NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

 

Accueil                           DicoNombre            Rubriques           Nouveautés      Édition du: 16/11/2016

Orientation générale        DicoMot Math          Atlas                   Références                     M'écrire

Barre de recherche          DicoCulture              Index alphabétique                               

     

PROBABILITÉS

 

Débutants

Dénombrement

Général

 

Glossaire

Probabilités

 

 

INDEX

 

Nombre en grand nombre

 

Probabilités et statistiques

Probabilités

Grands nombres

Pile ou Face

Famille

Moyenne & Médiane

Dés

Anniversaire

Coïncidences

Historique

 

Sommaire de cette page

>>> Quatre enfants

>>> Les deux sœurs

>>> Alternative

>>> Théorie

>>> Famille déroutante

>>> Cycle de vie

 

 

 

 

 

FAMILLE

 

Probabilités garçons ou filles ? 

Pas si évident qu'il y paraît à première vue.

 

 

Quatre enfants

 

Problème

Une famille de quatre enfants.

Quelle est la plus grande probabilité d'avoir des enfants de sexe différents: 2 garçons et 2 filles ou 1 d'un sexe et les 3 autres de l'autre?

 

Solution

Une chance sur deux d'avoir une répartition 1 / 3

et seulement un bon tiers pour 2 / 2.

 

Décompte des possibilités

Calcul des probabilités

 

 

 

 

LES DEUX SŒURS

 

Énigme très classique et déroutante

*    Objet de polémiques chaque fois qu'elle est posée dans un magazine. Ce fut le cas pour Sciences et vie de septembre 2004, dans le cadre d'un dossier "votre cerveau vous trompe".

 

Énoncé

 

Dans cette famille, il a deux enfants.

Si je vous apprends qu'il y a une fille,

Quelle est la probabilité que l'autre soit aussi une fille?
 

Fastoche!

*    Peu importe que l'un soit fille ou garçon,

*       la probabilité pour un enfant d'être garçon ou fille est toujours de 50%.

*       La réponse est une chance sur deux.

*    Tu as raison! Le fait que la famille de deux enfants ait déjà une fille

*       n'influence en rien le sexe de l'autre.

*       Je confirme donc: la réponse est bien une chance sur deux

*    D'abord, lorsque la maman est enceinte

*       même si elle a déjà une fille,
elle conserve une chance sur deux d'avoir une seconde fille.

Tout faux! Ce n'est pas la bonne réponse!

 

 

Réponse

 

Indice: il n'a jamais été dit que la fille mentionnée est l'aînée

On lira utilement le Paradoxe de d'Alembert

 

 

 

Réponse

 

 

La réponse est 1/3 et non pas ½.

 

Dans cette famille, il a deux enfants.

 

À ce point de l'énoncé, sans autres indications, et en tenant compte de l'ordre d'arrivée des enfants, il a quatre fratries possibles:

 

 

Si je vous apprends qu'il y a une fille,

 

La fratrie 1) "Garçon / Garçon" n'est pas possible.

Il ne reste que trois cas possibles de fratrie: 2), 3) et 4).

 

Quelle est la probabilité que l'autre soit aussi une fille?

 

Parmi ces trois fratries,  il n'y a qu'une seule possibilité d'avoir une seconde fille.

Il s'agit du cas 4) "Fille / Fille"

 

Soit, maintenant, un calcul classique de probabilité:

 

 

Ici, nous avons un cas favorable (qui répond à la question) parmi trois possibles.

 

La probabilité est de 1/3 ou 33%.

 

Illustration en tableau    G = garçon; F = fille

 

 

 

 

Autre forme de l'énigme

 

Une famille de deux enfants:

*       L'un est un garçon.

*       Quelle est la probabilité que l'autre soit une fille?

 

 

Probabilité 2/3 ou 66%.

 

 

 

 

Théorie

 

Il s'agit de probabilités conditionnelles

 

Quelle est la probabilité que A se produise,

sachant que B s'est déjà produit ?

 

Théorème de Thomas Baye

 

 

P(A/B)

=    P(A&B)

/    P(B)

Probabilité de A si B.

Probabilité d'occurrence de A et aussi de B.

Probabilité de B seul.

Notre exemple

A = le deuxième enfant

est une fille

A&B = Les deux enfants

sont des filles

B = un des enfants

est une fille

P(A) = ?

P(A&B) = 1/4

P(B) = 3/4

P(A) = (1/4) / (3/4) = 1/3

Voir Nombre 0,333

 

  

FAMILLE DÉROUTANTE

 

Question

Dans une famille de quatre enfants quelle est la probabilité d'avoir deux filles et deux garçons?

Est-ce 50 % ?  Non!

Réponse: 0,375 = 3/8

 

Résolution

Plus généralement, dans une famille de quatre enfants quelle est la répartition filles, garçons la plus probable?

 

Notons les compositions possibles de la famille

 

 

 

Quels sont les cas possibles?

 

 

Dénombrement et calcul de probabilité

 

 

Conclusion

Dans une famille de quatre enfants, la plus grande probabilité est qu'elle soit déséquilibrée avec un seul enfant du même sexe. Ce n'est pas forcément ce que l'on pense a priori !

 

 

Voir Nombre 0,375

 

 

CYCLE DE VIE

 

Soit 10 personnes. Chaque année, une meurt et une vient au monde.

Au bout de 10 ans, la probabilité que l'une d'elles soit vivante est de 34, 868 %.

 

En effet

Au bout d'un an, la probabilité est 9/10.

Et, pour 10 ans, elle est (9/10)10 = 0,34868.

 

Voir Probabilité de la vie / Vie et mort

 

 

 

Suite

*         Énigmes sur les familles

*         Vanille ou chocolat ?

*         Coïncidences

*         Probabilité de la vie

Voir

*         Aïeuls

*         Amis

*         Dates de naissance produit

*         DénombrementIndex

*         Jeux avec les âges

*         Métis

*         Oncles

*         Paradoxes

*         Portrait

*         Probabilités

Cette page

http://villemin.gerard.free.fr/Wwwgvmm/Probabil/Famille.htm