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Édition du: 22/08/2021

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Brèves de Maths

 

INDEX

 

Théorie des nombres

Types de nombres

Formes quadratiques

Théorème des 15 (et 290)

Théorème de Lagrange

 

 

Théorème des 15 (et des 290)

 

Utilisation de polynômes du deuxième degré (quadratique) pour représenter tous les nombres. Quelles sont les conditions ? On sait aujourd'hui que si une forme quadratique représente seulement neuf nombres entiers particuliers, elle les représente tous.

 

Le théorème tient son nom du fait que le plus grand des neuf nombres est 15:

   

 

Sommaire de cette page

>>> Approche

>>> Forme quadratique et matrice représentative

>>> Définitions

>>> Théorèmes et propriétés

>>> Historique

>>> Anglais

 

Débutants

Nombres

 

Glossaire

Nombres

Voir Un résumé en Formes avec quatre carrés

 

 

Approche

haut

 

Forme quadratique simple

Une forme quadratique est une somme de termes de plusieurs variables dont le degré ne dépasse par 2.

 

La forme la plus simple et la plus connue est celle de Lagrange: a² + b² + c² + d².

 

Lagrange a démontré en 1770 que cette forme est représentative de tous les nombres. Autrement-dit: tout nombre est la somme de quatre carrés (au plus).

 

On peut représenter cette forme quadratique par une matrice (un tableau de nombres) avec sa diagonale desendante à 1 (Illustration)

 

 

Exemple

Le tableau montre comment atteindre tous les nombres jusqu'à 15 en sommant les carrés de 1 à 4  nombres.

 

Notez que cette relation permet d'atteindre les neuf nombres (en rouge) annoncés dans l'en-tête.

 

 

Matrice

 

a² + b² + c² + d²

 

Table de 1 à 15

 

 

Forme quadratique et matrice représentative

haut

 

Forme quadratique

On choisit par exemple:

représentée par la matrice à droite.

Cette matrice 4 x 4 est symétrique. Elle est dire entière, car elle ne contient que des nombres entiers.

 

La table montre les valeurs de a, b, c, et d pour obtenir les nombres de 1 à 15 avec cette relation quadratique. On n'a donné que les cas pour "a" le plus petit.

 

Idée du Théorème

En gros: si une relation quadratique marche pour les nombres de 1 à 15, elle marche pour tous les nombres.

 

Et même: si une relation quadratique marche pour les nombres {1, 2, 3, 5, 6, 7, 10, 14, 15}, elle marche pour tous les nombres.

 

La relation donnée en exemple, ainsi que la relation de Lagrange, sont capables de former tous les nombres entiers. Ce sont deux formes quadratiques universelles.

 

 

 

Matrice

 

 

Table de 1 à 15

 

Forme quadratique NON-universelle

On choisit par exemple:

 

Cette forme ne permet pas d'atteindre les nombres 2, 7 et 15. Elle n'est pas universelle.

 

Effectivement, il n'y a pas non plus: 55 et 60 dans la liste jusqu'à 100.

 

1, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 30, 31, 32, 33, 34, 35, 36, 37, 38, 39, 40, 41, 42, 43, 44, 45, 46, 47, 48, 49, 50, 51, 52, 53, 54, 56, 57, 58, 59, 61, 62, 63, 64, 65, 66, 67, 68, 69, 70, 71, 72, 73, 74, 75, 76, 77, 78, 79, 80, 81, 82, 83, 84, 85, 86, 87, 88, 89, 90, 91, 92, 93, 94, 95, 96, 97, 98, 99, 100

 

 

Notation

Comme en algèbre, les formes quadratiques génériques sont plutôt notées en x, y, z … Exemple : x² + y² + z² + t² + xy – yz + 5zt

 

Définitions

haut

 

 

Forme quadratique (FQ)

 

Polynôme homogène à plusieurs variables de degré 2. Les coefficients sont des nombres entiers positifs ou négatifs.

 

Exemples

Forme quadratiques notables

  

FQ positive universelle

LA FQ positive est universelle si elle représente tous les nombres entiers positifs.

La forme quadratique x² + y² + z² + t² est universelle (théorème de Lagrange).

 

Aucune forme quadratique binaire ou ternaire n'est universelle.

Mais, il existe trois formes ternaires représentant les nombres impairs: x² + y² + z² , x² + 2y² + 3z² , x² + 2y² + 4z²

FQ quaternaire

Avec quatre variables: {x, y, z, t}.

Matrice représentative (MR)

Tableau croisé des coefficients de la FQ.  Les coefficients des carrés (x², y², z² et t²) sont sur la diagonale descendante.

 

Matrice entière ou non

 

Les coefficients de la forme quadratique sont des nombres entiers.

La matrice représentative est, au choix, diagonale avec des fractions ou alors non-diagonale avec de valeurs entières.

Si toutes les valeurs sont des nombres entiers.

 

FQ quaternaire diagonale universelle

 

Les 54 formes quadratiques quaternaires diagonales universelles

Liste étable par Ramanujan en 1916 dont il faut retirer celle barrée de rouge.

 

 

Théorèmes et propriétés

haut

 

Théorème des 15 (faible)

 

 

Si une forme quadratique représente les nombres de 1 à 15, elle représente pour tous les nombres.

 

Théorème des 15 (fort)

 

Cas des matrices à nombres entiers (matrice entière).

Les coefficients de la forme sont alors pairs (cf. contribution de xy et yx par exemple).

 

Si une forme quadratique définie positive, dont la matrice est à coefficients entiers, représente les nombres {1, 2, 3, 5, 6, 7, 10, 14, 15}, alors, elle représente tous les entiers positifs.

 

Pour chacun de ces neuf nombres, il existe une forme qui marche pour tous les entiers positifs sauf lui. La propriété est donc optimale.

 

Il y a exactement 204 formes quadratiques quaternaires à matrice entière dont 54 sont diagonales.

 

Théorème des 290

 

Cas des coefficients en nombres entiers (matrice non-entière).

 

Si les coefficients de la forme sont des entiers sans que ce le soit nécessairement pour les valeurs de la matrice, alors le même type de théorème existe, mais avec la suite des 29 nombres: {1, 2, 3, 5, 6, 7, 10, 13, 14, 15, 17, 19, 21, 22, 23, 26, 29, 30, 31, 34, 35, 37, 42, 58, 93, 110, 145, 203, 290}.

 

Et, cette forme est optimale.

 

Il y a exactement 6 436 formes quadratiques quaternaires.

 

 

Nombres premiers

Théorème des 73

 

Même type de théorème avec la suite: {2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 67, 73}.

Tous les nombres premiers sont représentés.

 

Nombres impairs

Théorème des 33

 

Même type de théorème avec la suite: {1, 3, 5, 7, 11, 15, 33}.

Tous les nombres impairs sont représentés.

  

 

 

Historique

 

1770 – Lagrange prouve le théorème des quatre carrés. La forme quadratique: a² + b² + c² + d² est universelle (tout nombre est représenté par une somme de quatre carrés). EN 1772, Euler le démontre à son tour.
En 1830, Legendre publie: Théorie des Nombres. Il y développe la théorie des formes quadratiques binaires.

 

Legendre en 1798, puis Dirichlet en 1837 prouvent le théorème de la somme des trois carrés qui définit quels sont les nombres représentés par a² + b² + c².

 

Des mathématiciens tels que Gauss, Eisenstein et Dirichlet ont ouvert une nouvelle voie pour l'étude de la représentabilité de diverses formes, en introduisant les notions de genre et de nombres p-adiques, et en développant une approche analytique de la théorie.

Cependant, la classification des formes quadratiques universelles n'a pas été étudiée en profondeur jusqu'au vingtième siècle.

 

En 1916, Ramanujan montre quelles formes quadratiques quaternaires diagonales sont universelles et en donne une liste, point de départ pour une recherche exhaustive sur les formes quaternaires et au-delà. Contribution de Margaret Willerding en 1947.

 

En 1993, John Conway et William Schneeberger  découvrent le théorème des 15 et le démontre. Leur démonstration jugée complexe n'a pas été publiée.

En 2000, elle fut simplifiée par Manjul Bhargava (né en 1974), un élève d'Andrew Wiles, associé à Jonathan Hanke. Bhargava est à l'origine de nombreux autres théorèmes dans ce domaine.

En 2005, ils publient la preuve du théorème des 290.

EN 2014, Bhargava reçoit la médaille Fields pour son travail sur les formes quadratiques.

 

 

 

English corner

 

A quadratic form is a sum of products of variables, with each product comprising precisely two variables.

It is positive-definite if the result is a non-negative number, no matter what values the variables take.

In many cases such a quadratic form may be defined by a square, symmetric matrix and the fifteen theorem applies when this matrix has only integer entries (an integral matrix).

 

 

The 290-theorem, conjectured by Conway and Schneeberger and proved by Bhargava and Hanke, asserts that a positive definite quadratic form represents all numbers iff it represents the numbers in this sequence.

 

Lagrange started the theory of universal quadratic forms in 1770 by proving his celebrated Four Squares Theorem, which in current language is expressed by saying that the form x² + y² + z² + t² is universal.

   

Voir Anglais pour le bac  et pour les affaires 

 

 

 

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Livre

*      Dictionnaire de (presque) tous les nombres entiers – Daniel Lignon – ellipses – 2012 – page 284

Sites

*      Théorème des 15 – Wikipédia

*      15 and 290  theorems – Wikipedia

*      Universal Quadratic Forms and the Fifteen Theorem – J. H. Conway  / suivi de On the Conway-Schneeberger Fifteen Theorem – Manjul Bhargava (pdf)

*       Universal quadratic forms and the 290-Theorem – Manjul Bhargava et Jonathan Hanke (pdf)

*      OEIS A030050 - Numbers from the Conway-Schneeberger 15-theorem

*      OEIS A030051 - Numbers from the 290-theorem

*       OEIS A154360 - Numbers from Bhargava's prime-universality criterion theorem

*       OEIS A116582 - Numbers from Bhargava's 33 theorem

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