NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

 

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PUISSANCE de 2

 

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Puissance

Nombres de

Fermat et Mersenne

 

Glossaire

Puissance

 

 

INDEX

 

Puissance

Décomposition

Puissance de 2

 

FERMAT  (biographie)

MERSENNE (biographie)

Nombres de Fermat

Nombres de Mersenne

Valeurs et facteurs

Valeurs et facteurs

Diviseurs

Mersenne – Records

Sommaire de cette page

>>> Nombres

>>> Primalité des nombres de Mersenne

>>> Facteurs des nombres de Mersenne

 

 

 

 

NOMBRES de MERSENNE

Mp = 2p – 1

 

Premiers ou composés?

Voir Premier / Composé / Facteurs

 

 

 

FACTEURS des nombres de Mersenne

p

Mp = 2p – 1

F < 10

F < 100

F < 1 000

F < 10 000

F > 10 000

2

3

3

 

 

 

 

3

7

7

 

 

 

 

4

15

3, 5

 

 

 

 

5

31

 

31

 

 

 

6

63

3², 7

 

 

 

 

7

127

 

 

127

 

 

8

255

3, 5

17

 

 

 

9

511

7

73

 

 

 

10

1 023

3

11, 31

 

 

 

11

2 047

 

23, 89

 

 

 

12

4 095

3², 5, 7

13

 

 

 

13

8 191

 

 

 

8 191

>>> 

14

16 383

3

43

127

 

 

15

32 767

7

31

151

 

 

16

65 535

3, 5

17

257

 

 

17

131 071

 

 

 

 

131 071

18

262 143

33 , 7

19, 73

 

 

 

19

524 287

 

 

 

 

524 287

20

1 048 575

3, 5²

11, 31, 41

 

 

 

21

2 097 151

 

127, 337

 

 

22

4 194 303

3

23, 89

683

 

 

23

8 388 607

47

 

 

 

178481

24

16 777 215

3², 5, 7

13, 17

241

 

 

25

33 554 431

 

31

601

1801

 

26

67 108 863

3

 

 

2731, 8191

 

27

134 217 727

7

73

 

 

262657

28

268 435 455

3, 5

29, 43

113, 127

 

 

29

536 870 911

233

 

1103

2089

 

30

1 073 741 823

3², 7

11, 31

151, 331

 

 

31

2 147 483 647

 

Voir Calcul Frénicle et Fermat

2 147 483 647

32

4 294 967 295

3, 5

17

257

 

65537

33

8 589 934 591

7

23, 89

 

 

599479

34

17 179 869 183

3

 

 

 

43691, 131071

35

34 359 738 367

31

71

127

 

122921

36

68 719 476 735

33, 5, 7

13, 19, 37, 73

109

 

 

37

137 438 953 471

 

 

223

 

616318177

38

274 877 906 943

3

 

 

 

174763, 524287

39

549 755 813 887

7

79

 

8191

121369

40

1 099 511 627 775

3, 5²

11, 17, 31, 41

 

 

61681

41

2 199 023 255 551

 

 

 

13367

164511353

42

4 398 046 511 103

3, 7²

43

127, 337

5419

 

43

8 796 093 022 207

 

 

431

9719

2099863

44

17 592 186 044 415

3, 5

23, 89

397

397, 683

2113

45

35 184 372 088 831

7

31, 73

151, 631

 

23311

46

70 368 744 177 663

3

47

 

 

178481, 2796203

47

140 737 488 355 327

 

 

 

2351, 4513

13264529

48

281 474 976 710 655

3², 5, 7

13, 17, 97

241, 257, 673

 

 

49

562 949 953 421 311

 

 

127

 

4432676798593

50

1 125 899 906 842 623

3

11, 31

251, 601

1801, 4051

 

 

61

= 2 305 843 009 213 693 951

Premier, le suivant après p = 31

>>>

67

= 147 573 952 589 676 412 927  

= 193707721 x 7618388257287  

>>>

127

= 1,70141… 1038

Premier (le plus grand connu sans ordinateurs)

>>>

Suite: Mersenne – Table des nombres et records

 

 

PRIMALITÉ des nombres de Mersenne

 

*      On prouve la primalité d'un nombre de Mersenne grâce au test de Lucas-Lehmer, basé sur la propriété suivante =>

*      C'est avec ce test que Lucas a réussi à factoriser 2127 – 1.

 

*      C'est avec ce test que sont connus les plus grands premiers actuellement (1999).



 

2p – 1 est premier

si et seulement si

2p – 1 divise Sp

 

Sn étant la suite ainsi définie: 

avec S2     =   4

et      Sn+1 = Sn² – 2 

 

Les premiers termes de la suite sont: 4, 14, 194, 37 634, …

 

Voir Test de primalité de Lucas-Lehmer

 

 

  

CALCULS

p

Mp = 2P – 1

S(p–1)

S(p–1) / Mp

Mersenne

Premier

2

2

4

4/3

Non

3

7

14

2

OUI

4

15

194

194/15

Non

5

31

37634

1214

OUI

6

63

1416317954

1416317954/63

Non

7

127

2005956546822746114

= 0,200596 10 19

15794933439549182

OUI

8

255

4023861667741036022

825635656102100994

= 0,402386 10 37

 

Non

9

511

0,1619146272 10 74

 

Non

10

1 023

0,2621634650 10 147

 

Non

11

2 047

0,6872968241 10  293

 

Non

12

4 095

0,4723769244 10 586

 

Non

13

8 191

0,2231399587 10 1 172

568 chiffres!

OUI

 

 

 

 

 

Suite et

Retour

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http://villemin.gerard.free.fr/Wwwgvmm/Decompos/Mersenn1.htm

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ARCHIVES

 

 VALEUR DES NOMBRES DE MERSENNE premiers

 

  

Cas de 139

On trouve sur Internet le fait que le nombre de Mersenne 139 est bien non premier sans que l'on connaisse ses facteurs.

Bizarre car:

2 139 – 1

= 0, 88 … 10 72

= 883423532389192164791648750371459257913741948437809479060803100646309887

= 479

x 1913

x 5737

x 176383

x 134000609

x 7110008717824458123105014279253754096863768062879