NOMBRES - Curiosités, théorie et usages Accueil DicoNombre Rubriques Nouveautés Édition du: 29/08/2012 Orientation générale  DicoMot Math Atlas Références M'écrire Barre de recherche DicoCulture Index alphabétique
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TROIS ALGÈBRES

Réels / Complexes / Quaternions

APPROCHE

Les nombres réels sont nés du constat de l'existence des nombres irrationnels. Les nombres complexes résultent du besoin de trouver une réponse aux racines des nombres négatifs. Les quaternions sont le fruit d'une recherche généralisant dans l'espace, les propriétés des nombres complexes dans le plan. Peut-on encore généraliser dans un espace à n dimensions? Existe-t-il d'autres nombres, d'autres algèbres?

TROIS ALGÈBRES

Si on cherche des systèmes de nombres (dont le nombre de composante est fini) qui obéissent aux lois classiques telles que, addition et multiplication, alors

il n'y a que 3 sortes de nombres

(trois sortes d'algèbres)

Nombres réels	R
Nombres complexes	C
Quaternions	H

Cependant pour les quaternions, on a dû sacrifier la commutativité.

THÉORÈMES

Deux mathématiciens ont associé leur nom à ce sujet. Théorème de Frobenius (1849 – 1917) Tout corps K, contenant dans son centre le corps R et de dimension finie sur R, est isomorphe soit à R, soit à C, soit à H. Ou autrement dit: pas d'autres algèbres que réels, complexes ou quaternions. Théorème de Wedderburn (1882-1984) Tout corps fini est commutatif ou Toute algèbre à division finie est commutative. Pas étonnant que Hamilton n'ait pas trouvé un système à triplets. Il n'existe pas !

AUTRES ALGÈBRES

Dans la mesure où on abandonne certaines lois concernant les opérations sur les nombres, ou en prenant les nombres rationnels comme point de départ et non les nombres réels, on peut trouver d'autres systèmes de nombres:

Alternatives

Octavions

Groupe de Lie

Bilan selon Dott et John Milnor (1958)

Seules algèbres de dimension finie	1, 2, 4, 8
dont Associatives	R, C , H
et Alternative	O

Suite	Nombres cyclotomiques Complexe – Index
Voir	Identités remarquables Inventaire des types de nombres Nombre de Gauss Nombres – Glossaire et index Nombres réels
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