NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

 

Accueil                           DicoNombre            Rubriques           Nouveautés      Édition du: 07/04/2019

Orientation générale        DicoMot Math          Atlas                   Références                     M'écrire

Barre de recherche          DicoCulture              Index alphabétique          Brèves de Maths                   

     

PARTITIONS

 

Débutants

Addition

Avec des CUBES

 

Glossaire

Addition

 

 

INDEX

 

Partitions

 

Partitions - Théorie

 

Jeux avec les nombres

 

Général

Trois cubes

 

Sommaire de cette page

>>> Le problème de la somme des trois cubes

>>> Historique et point en début 2019

>>> Quelques propriétés

>>> Anglais

 

 

 

 

Le problème de la somme des trois cubes

Répondre à la question:

 

Équation diophantienne

Tout nombre entier peut-il s’exprimer comme la somme de trois entiers relatifs élevés au cube ?

 

n = x3 + y3 + z3 ?

Il existe des cas impossibles bien identifiés

Ce sont les nombres en 9k + 4 ou 9k + 5 . 

Pour les autres, on pense que oui, et souvent plusieurs fois.

On conjecture même une infinité de fois.

Exemple

2 = 13 + 13

   = (–5)3 + (–6)3 + 73

   = (–24)3 + (–47)3 + 493

Voir Tableau pour les nombres de 1 à 100

 

 

Historique et point en début 2019

1825 -  Revue Ladies'diary par S. Ryley

Il énonce ce problème et propose une solution pour les nombres rationnels.

Problème résolu jusqu'à 100

Il existe 22 nombres impossibles.

Solution pour les 78 nombres possibles,

Sauf pour le nombre 42 encore non-trouvée.

En 1953, Louis Mordell (1888-1972), connu pour l'équation de Mordell: y² = x3 + k.

Traite ce problème.

En 1954, on connaissait

69 solutions jusqu'à 100.

Puis vinrent les ordinateurs.

En 1992, Roger Heath-Brown

Conjecture qu'il y a une infinité de solutions pour chacun des possibles.

Vers 2000, Noam Elkies (Harvard)

Algorithme  limitant la quantité de recherche

En 2015:

75 solutions connues

Manquent: 33, 42 et 74

En 2016, Sander Huisman  (ENS Lyon).

Solution pour n = 74

74 = (−284 650 292 555 885)3

            + 66 229 832 190 5563

          + 283 450 105 697 7273

En 2019, Andrew Booker (Bristol) développe un algorithme ciblé sur le nombre 33 et trouve une solution:

 

Idée de l'algorithme

Recherche de divisibilités

Solution pour n = 33

33 = 8 866 128 975 287 5283

   + (–8 778 405 442 862 239)3

   + (–2 736 111 468 807 040)3

 

=  (6,969… – 6,764… – 0,205…) 1047

 

Obtenue après trois jours de calculs sur un superordinateur

Pour les nombres jusqu'à 100:

Seul le nombre 42 résiste.

Pour les nombres jusqu'à 1 000:

Il reste 12 nombres sans solution: 42, 114, 165, 390, 579, 627, 633, 732, 795, 906, 921 et 975.

 

Tous ces nombres sont des multiples de 3.

 

 

Quelques propriétés

Tous les nombres sont

 

Somme des cubes de trois nombres rationnels.

Somme impossible pour 

n = 9k + 4 ou 9k + 5   >>>

Seules solution pur  n = 0

0 = a3 + (-a)3 + 03

Infinité de solutions pour n = 1

 

Pour a = 1: 93 – 63 – 83 = 729 – 216 – 512

 

Autre (grande) solution:

 

 

Infinité de solutions pour n = 2

 

Pour a = 1: 73 – 53 – 63 = 343 – 125 – 216

Deux solutions pour n = 3 (2019)

3 = 13 + 13 + 13 = 43 + 43 + (-5)3 = 128 – 125

Nombre 972

Huisman a trouvé 96 solutions.

Tous les nombres en multiple de 3 semblent conduire à

des solutions difficiles, impliquant de grands nombres.

Une solution et les autres …

Pour certains cas, passer d'une solution à la suivante nécessite de passer à des nombres plus d'un million de fois plus grands.

 

Exemples

24 = 23 + 23 + 23

     = (–10)3 + 83 + 83

      = (–15 550 555 555)3 + (15 584 139 827)3 + (–2 901 096 694)3

Savoir si on peut trouver un algorithme donnant toutes les solutions

est sans doute un problème indécidable.

 

 

English Corner

The question whether all  can be written as the sum of three cubes will likely remain an open question for many years to come.

Voir Anglais – Le bagage minimum

 

 

 

 

 

Retour

*      Nombres cubes

*      Partitions en cubes – Exemples

Suite

*      Conjecture d'Euler

*      Théorème de Fermat-Willes

*      Triplets de Pythagore

Voir

*      ConjectureGlossaire

*      EulerBiographie

*      Différence de carrés

*      Pépites

*      Pythagore et Fermat

*      Tables de nombres

Sites

*      Problème des 3 cubes : il n’en reste plus qu’un – Pour la Science

*      Andrew Booker résout le problème de la somme de trois cubes pour 33 avec vidéo Numberphile – NewsTrotteur

*      Sum of three cubes – Wikipedia

*      42 is the new 33 – Numberphile (video)

*      List of solutions of x^3 + y^3 + z^3 = k for k < 1000 par Huisman en 2016

*      Sums of Three Cubes* – A collection of Algebraic Identities

Cette page

http://villemin.gerard.free.fr/aMaths/Partition/PartCube.htm