collection de nombres,mersenne, valeurs et factorisation

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NOMBRES de MERSENNE

M_p = 2^p – 1

Premiers ou composés?

FACTEURS des nombres de Mersenne
p	M_p = 2^p – 1	F < 10	F < 100	F < 1 000	F < 10 000	F > 10 000
2	3	3
3	7	7
4	15	3, 5
5	31		31
6	63	3², 7
7	127			127
8	255	3, 5	17
9	511	7	73
10	1 023	3	11, 31
11	2 047		23, 89
12	4 095	3², 5, 7	13
13	8 191				8 191	>>>
14	16 383	3	43	127
15	32 767	7	31	151
16	65 535	3, 5	17	257
17	131 071					131 071
18	262 143	3³ , 7	19, 73
19	524 287					524 287
20	1 048 575	3, 5²	11, 31, 41
21	2 097 151	7²		127, 337
22	4 194 303	3	23, 89	683
23	8 388 607	47				178481
24	16 777 215	3², 5, 7	13, 17	241
25	33 554 431		31	601	1801
26	67 108 863	3			2731, 8191
27	134 217 727	7	73			262657
28	268 435 455	3, 5	29, 43	113, 127
29	536 870 911	233		1103	2089
30	1 073 741 823	3², 7	11, 31	151, 331
31	2 147 483 647					2 147 483 647
32	4 294 967 295	3, 5	17	257		65537
33	8 589 934 591	7	23, 89			599479
34	17 179 869 183	3				43691, 131071
35	34 359 738 367	31	71	127		122921
36	68 719 476 735	3³, 5, 7	13, 19, 37, 73	109
37	137 438 953 471			223		616318177
38	274 877 906 943	3				174763, 524287
39	549 755 813 887	7	79		8191	121369
40	1 099 511 627 775	3, 5²	11, 17, 31, 41			61681
41	2 199 023 255 551				13367	164511353
42	4 398 046 511 103	3, 7²	43	127, 337	5419
43	8 796 093 022 207			431	9719	2099863
44	17 592 186 044 415	3, 5	23, 89	397	397, 683	2113
45	35 184 372 088 831	7	31, 73	151, 631		23311
46	70 368 744 177 663	3	47			178481, 2796203
47	140 737 488 355 327				2351, 4513	13264529
48	281 474 976 710 655	3², 5, 7	13, 17, 97	241, 257, 673
49	562 949 953 421 311			127		4432676798593
50	1 125 899 906 842 623	3	11, 31	251, 601	1801, 4051

67	= 147 573 952 589 676 412 927	= 193707721 x 7618388257287	>>>
167	10³⁹	Premier (le plus grand connu sans ordinateurs)	>>>

Suite: Mersenne – Table des nombres et records

PRIMALITÉ des nombres de Mersenne

On prouve la primalité d'un nombre de Mersenne grâce au test de Lucas-Lehmer, basé sur la propriété suivante =>

C'est avec ce test que Lucas a réussi à factoriser 2¹²⁷ – 1.

C'est avec ce test que sont connus les plus grands premiers actuellement (1999).

2^p – 1 est premier

si et seulement si

2^p – 1 divise S_p

S_n étant la suite ainsi définie:

avec S₂ = 4

et S_n+1 = S_n² – 2

Les premiers termes de la suite sont: 4, 14, 194, 37 634, …

CALCULS
p	M_p = 2^P - 1	S(p-1)	S(p-1) / M_p	Mersenne Premier
2	2	4	4/3	Non
3	7	14	2	OUI
4	15	194	194/15	Non
5	31	37634	1214	OUI
6	63	1416317954	1416317954/63	Non
7	127	2005956546822746114 = 0,200596 10¹⁹	15794933439549182	OUI
8	255	4023861667741036022 825635656102100994 = 0,402386 10³⁷		Non
9	511	0,1619146272 10 ⁷⁴		Non
10	1 023	0,2621634650 10¹⁴⁷		Non
11	2 047	0,6872968241 10 ²⁹³		Non
12	4 095	0,4723769244 10 ⁵⁸⁶		Non
13	8 191	0,2231399587 10 ^{1 172}	568 chiffres!	OUI