NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

 

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Nombres complexes

 

Débutants

Complexes

Formules

 

Glossaire

Complexe

 

 

INDEX

 

Complexes

Formulaire

Euler

De Moivre

 

Sommaire de cette page

>>> De Moivre

>>> Déclinaison

>>> Propriétés

>>> Racines des complexes

 

 

 

 

Nombres complexes

RACINES

 

La forme polaire se prête aisément au calcul de la racine nième d'un nombre complexe.

 

Abraham de Moivre (1667 – 1754 / 87 ans)

Mathématicien français.

 

Pour des raisons religieuses, il est emprisonné (1685 à 1688), puis s'exile en Angleterre. Rappel: 1685 – révocation de l'édit de Nantes par Louis XIV. À Londres, il rencontre Halley et Newton, puis Leibniz.

 

Étant âgé, il déclare qu’il lui est nécessaire de dormir chaque nuit ¼ heure de plus que la nuit précédente. En calculant cette progression arithmétique, il en déduisit le jour de sa mort. Et, effectivement, la nuit dépassant les 24 heures, il est mort durant son sommeil !  Rapporté par David Wells.

 

La formule de Stirling pour calculer les grandes factorielles doit beaucoup à la formule initiale de De Moivre.

 

 

 FORMULE de MOIVRE et d'EULER

 

Formule de Moivre (vers 1730)

 

 

 

n étant un nombre entier

 

Note: parfois cos  + sin  est noté cis

 

Écriture avec parenthèses, si confusion possible

 

 

Écriture exponentielle

 


 

Formules d'Euler (Rappel)

 

 

La formule de De Moivre serait plutôt due à Euler (1748) qui l'a énoncée sans vraiment la démontrer.

 

 Voir Euler / Formule et identité d'Euler / Les quatre constantes / Trigonométrie / Exponentielle
Application a la linéarisation des fonctions trigonométriques

 

 

 

Déclinaison

z

=

r (cos  + i sin )

z n

=

r n ( cos n  + i  sin n )

(cos  + i sin  )n

=

cos (n ) + i sin (n )

ln z

=

ln r + i

=

(cos + i sin) ( cos' + i sin') = cos( + ') + i sin( + ')

 

La formule se démontre par récurrence en utilisant cette identité.

Voir Multiplication polaire

 

 

Propriétés

 

*    Si n est rationnel, une des valeurs de la puissance est

 

 

*    Si, de plus, n = p / q avec q positif et p et q premiers entre eux, alors cette puissance prend q valeurs distinctes, dont l'une est celle indiquée ci-dessus.

 

 

 

 

 

Racines des complexes

 

*    Soit un nombre complexe et son conjugué (exemple, la racine de 3 est là pour faire croire que c'est plus compliqué).

 

 

 

*    Comparez les racines cubiques de ces deux nombres. Que vaut leur somme.

 

 

*    Écrivons ces nombres sous la forme générique trigonométrique:

 

a = r (cos  + i sin )

b = r (cos  – i sin )

 

*    Leur racine cubique

 

 

 

Les racines  (comme les puissances) de nombres conjugués restent conjuguées. Leur somme est un nombre réel.

 

 

Pour information

*    Diverses formes:

*  complexe

*  numérique

*  trigonométrique (polaire)

*  puissance de i

 

 

   = 1  + 1, 732… i

 

*    Et sa racine cubique:

 

 

= 1,259921050…

             (0,9396926208… + 0,3420201433… i)

= 1,183938513… + 0,4309183781… i

 

 

 

 

Bilan

La formule de Moivre permet de calculer les valeurs des sinus et cosinus des multiples et fractions des angles.

Voir Formulaire de trigonométrie

 

 

 

 

 

 

Suite

*         Racines des nombres complexes – Calculs

*         Exponentiel

*         Calculs avec les complexes

*         Nombres complexes et racines de l'unité

*         Nombres complexesIndex

Voir

*         Constantes

*         Formule de Stirling et de De Moivre

*         Inventaire des types de nombres

*         Linéarisation: puissances des fonctions trigonométriques

*         NombresGlossaire et index

*         Nombres réels

*         OpérationsIndex

*         Vecteurs

Sites

*         De Moivre's identity – Wolfram MathWorld

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