 1

147 573 952 589 676 412 927

= 193 707 721

x 761 838 257 287

Frank Nelson Cole inscrivit ce produit sur un tableau lors d'une réunion de la Société mathématique américaine. Trois ans de travail!

1903

9

2 61  – 1

    0,2 10 19

2 305 843 009 213 693 951

Pervusinf

1883

8

2 31  – 1

   0,2 10 10

= 2 147 483 647

Euler*

(Supposé tel par Cataldi)

1772

*Voir Défi de Frénicle à Fermat pour n = 31 et n = 61 qui monterait que ce nombre était connu en 1640.

 

Connus à l'époque médiévale, donc avant Mersenne (1588-1648)

7

2 19  – 1

= 524 287

Pietro Cataldi

1603

6

2 17  – 1

131 071

Pietro Cataldi

1603

5

2 13  – 1

8 191

Manuscrit

1456

/

2 11  – 1

2 047 = 23 x 89

M11 n'est pas premier

Hudalricus Regius

1536

4

2 7  – 1

127

/

   -275

3

2 5  – 1

31

/

   -275

2

2 3  – 1

7

/

   -500

1

2 2  – 1

3

/

   -500

 

 

 

8 191

 

8 191 = 213 – 1

          = 1 + 90 + 90²

          = 1 + 2 + 2² + 23 +...+ 212

 

*      Nombre de Mersenne premier.

*      Curiosité de forme.

*      L'un des deux nombres décomposables en somme de puissances successives.

 

*      Ce nombre de Mersenne premier a un exposant (13) premier.
On a conjecturé que ces nombres devaient être premier
On aurait eu une formule pour construire une suite infinie de nombres premiers. Mais, la conjecture est fausse:

 

28 191 – 1  est composé.

 

 

 

 

 

 

 

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