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ORIENTATION GÉNÉRALE  - M'écrire - Édition du: 18/06/2011

 

 -Ý- RUBRIQUE: PROBABILITÉS

§  Probabilités

§  Famille

§  Pile ou Face

§  Moyenne & Médiane

§  Anniversaire

§  Dés

§  Grands nombres

§  Coïncidences

§  Historique

Sommaire de cette page

>>> LES DEUX SŒURS

>>> FAMILLE DÉROUTANTE

>>> CYCLE DE VIE

 

Pages voisines

§  Oncles

§  Aïeuls

§  Paradoxes

§  Portrait

§  Énigmes sur les familles

 

 

FAMILLES

 

Probabilités garçons ou filles ?  Pas si évident qu'il y paraît à première vue

 

 

 

 

 

-Ý-   LES DEUX SŒURS

§  Énigme très classique et déroutante

Ø Objet de polémiques chaque fois qu'elle est posée dans un magazine

Ø Ce fut le cas pour Sciences et vie de septembre 2004, dans le cadre d'un dossier "votre cerveau vous trompe

 

 

 

Énoncé

Dans cette famille, il a deux enfants.

Si je vous apprends qu'il y a une fille,

Quelle est la probabilité que l'autre soit aussi une fille?

 

 

 

Fastoche!

§  Peu importe que l'un soit fille ou garçon,

Ø la probabilité pour un enfant d'être garçon ou fille est toujours de 50%

Ø La réponse est une chance sur deux

§  Tu as raison! Le fait que la famille de deux enfants ait déjà une fille

Ø n'influence en rien le sexe de l'autre

Ø Je confirme donc: la réponse est bien une chance sur deux

§  D'abord, lorsque la maman est enceinte

Ø même si elle a déjà une fille,
elle conserve une chance sur deux d'avoir une seconde fille

§  Tout faux! Ce n'est pas la bonne réponse!

 

Réponse

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Indice: il n'a jamais été dit que la fille mentionnée est l'aînée

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Réponse

La réponse est 1/3 et non pas 1/2

Dans cette famille, il a deux enfants.

 

À ce point de l'énoncé, sans autres indications, et en tenant compte de l'ordre d'arrivée des enfants, il a quatre fratries possibles:

 

       Aîné         / benjamin

1)   Garçon     / garçon

2)   Garçon     / fille

3)   Fille          / garçon

4)   Fille          / fille

 

Si je vous apprends qu'il y a une fille,

 

La fratrie 1) (garçon / garçon) n'est pas possible

Il ne reste que trois cas possibles de fratrie: 2), 3) et 4)

 

Quelle est la probabilité que l'autre soit aussi une fille?

 

 

Parmi ces trois fratries,  il n'y a qu'une seule possibilité d'avoir une seconde fille.

Il s'agit du cas 4) (fille / fille)

 

 

Soit, maintenant, un calcul classique de probabilité:

 

Probabilités =

Nombre de cas favorables

Nombre de cas possibles

 

 

Ici, nous avons un cas favorable (qui répond à la question) parmi trois possibles

 

La probabilité est de 1/3 ou 33%

 

Illustration en tableau    G = garçon; F = fille

Cas possibles

GG

GF

FG

FF

4 possibilités

Il y a déjà une fille

 

GF

FG

FF

3 cas de filles

Encore une autre fille

 

 

 

FF

1 seul cas

 

 

 

 

 

 

Autre forme de l'énigme

§  Une famille de deux enfants

Ø  L'un est un garçon

Ø  Qu'elle est la probabilité que l'autre soit une fille?

 

Cas possibles

GG

GF

FG

FF

4 possibilités

Il y a déjà un garçon

GG

GF

FG

 

3 cas de garçons

L'autre est une fille

 

 GF

 FG

 

2 cas garçon / fille

 

Probabilité 2/3 ou 66%

 

 

Théorie

 

Il s'agit de probabilités conditionnelles

 

Quelle est la probabilité que A se produise,

sachant que B s'est déjà produit ?

 

 

 

Théorème de Thomas Baye

P(A/B)

= P(A&B)

/ P(B)

Probabilité de A si B

Probabilité que A et B se soient produits tous les deux

Probabilité de B seul

 

Notre exemple

A =

le deuxième enfant est une fille

 

B =

un des enfants est une fille

 

A&B =

Les deux enfants sont des filles

 

 

P(A) = ?

P(A&B) = 1/4

P(B) = 3/4

P(A) = (1/4) / (3/4) = 1/3

 

 

 

 

 

Voir Nombre 0,333

 

 

 

 

-Ý-   FAMILLE DÉROUTANTE

 

Question

§  Dans une famille de quatre enfants

quelle est la probabilité d'avoir deux filles et deux garçons?

§  Est-ce 50 % ?  Non!

 

 

Réponse

0,375 = 3/8

Probabilité d'avoir deux garçons et deux filles dans une famille de quatre enfants

 

 

 

Résolution

§  Plus généralement, dans une famille de quatre enfants

quelle est la répartition filles, garçons la plus probable?

 

Notons les compositions possibles de la famille

4

pour

§  Tous sont des garçons, ou tous des filles

2 - 2

§  Deux garçons et deux filles

3 - 1

§  Trois d'un sexe et un de l'autre

  

Quels sont les cas possibles?

G

G

G

G

4

 

F

G

G

G

3-1

G

G

G

F

3-1

F

G

G

F

2-2

G

G

F

G

3-1

F

G

F

G

2-2

G

G

F

F

2-2

F

G

F

F

3-1

G

F

G

G

3-1

F

F

G

G

2-2

G

F

G

F

2-2

F

F

G

F

3-1

G

F

F

G

2-2

F

F

F

G

3-1

G

F

F

F

3-1

F

F

F

F

4

 

Dénombrement et calcul de probabilité

4

2 cas sur 16 = 1/8

§  La moins probable, bien sûr

2-2

6 cas sur 16 = 3/8

§  Inférieure à 50%

3-1

8 cas sur 16 = 4/8

§  La plus probable à 50%

 

Conclusion

§  Dans une famille de quatre enfants

Ø  La plus grande probabilité est qu'elle soit déséquilibrée avec un seul enfant du même sexe

§  Ce n'est pas forcément ce que l'on pense a priori !

 

 

 

Voir Nombre 0,375

 

  

-Ý-   CYCLE DE VIE

Soit 10 personnes. Chaque année, une meurt et une vient au monde.

 

Au bout de 10 ans, la probabilité que l'une d'elles soit vivante est de 34, 868 %.

 

En effet

Au bout d'un an, la probabilité est 9/10

 Et, pour 10 ans, elle est (9/10)10 = 0,34868.

 

 

 

 

 

-Ý-

Voir

§  Énigmes sur les familles

 

 

§  Métis