NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

 

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Sommaire de cette page

>>> Quatre enfants

>>> De 1 à 10 enfants

>>> Les deux sœurs

>>> Alternative

>>> Théorie

>>> Famille déroutante

>>> Cycle de vie

 

 

 

 

 

FAMILLE

 

Probabilités garçons ou filles dans une famille de n enfants? 

En général ou lorsque certains enfants sont déjà là …

Pas si évident qu'il y paraît à première vue.

 

 

Quatre enfants

 

Problème

Une famille de quatre enfants.

 

Quelle est la probabilité d'avoir des enfants de sexes différents:

*    2 garçons et 2 filles ou

*    1 d'un sexe et les 3 autres de l'autre ?

Autrement-dit: quelle est la probabilité d'avoir au moins une fille et un garçon ?

 

Solution

Sur les 16 possibilités, deux cas pour que des filles ou que des garçons

P (tous filles ou tous garçons) = 2/16 = 1/8

La probabilité d'avoir au moins une fille et un garçon dans la famille est donc:
1 – 1/8 = 7/8 = 87,5 %.

 

 

Décompte des possibilités

Calcul des probabilités

 

 

Voir DénombrementIndex / Probabilités

 

De 1 à 10 enfants

 

Cas de 1 à 10 enfants

Ce tableau montre les situations avec un exemple.

 

Colonne E: quantité d'enfants dans la famille.

Total: quantité de possibilités pour la composition de la famille.

En haut, est notée la quantité de filles. La quantité de garçons est le complément pour obtenir la famille.

 

Exemple

Avec une famille de 5 enfants, il y a 32 possibilités et, par exemple, 10 cas pour avoir 2 filles et aussi 10 cas pour avoir 3 filles.

Avec 10 cas pour 32 au total, la probabilité d'avoir 2 filles et 3 garçons (ou l'inverse) est le rapport 10/32, soit 31%.

 

 

Toutes les possibilités pour les familles de 1 à 10 enfants

 

Vous avez reconnu le triangle de Pascal ? Chaque nombre est égal à la somme de celui du dessus plus son voisin de gauche.

Et aussi, le total de chaque ligne est une puissance de 2.

 

 

 

Remarques

Il s'agit de probabilités !

*      Chaque enfant a la possibilité d'être fille ou garçon avec une probabilité égale à 50% (hors considérations biologiques). On connait des familles avec 4, 5 ou 6 garçons à la suite.

*      La probabilité  d'avoir 2 filles et 3 garçons établie à 31% ne peut se vérifier que sur un très grand nombre de familles. On peut sans doute vérifier cette proportion sur les familles de France à 5 enfants; mais certainement pas à l'échelon d'une commune, par exemple.

 

 

 LES DEUX SŒURS

 

Énigme très classique et déroutante

*    Objet de polémiques chaque fois qu'elle est posée dans un magazine. Ce fut le cas pour Sciences et vie de septembre 2004, dans le cadre d'un dossier "votre cerveau vous trompe".

 

Énoncé

 

Dans cette famille, il a deux enfants.

Si je vous apprends qu'il y a une fille,

Quelle est la probabilité que l'autre soit aussi une fille?
 

Fastoche!

*    Peu importe que l'un soit fille ou garçon,

*       la probabilité pour un enfant d'être garçon ou fille est toujours de 50%.

*       La réponse est une chance sur deux.

*    Tu as raison! Le fait que la famille de deux enfants ait déjà une fille

*       n'influence en rien le sexe de l'autre.

*       Je confirme donc: la réponse est bien une chance sur deux

*    D'abord, lorsque la maman est enceinte

*       même si elle a déjà une fille,
elle conserve une chance sur deux d'avoir une seconde fille.

Tout faux! Ce n'est pas la bonne réponse!

 

 

Réponse

 

Indice: il n'a jamais été dit que la fille mentionnée est l'aînée

On lira utilement le Paradoxe de d'Alembert

 

 

 

Réponse

 

 

La réponse est 1/3 et non pas ½.

 

Dans cette famille, il a deux enfants.

 

À ce point de l'énoncé, sans autres indications, et en tenant compte de l'ordre d'arrivée des enfants, il a quatre fratries possibles:

 

 

Si je vous apprends qu'il y a une fille,

 

La fratrie 1) "Garçon / Garçon" n'est pas possible.

Il ne reste que trois cas possibles de fratrie: 2), 3) et 4).

 

Quelle est la probabilité que l'autre soit aussi une fille?

 

Parmi ces trois fratries,  il n'y a qu'une seule possibilité d'avoir une seconde fille.

Il s'agit du cas 4) "Fille / Fille"

 

Soit, maintenant, un calcul classique de probabilité:

 

 

Ici, nous avons un cas favorable (qui répond à la question) parmi trois possibles.

 

La probabilité est de 1/3 ou 33%.

 

Illustration en tableau    G = garçon; F = fille

 

 

 

 

Autre forme de l'énigme

 

Une famille de deux enfants:

*       L'un est un garçon.

*       Quelle est la probabilité que l'autre soit une fille?

 

 

Probabilité 2/3 ou 66%.

 

 

 

 

Théorie

 

Il s'agit de probabilités conditionnelles

 

Quelle est la probabilité que A se produise,

sachant que B s'est déjà produit ?

 

Théorème de Thomas Baye

 

 

P(A/B)

=    P(A&B)

/    P(B)

Probabilité de A si B.

Probabilité d'occurrence de A et aussi de B.

Probabilité de B seul.

Notre exemple

A = le deuxième enfant

est une fille

A&B = Les deux enfants

sont des filles

B = un des enfants

est une fille

P(A) = ?

P(A&B) = 1/4

P(B) = 3/4

P(A) = (1/4) / (3/4) = 1/3

Voir Nombre 0,333

 

  

FAMILLE DÉROUTANTE

 

Question

Dans une famille de quatre enfants quelle est la probabilité d'avoir deux filles et deux garçons?

Est-ce 50 % ?  Non!

Réponse: 0,375 = 3/8

 

Résolution

Plus généralement, dans une famille de quatre enfants quelle est la répartition filles, garçons la plus probable?

 

Notons les compositions possibles de la famille

 

 

 

Quels sont les cas possibles?

 

 

Dénombrement et calcul de probabilité

 

 

Conclusion

Dans une famille de quatre enfants, la plus grande probabilité est qu'elle soit déséquilibrée avec un seul enfant du même sexe. Ce n'est pas forcément ce que l'on pense a priori !

 

 

Voir Nombre 0,375

 

 

CYCLE DE VIE

 

Soit 10 personnes. Chaque année, une meurt et une vient au monde.

Au bout de 10 ans, la probabilité que l'une d'elles soit vivante est de 34, 868 %.

 

En effet

Au bout d'un an, la probabilité est 9/10.

Et, pour 10 ans, elle est (9/10)10 = 0,34868.

 

Voir Probabilité de la vie / Vie et mort

 

 

 

Suite

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