NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

 

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Sommaire de cette page

>>> Approche

>>> Loi des grands nombres

>>> Écarts

>>> Historique

>>> Mouvement brownien

>>> Marche de l'ivrogne

 

 

 

 

Il y a les petits mensonges, les gros mensonges et les statistiques

Benjamin Disraeli – Premier ministre britannique

Voir Pensées & humour

 

 

 LOI des GRANDS NOMBRES

 

Que se passe-t-il lorsqu'on répète une expérience réputée livrée au hasard, un grand nombre de fois? Peut-on en tirer un enseignement?

Terme introduit par Poisson.

 

 

APPROCHE: pile ou face

*    La probabilité d'obtenir pile lors d'un lancer d'une pièce est 1/2. De même pour face.

*      encore en l'air, la pièce a autant de chance de tomber d'un côté ou de l'autre: probabilité 1/2,

*      mais, une fois tombée, sa valeur sera ou pile ou face, mais plus probabilité 1/2.

*      La symétrie de la situation en l'air est brisée lorsque la pièce est tombée

 

*    Si on répète l'expérience un grand nombre de fois, il est connu que le nombre de fois pile et égal au nombre de fois face. La fréquence d'apparition d'un cas ou de l'autre est égale à 1/2.

*    Il faut une grande quantité de lancers pour une obtenir ce résultat. On tend asymptotiquement la fréquence ½. La statistique n'est valable qu'avec une grande série d'événements.

Asymptotiquement  = on approche aussi près que l'on veut sans l'atteindre

 

 

LOI DES GRANDS NOMBRES

 

*    Elle exprime le fait que:

 

Si l'on répète un grand nombre de fois une même expérience aléatoire, qui a comme résultat une valeur numérique, alors la moyenne des résultats obtenus tend à se rapprocher  de l'espérance mathématique de l'expérience.

 

*    Espérance mathématique = une sorte de moyenne.

C'est la somme pondérée de tous les résultats possibles, chacun étant affecté d'un poids égal  à sa fréquence d'apparaître.

*    Aléatoire = qui tient du hasard.

 

Statistiques

*    La loi des grands nombres justifie les méthodes d'échantillonnage utilisées en statistique. C'est elle qui permet de savoir qu'à long terme un casino est toujours gagnant et d'estimer son bénéfice futur.

 

Macro et microscopique

*    La loi des grands nombres qualifie parfois des résultats qui prédisent le comportement déterministe au niveau macroscopique d'un système composé d'un grand nombre d'éléments microscopiques interagissant de manière complexe

C'est le cas en thermodynamique : pression, température

 

Anglais: law of large numbers (LLN)

 

 

ÉCARTS

 

*    La loi des grands nombres n'a qu'une valeur asymptotique. Lorsqu'on exécute un nombre fini d'expériences, il y a des écarts par rapport au comportement moyen attendu. On peut prévoir la répartition statistique de ces écarts.

 

Théorème de la limite centrale

 

 

L'écart dans la loi des grands nombres suit approximativement une loi gaussienne, une "courbe en cloche". La variance est proportionnelle à l'inverse du nombre d'expériences.

 

*    Variance = mesure de l'étalement de la courbe.

 

Voir Loi normale ou gaussienne

 

HISTORIQUE

 

*    La loi des grands nombres et le théorème de la limite centrale sont deux résultats fondamentaux du calcul des probabilités. Ils étaient connus dans leur principe dès le XVIIIe siècle.

*    Einstein en 1905, réussit à expliquer quantitativement le mouvement brownien par l'application de la loi des grands nombres.

*    Jean Perrin vérifie expérimentalement les résultats d'Einstein et en déduit le Nombre d'Avogadro (nombre d'atomes dans un gramme d'hydrogène). Associé aux travaux de Planck sur le corps noir, ces résultats contribuent à faire adopter de manière définitive la théorie atomique.

*    Norbert Wiener en  1920 démontre que les trajectoires du mouvement brownien mathématique sont

*      continues et

*      nulle part différentiables: à aucun moment, la vitesse ne peut être définie; les changements de direction sont trop rapides.

*    Le mouvement brownien ne peut pas être décrit par des équations différentielles (une invention de Newton et de Leibniz).

*    K. Itô dans les années 40 développe un calcul différentiel spécifique au mouvement brownien: le calcul stochastique.

 

 

 

 

MOUVEMENT BROWNIEN

*    Mouvement brownien, une sorte d'agitation aléatoire. Nommé d'après le botaniste Brown qui observait des particules de pollen à la surface de l'eau en 1827. Ce n'est qu'à la fin du XXe siècle que l'on donna la véritable explication. On commençait à comprendre la structure atomique de la matière.

 

Explication

*    Lorsqu'une particule solide est placée dans un fluide,  elle est soumise au bombardement incessant des molécules qui composent le fluide.

*    Ces molécules (10-7 µ) sont très petites par rapport à la particule (10-3 µ); par contre, elles sont en très grand nombre. Leur vitesse est isotrope, régulièrement répartie dans l'espace.

 

En vertu de la loi des grands nombres: l'impulsion sur la particule résultant des chocs des molécules est nulle.

 

*    Cela est vrai jusqu'à une certaine taille de la particule. Plus la particule est petite, moins elle subit de chocs et, plus elle est sensible aux écarts par rapport à la loi des grands nombres.

*    Les chocs cessent de se compenser exactement. Ils produisent des mouvements désordonnés, dont la direction change sans arrêt.

 

 

Einstein

 

*    Entre deux instants t et t', le déplacement de la particule brownienne est aléatoire. Il dépend d'une grandeur D propre à la particule: masse, diamètre viscosité; dont Einstein donne la formule de calcul. Il suit une loi gaussienne de variance :

 

v = D (t' – t)

 

*    Le déplacement de la particule est indépendant du chemin parcouru avant le temps t.

 

 

 

MARCHE DE L'IVROGNE et autres

*    Un ivrogne avance en titubant: tantôt il prend à droite; tantôt à gauche. Son avance n'est pas proportionnelle au temps écoulé mais à sa racine carrée.

 

*    On observe la même loi pour les erreurs dans les sondages d'opinion.

 

*    Dans un écoulement turbulent, la variation de vitesse n'est pas proportionnelle à la racine carrée, mais à la racine cubique. Loi prédite par Kolmogorov en 1941

 

*    Un écoulement turbulent présente des analogies avec le mouvement brownien.

D'après Philippe Biane & Uriel Frish - Conférences de juin 2000

 

 

 

Suite

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*        Loi équirépartie

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