NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

 

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Historique

 

Sommaire de cette page

>>> Les cinq pièces de Dudeney

>>> Les deux pièces de d'Alembert

>>> Les quatre piles de suite !

>>> Pile ou face ou …

 

 

 

 

Elle c'est pile, et lui s'efface.

C'est au poil, il met la gomme.

Voir Pensées & humour

 

 

 

PILE ou FACE

 

Une décision à prendre, un choix à faire:

*    mille-feuille ou éclair au chocolat

*    mer ou montagne

 

Un bon moyen de s'en sortir consiste à jouer à PILE OU FACE. Effectivement, avec une pièce normale, les deux possibilités, pile et face, ont une PROBABILITÉ ÉGALE. C'est donc un bon moyen de trancher un différend à deux options.

 

Voici un bon moyen de décider, selon ma grand-mère: jouer votre choix à pile ou face. Si le hasard donne un choix que je regrette, je prends l'autre.

 

 

 

Les cinq PIÈCES de Dudeney

 

Les deux pièces

 

Avec cinq pièces lancées ensemble, quelle est la probabilité d'obtenir au mois quatre pièces du même côté.

 

Dénombrement.

 

Total des possibilités: 2 pour la première pièce, 2 pour la suivante … Au total: 2 x 2 x 2 x 2 x 2 = 25 = 32.

Parmi elles:

*       toutes les pièces sont piles: 1 cas

*       toutes les pièces sont faces: 1 cas

*       quatre pièces sont piles et l'autre face: 5 cas

*       quatre pièces sont faces et l'autre pile: 5 cas

*       soit 12 cas favorables (conforme à la demande de la question)

 

Probabilité

 

P = cas favorables / total des cas = 12 / 32 = 3 / 8.

 

 

 

Henri Dudeney (1857-1930)

Très tôt (avant 10 ans), il s'intéresse aux problèmes d'échecs et aux puzzles. Il les publie dans le journal local. Il étudie les maths et son histoire comme loisir. Il continue à publier des énigmes sous le pseudo de "Sphinx". Il correspond avec Sam Loyd. relation rompue lorsqu'il s'aperçoit que Loyd publie ses problèmes sous son nom. Ses ouvrages: Amusements in Mathematics, Puzzles and Curious Problems, A Puzzle Mine.

Contemporains

 

 

 

 

LES DEUX PIÈCES DE D'ALEMBERT

 

Les deux pièces

 

Si on lance deux pièces de monnaie, quelle est la probabilité de tirer face au moins une fois?

*       Le nombre de cas total est 4,

*       Le nombre de cas favorables est 3,

*       Probabilité: 3/4


 
Dénombrement

 

 

Historique

  

On lance une seule pièce, deux fois de suite (ce qui revient au même).

Ce problème fut posé par d'Alembert en 1754. Il raisonna ainsi:

*       premier lancement: pile, alors second lancement avec pile ou face;

*       ou, premier lancement: face et c'est tout.

*       soit 2 cas favorables sur 3 au total: probabilité: 2/3.

Erreur de raisonnement bien sûr! C'est le paradoxe de d'Alembert.

 

Ce cas est représentatif de nombreux cas subtils semblables ou voisins, dont le paradoxe des deux sœurs.

 

 

 

   

 

LES QUATRE PILES de suite !

 

Extraordinaire ou non ?

 

 

Le résultat de chaque lancé est indépendant des précédents.

La probabilité d'obtenir pile ou face lors d'un lancé quelconque est toujours de 1/2 même si on a déjà obtenu que des piles ou que des faces précédemment.

 

Avec plusieurs pièces, chaque pièce tombera sur pile ou sur face avec une probabilité de 1/2 pour chacune. Chaque pièce vit sa vie! Aucune influence de l'une sur l'autre. Il n'est pas improbable qu'elles tombent toutes sur face.

 

Probabilité d'obtenir quatre faces avec quatre pièces

 

 

La probabilité d'obtenir 4 faces de suite est:   (1/2)4 = 1/16

C'est aussi la probabilité d'obtenir 4 piles ou PFPF ou encore toute combinaison de 4 piles ou faces.

 

Illustration

 

Avec 4 pièces:

*    Chaque configuration est une possibilité parmi 16.

*    La succession de 4 faces n'est qu'une des configurations parmi d'autres.

 

Avec n pièces:

*    Chaque configuration est une possibilité parmi 2n.

*    La succession de n faces n'est qu'une des configurations parmi d'autres.

 

 

Au loto

*    Les successions

     1 2 3 4 5 6

ou 2 4 6 8 10

ou 1 2 4 8 16 32

     

ne sont chacune qu'une combinaison comme une autre, avec la même probabilité de sortir.

 

Incroyable!

Au jeu de pile ou face, nous avons une chance sur 8 de voir quatre fois le même côté de la pièce:

*    quatre piles avec une probabilité de 1/16 ou

*    quatre faces avec une probabilité de 1/16,

*    soit 1/8 pour l'un ou l'autre des événements. 

C'est beaucoup plus que ce que nous pensons généralement. Pour quelqu'un qui a l'habitude (prof de proba. par exemple), il est facile de reconnaître une suite de piles ou faces réelle par rapport à une suite qui serait imaginée par le cerveau d'un homme. Celui-ci se censurera dès qu'il verra une certaine continuité; il fera alterner les piles et les faces plus vite que le hasard ne le ferait.

 

 

Pile ou face?

Pour les numismates, pile est le revers de la pièce tandis que face est l'avers. Le côté pile indique la valeur de la pièce. En 781, Charlemagne fait frapper son monogramme, une croix, sur le revers. Puis, à partir de la renaissance, les souverains y font figurer leur portrait.

Les Anglais disent heads or tails, tête ou queue;

Les Allemands parlent de Kopf oder Zahl, tête ou nombre;

Les Espagnols, cara o cruz, face ou croix;

Les Italiens, testa o croce, tête ou croix.

Pascal utilisait l'expression: croix ou pile. Il prenait croix pour Dieu dans son célèbre pari.

 

 

 

 

Suite

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