NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

 

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Complexes

 

Types de Nombres

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Complexes

Cyclotomique (1)

Cyclotomique (2)

 

Sommaire de cette page

>>> Solution générale

>>> Propriétés

>>> Valeurs

>>> Fonctions cyclotomiques

 

 

 

 

RACINES DE L'UNITÉ

& Polynômes cyclotomiques

 

Résolution générale de l'équation: zn = 1

 

<<< Voir Introduction

 

 

Solution générale

 

*    Équation à résoudre: racine de l'unité:

*    Or, l'unité a un module de 1 et un argument de 0°. Sa représentation trigonométrique est:

 

 

zn = 1

 

 

Car:

1 = cos(0) + i sin (0)

1 =    1       +    0

Rappel:

2 = 1 tour complet du cercle = 360°

 

*    En reprenant l'écriture pour trouver x:

 

Rappel: racine carrée est équivalent à puissance 1/2

x = { cos(2r) + i sin (2r) } 1/2

*    En utilisant la formule de De Moivre:

x = cos(2r / n) + i sin (2r / n)

*    Posons l'expression sans le r

                                                  Lire: oméga égal …

= cos(2 / n) + i sin (2 / n)

*    Alors, toutes les racines nièmes de 1 sont.

En utilisant la formule de De Moivre.

r avec r = 0, 1, 2, ..., n–1

 

 

Propriétés

 

*    La somme des racines nièmes de 1 est nulle:

*    Avec les puissances de 2:
  

 

 

 

Exemple pour n = 3

 

  1 + ( – 0,5 + 0,5 3 i  )  +          ( – 0,5 – 0,5 3 i  )  = 0

{ 2 – ( – 0,5 + 0,5 3 i  ) }  { 2 – ( – 0,5 – 0,5 3 i  ) } = 7 = 23 – 1

 

Exemple pour n = 4

 

                        1 + (– 1) + i  + (i) = 0

{ 2 – (–1) } { 2 – ( i ) } { 2 – ( i ) } = 5

 

 

 

Valeurs des racines nièmes de l'unité

 

1

1

 

 

2

1 , 1

 

 

3

1

0, 5  0, 8660254040 x I

 

4

1, 1,  I, I

 

 

 

5

1

  0, 3090169945  0, 9510565160 x I

- 0, 8090169945  0, 5877852520 x I

 

6

1, 1

 0, 5000000000  0, 8660254040 x I

 

7

1

cos(2/7 x Pi) + I x sin(2/7 x Pi)

- cos(3/7 x Pi) + I x sin(3/7 x Pi)

- cos(1/7 x Pi) + I x sin(1/7 x Pi)

- cos(1/7 x Pi) - I x sin(1/7 x Pi)

- cos(3/7 x Pi) - I x sin(3/7 x Pi)

cos(2/7 x Pi) - I x sin(2/7 x Pi)

1

0, 6234898018 + 0, 7818314825 x I

-0, 2225209335 + 0, 9749279123 x I

-0, 9009688678 + 0, 4338837393 x I

-0, 9009688678 - 0, 4338837393 x I

-0, 2225209335 - 0, 9749279123 x I

0, 6234898018 - 0, 7818314825 x I

 

8

1, -1,  i, - i

± 0, 7071067810 ± 0, 7071067810 x I

 

9

 1,

 0, 1736481778 ± 0, 9848077531 x I

 0, 5000000000 ± 0, 8660254040 x I

 0, 7660444430 ± 0, 6427876095 x I

-0, 9396926208 ± 0, 3420201435 x I

 

 

10

 1, -1

± 0, 3090169945 ± 0, 9510565160 x I

± 0, 8090169945 ± 0, 5877852520 x I

 

 

 

 

 

FONCTIONS CYCLOTOMIQUES

ou polynômes cyclotomiques

N

Les racines de ces équations sont les racines nièmes complexes de l'unité

1

x – 1

2

x + 1

3

x2 + x + 1

4

x2 + 1

5

x4 + x3 + x2 + x + 1

6

x2 – x + 1

7

x6 + x5 + x4 + x3 + x2 + x + 1

8

x4 + 1

9

x6 + x3 + 1

10

x^4 – x^3 + x^2 – x + 1                    Notation ^ pour puissance

11

x^10 + x^9 + x^8 + x^7 + x^6 + x^5 + x^4 + x^3 + x^2 + x + 1

12

x^4 – x^2 + 1

13

x^12 + x^11 + x^10 + x^9 + x^8 + x^7 + x^6 + x^5 + x^4 + x^3 + x^2 + x + 1

14

x^6 – x^5 + x^4 – x^3 + x^2 – x + 1

15

x^8 – x^7 + x^5 – x^4 + x^3 – x + 1

16

x^8 + 1

17

x^16 + x^15 + x^14 + x^13 + x^12 + x^11 + x^10 + x^9 + x^8 + x^7 + x^6 + x^5 + x^4 + x^3 + x^2 + x + 1

18

x^6 – x^3 + 1

19

x^18 + x^17 + x^16 + x^15 + x^14 + x^13 + x^12 + x^11 + x^10 + x^9 + x^8 + x^7 + x^6 + x^5 + x^4 + x^3 + x^2 + x + 1

20

x^8 – x^6 + x^4 – x^2 + 1

21

x^12 – x^11 + x^9 – x^8 + x^6 – x^4 + x^3 – x + 1

22

x^10 – x^9 + x^8 – x^7 + x^6 – x^5 + x^4 – x^3 + x^2 – x + 1

23

x^22 + x^21 + x^20 + x^19 + x^18 + x^17 + x^16 + x^15 + x^14 + x^13 + x^12 + x^11 + x^10 + x^9 + x^8 + x^7 + x^6 + x^5 + x^4 + x^3 + x^2 + x + 1

24

x^8 – x^4 + 1

25

x^20 + x^15 + x^10 + x^5 + 1

26

x^12 – x^11 + x^10 – x^9 + x^8 – x^7 + x^6 – x^5 + x^4 – x^3 + x^2 – x + 1

27

x^18 + x^9 + 1

28

x^12 – x^10 + x^8 – x^6 + x^4 – x^2 + 1

29

1 + x + x^3 + x^4 + x^2 + x^6 + x^5 + x^10 + x^9 + x^8 + x^7 + x^12 + x^11 + x^16 + x^15 + x^14 + x^13 + x^18 + x^17 + x^22 + x^21 + x^20 + x^19 + x^28 + x^26 + x^27 + x^25 + x^24 + x^23

30

x^8 + x^7 – x^5 – x^4 – x^3 + x + 1

 

 

 

 

 

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