NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

 

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Algèbre

 

Débutants

Algèbre

IDENTITÉS

 

Glossaire

Algèbre

 

 

INDEX

Identités

Remarquables

Degré > 2

Trigonométrie

Euler & Riemann

Spéciales

Complexes

Puissance 5

xn – 1

(x+ x² + …) ^k

a^nb^n

Inverses

Divers

1ère partie

2e partie

 

Sommaire de cette page

>>> Le polynôme magique

>>> Polynômes à la puissance k pour k de 2 à 10

 

>>> Formule donnant les coefficients

>>> Calcul des coefficients

 

 

 

 

 

 

Identités remarquables spéciales

 (x + x2 + x3 +…)k

 

Polynôme générateur permettant le calcul des quantités de partitions ou encore la quantité de somme obtenues en lançant n dés possédant k faces (usuellement 6).

 

Exemples: avec trois dès, la somme 13 est obtenue 21 fois. La lecture est simple: c'est le coefficient de x13 dans le développement de la puissance 3 de ce polynôme (voir ci-dessous). Avec cinq dès, la somme 10 est obtenue 126 fois (tableau plus bas).

 

 

 

Le polynôme magique

 

 

Polynômes à la puissance n pour n de 2 à 10

 

Les coefficients donnent:

*       la quantité de sommes obtenues avec n dés classiques, ou

*       la quantité de n-partitions des nombres avec les nombres de 1 à 6.

 

 



 

 

 

 

Méthode de calcul** (notions avancées)

 

Formule donnant les coefficients

Formule générale pour n dès à x faces,

Valeur du coefficient pour le degré ou la somme s.

avec les valeurs entières de k de 0 à (s – n) / x

Cas du dé à 6 faces (x = 6)

Exemple 1:

Avec quatre dés la somme 13  est possible 140 fois avec le dé classique à 6 faces.

Exemple 2:

Avec six dés la somme 13  est possible 756 fois avec le dé classique à 6 faces.

Exemple 3:

Avec dix dés la somme 35  est possible 4 395 456 fois avec le dé classique à 6 faces.

 

 

Calcul des coefficients

Fraction correspondant au développement

Puissance n

Retour aux développements

Mie en commun des sommes

Valeur de chaque coefficient

 

 

 

 

 

Suite

*    Identités en puissance 5

*    Coefficients multinomiaux

*    Somme des entiers, des carrés, des inverses…

*    Somme avec trois dés

Voir

*    Identités trigonométriques

*    Isopérimètre

*    Nombres cubains

*    Pépites

*    Somme des entiers, des carrés…

*    Tautochronie

*    Théorèmes

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