NOMBRES – Curiosités, Théorie et Usages

 

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Sommaire de cette page

>>> Le problème de la somme des trois cubes

>>> Historique et point en début 2019

>>> Cas de 42 résolu en septembre 2019

>>> Quelques propriétés

>>> Anglais

 

 

N = x3 + y3 + z3

 

En 2020, toutes les solutions jusqu'à 113 sont connues.

Il existe encore dix nombres sans solution jusqu'à 1000.

  

 

Le problème de la somme des trois cubes

Répondre à la question:

 

Équation diophantienne

Tout nombre entier peut-il s’exprimer comme la somme de trois entiers relatifs élevés au cube ?

 

n = x3 + y3 + z3 ?

Il existe des cas impossibles bien identifiés

Ce sont les nombres en 9k + 4 ou 9k + 5 . 

Pour les autres, on pense que oui, et souvent plusieurs fois.

On conjecture même une infinité de fois.

Exemple

2 = 13 + 13

   = (–5)3 + (–6)3 + 73

   = (–24)3 + (–47)3 + 493

En septembre 2019

Désormais ils sont tous connus jusqu'à 100.

Voir Tableau pour les nombres de 1 à 100

 

 

Historique et point en début 2019

1825 -  Revue Ladies'diary par S. Ryley

Il énonce ce problème et propose une solution pour les nombres rationnels.

Problème résolu jusqu'à 100

Il existe 22 nombres impossibles.

Solution pour les 78 nombres possibles,

Sauf pour le nombre 42 encore non-trouvée.

En 1953, Louis Mordell (1888-1972), connu pour l'équation de Mordell: y² = x3 + k.

Traite ce problème.

En 1954, on connaissait

69 solutions jusqu'à 100.

Puis vinrent les ordinateurs.

En 1992, Roger Heath-Brown

Conjecture qu'il y a une infinité de solutions pour chacun des possibles.

Vers 2000, Noam Elkies (Harvard)

Algorithme  limitant la quantité de recherche

En 2015:

75 solutions connues

Manquent: 33, 42 et 74

En 2016, Sander Huisman  (ENS Lyon).

Solution pour n = 74

74 = (−284 650 292 555 885)3

            + 66 229 832 190 5563

          + 283 450 105 697 7273

En 2019, Andrew Booker (Bristol) développe un algorithme ciblé sur le nombre 33 et trouve une solution:

 

Idée de l'algorithme

Recherche de divisibilités

Solution pour n = 33

33 = 8 866 128 975 287 5283

   + (–8 778 405 442 862 239)3

   + (–2 736 111 468 807 040)3

 

=  (6,969… – 6,764… – 0,205…) 1047

 

Obtenue après trois jours de calculs sur un superordinateur

Pour les nombres jusqu'à 100:

Aucun nombre, y compris le nombre 42, ne résiste.

Pour les nombres jusqu'à 1 000:

Il reste 10 nombres sans solution: 114, 165, 390, 579, 627, 633, 732, 906, 921 et 975.

 

Tous ces nombres sont des multiples de 3.

 

Cas de 42 résolu en septembre 2019

 

En mi-2019, Andrew Booker (Bristol)  et Andrew Sutherland (MIT) ont résolu le cas 42 avec le même algorithme que pour 33.

Travail en partage de PC dans le monde ayant requis plus d'un million d'heures de calcul.

 

Solution pour n = 42

X = –80538738812075974

Y = 80435758145817515

Z = 12602123297335631

 

Pour mesurer l'exploit:

X3 = 522 413 599 036 979 150 280 966 144 853 653 247 149 764 362 110 424

= 5,22… 1050

Anglais

Mathematicians have finally figured out the three cubed numbers that add up to 42. This has settled a problem that has been pondered for 65 years: namely, can each of the natural numbers below 100 be expressed as the sum of three cubes?

Français

Les mathématiciens ont enfin trouvé les trois cubes dont la somme est égale à 42. Cette découverte a permis de résoudre un problème auquel on réfléchissait depuis 65 ans : à savoir, chacun des nombres naturels inférieurs à 100 peut-il être exprimé comme la somme de trois cubes ?

Prochain défi

Voir Anglais pour le bac  et pour les affaires 

 

 

Quelques propriétés

Tous les nombres sont

 

Somme des cubes de trois nombres rationnels.

Somme impossible pour 

n = 9k + 4 ou 9k + 5   >>>

Seules solution pur  n = 0

0 = a3 + (-a)3 + 03

Infinité de solutions pour n = 1

 

Pour a = 1: 93 – 63 – 83 = 729 – 216 – 512

 

Autre (grande) solution:

 

 

Infinité de solutions pour n = 2

 

Pour a = 1: 73 – 53 – 63 = 343 – 125 – 216

Deux solutions pour n = 3 (2019)

3 = 13 + 13 + 13 = 43 + 43 + (-5)3 = 128 – 125

Nombre 972

Huisman a trouvé 96 solutions.

Tous les nombres en multiple de 3 semblent conduire à

des solutions difficiles, impliquant de grands nombres.

Une solution et les autres …

Pour certains cas, passer d'une solution à la suivante nécessite de passer à des nombres plus d'un million de fois plus grands.

 

Exemples

24 = 23 + 23 + 23

     = (–10)3 + 83 + 83

      = (–15 550 555 555)3 + (15 584 139 827)3 + (–2 901 096 694)3

Savoir si on peut trouver un algorithme donnant toutes les solutions

est sans doute un problème indécidable.

 

 

English Corner

The question whether all  can be written as the sum of three cubes will likely remain an open question for many years to come.

Voir Anglais – Le bagage minimum

 

 

 

 

 

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Sites

*      Problème des 3 cubes : il n’en reste plus qu’un – Pour la Science

*      Andrew Booker résout le problème de la somme de trois cubes pour 33 avec vidéo Numberphile – NewsTrotteur

*      Sum of three cubes – Wikipedia

*      42 is the new 33 – Numberphile (video)

*      List of solutions of x^3 + y^3 + z^3 = k for k < 1000 par Huisman en 2016

*      Sums of Three Cubes* – A collection of Algebraic Identities

*      The mystery of 42 is solved – Numberphile

Cette page

http://villemin.gerard.free.fr/aMaths/Partition/PartCube.htm