NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

 

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Diviseurs

 

Débutants

Division

Types de nombres

selon leurs diviseurs

 

Glossaire

Général

 

 

INDEX

 

Décomposition

Diviseurs

 

Présentation

Parfait

Presque parfait

Amiables

de 1 à 100

Démonstration

Unit. Parfait

Sublimes

Départ          puis         démonstration

 

Sommaire de cette page

>>> Définition

>>> Liste

>>> Propriétés

>>> Relations chez les diviseurs

>>> Relations chez les sublimes

>>> Démonstration

 

 

 

 

NOMBRES SUBLIMES

 

On considère les diviseurs d'un nombre;

On effectue leur somme;

On compte le nombre de diviseurs;

Ces deux derniers nombres sont parfaits.

 

Anglais: Sublime numbers

 

 

Définition

 

Nombre sublime: La quantité de diviseurs et la somme des diviseurs sont deux nombres parfaits.

Exemple: 12 est un nombre sublime.

 

Diviseurs              1, 2, 3, 4, 6 et 12           

Quantité               6                                       Nombre parfait

Somme                28                                    Nombre parfait

 

 

 

 

LISTE

 

En 2012, deux seuls nombres sublimes sont connus, S1 = 12 et S2 un nombre à 76 chiffres:
 

S1

= (22) (22 – 1)

avec 3 – 1 = 2

M3 étant un Mersenne premier.

S2

= (2126) (261 – 1) (231 – 1) (219 – 1) (27 – 1) (25 – 1) (23 – 1)

avec 127 – 1 = 126 = 61 + 31 + 19 + 7 + 5 + 3

M127 étant un Mersenne premier.

= 0,608… 1076

= 608655 5670238378 9896703717 3424316962 2657830773

                  3518859705 2832486051 2791691264

 

Il n'en existe probablement pas d'autres; ou, du moins, ils seraient extraordinairement grands; au delà des possibilités de test des moyens actuels.
 

 

S2 est bien sublime (Vérification avec Maple)

 

 

 

PROPRIÉTÉS

 

*    Les nombres sublimes sont en relation avec les nombres de Mersenne  premiers (M). Ils sont de la forme:

 

S =  (2M – 1) (2M1 – 1) (2M2 – 1) … (25 – 1) (23 – 1)

 

Avec M et les Mi,  indices de nombres de Mersenne premiers et distincts tels que le plus grand moins 1 est la somme des plus petits:

M – 1 = M1 + M2 + …+ 5 + 3

 

*    Le nombre 126 est la somme de six nombres de Mersenne premiers et distincts: 126 = 61 + 31 + 19 + 7 + 5 + 3.  Il est la base du second nombre sublime.

 

 

 

** Démonstration (niveau supérieur)

(Énumération de pré-requis suivi de la démonstration)

 

Relations chez les diviseurs

*    Tout nombre est de la forme:

 

*    Quantité de diviseurs:

*    Somme des diviseurs:

*    Un diviseur de N en particulier contribue à la somme de cette manière (chacun des termes indiqués est un diviseur de N).

*    Si un facteur premier p est différent de 2, il est impair et la contribution à la somme devient:

Cette somme est paire pour a impair; comme, par exemple: 1 + p + p² qui est impaire pour a = 2.

*    Si la puissance a du facteur premier est impaire avec a = 2b+1. Avec l'exemple de p5 pour comprendre le principe de la factorisation.

 

 

 

Relations chez les sublimes

*    Un nombre parfait est de la forme:

 avec  premier (Mersenne).

                            Produit d'un impair par un pair

*    Somme de diviseurs d'un produit de nombres de Mersenne premiers.

*    Facteurs: ils sont de parités opposées.

2s – 1 est une puissance de 2, donc paire.

2s – 1 est impair pour deux raisons:

*    c'est une puissance de 2 moins 1,

*    c'est un nombre premier.

*    Un nombre sublime sera tel que:
Les facteurs en jaune sont premiers.

 

 

 

Démonstration

*    Première étape

On isole les facteurs de N en puissance de deux.

*    N est divisible par 2k

N = 2k  N'

*    Alors (voir ce lien):

 est divisible par  , un nombre impair.

*    Comparons (en jaune, premier)

         = impair x pair

     = impair x pair

*    Déduction

2k+1 – 1  est premier impair, un nombre de Mersenne et D = 2s – 1

*    Deuxième étape

Quels sont les autres facteurs de N

*    Ce qui veut dire que tous les autres facteurs de N doivent contribuer à former

un facteur de 2s – 1 pour ,

facteur qui est donc un nombre pair.

*    Seul un produit de nombres de Mersenne premiers et distincts est capable de donner une somme de diviseurs en puissance de 2.

*    Retour vers le nombre N

N = 2k  . Mp . Mq . Mr….

(N) = (2k + 1 – 1) 2p + q + r + …

*    Exemple
Les Mersennes étant premiers, les contributions à la somme des diviseurs  sont bien séparées et se multiplient.

N = 25 x 3 x 5 x 7

(25) = 63 = 25+1 – 1

(3x5x7) = 1024

 (N) = 63 x 1024 = 64 512

*    Or sigma de n est parfait, ce qui impose la relation sur les indices

k + 1 – 1 = k = p + q + r +…

*    Ce qui veut dire qu'il faut trouver des Mersennes premiers distincts

tels que leur somme soit égale à k + 1.

*    Passons à la quantité de diviseurs

qui est aussi un nombre parfait

*    N est en puissance de 2
et en produit de Mersennes premiers

*    En sommant tous ces nombres de diviseurs

 = (k + 1) x 2 x 2 x 2 x … = k + 1 + 2h

h étant la quantité de Mersenne dans N

*    Or cette quantité de diviseurs est parfaite

*    En comparant

k + 1 = 2s1 , un Mersenne premier

2h = 2s – 1,

*    Ce qui donne deux conditions en plus:

k + 1 est un nombre de Mersenne premier.

la quantité de Mersenne dans n est imposée.

 

*    Exemples avec ces conditions

N = 2k  . Mp . Mq . Mr….

k = p + q + r +…

Mk + 1 Mersenne premier

 

 

*    Premier exemple

M2+1 = 23 – 1 = 7 Mersenne premier

k = 2

p = 2 avec M2 = 22 – 1 = 3 Mersenne premier

*    Alors, expression du premier nombre sublime:

(N) = 28

(N) =   6

 

*    Pour les exposants suivants

3, 7, 15, 31, 63, 127

*    Pas de chance

  6 n'est pas somme de 2 Mersenne premiers;

30 n'est pas somme de 4 Mersenne premiers;

 

*    Le suivant fait l'affaire comme somme de 6 Mersenne premiers.

126 = 61 + 31 + 19 + 7 + 5 + 3

*    D'où un nouveau nombre sublime:

N = 2126 (261 – 1) (231 – 1) (219 – 1) (27 – 1) (25 – 1) (23 – 1)

*    Ce nombre vaut:

608655 5670238378 9896703717 3424316962 2657830773 3518859705 2832486051 2791691264

*    Somme des diviseurs; nombre parfait.

1447401 1154664524 4279463731 2608598848 1573677491 4748358890 6635434913 1199152128

*    Quantité de diviseurs; nombre parfait.

8128

 

 

 

 

Suite

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*         GéométrieIndex

Site

*         Sublime numbers (qui a inspiré la démonstration exposée ci-dessus)

*         OEIS A081357 – Sublime numbers

*         Sublime number – Wolfram Mathworld

Cette page

http://villemin.gerard.free.fr/Wwwgvmm/Decompos/Sublime.htm