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Édition du: 22/08/2021 |
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INDEX |
Formes quadratiques |
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Théorème des 15 (et 290) |
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Théorème des 15 (et des 290) Utilisation
de polynômes du deuxième degré (quadratique)
pour représenter tous les nombres. Quelles sont les conditions ? On sait aujourd'hui
que si une forme quadratique représente seulement neuf nombres entiers particuliers,
elle les représente tous. Le
théorème tient son nom du fait que le plus grand des neuf nombres est 15:
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Sommaire de cette page >>> Approche >>> Forme quadratique et matrice représentative >>> Définitions >>> Théorèmes et propriétés >>> Historique >>> Anglais |
Débutants Glossaire |
Voir Un résumé en Formes
avec quatre carrés
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Forme quadratique simple Une forme quadratique
est une somme de termes de plusieurs variables dont le degré ne dépasse par
2. La forme la plus simple et la plus connue est celle
de Lagrange: a² + b² + c² + d². Lagrange a
démontré en 1770 que cette forme est représentative de tous les nombres.
Autrement-dit: tout nombre est la somme de quatre carrés (au plus). On peut représenter cette forme quadratique par
une matrice
(un tableau de nombres) avec sa diagonale desendante à 1 (Illustration) Exemple Le tableau montre comment atteindre tous les
nombres jusqu'à 15 en sommant les carrés de 1 à 4 nombres. Notez que cette
relation permet d'atteindre les neuf nombres (en rouge) annoncés dans
l'en-tête. |
Matrice
a² + b² +
c² + d² Table de 1 à 15
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Forme quadratique On choisit par exemple:
représentée par la matrice à droite. Cette matrice 4 x 4 est symétrique. Elle est dire
entière, car elle ne contient que des
nombres entiers. La table montre les valeurs de a, b, c, et d pour
obtenir les nombres de 1 à 15 avec cette relation quadratique. On n'a donné que
les cas pour "a" le plus petit. Idée du Théorème En gros: si une relation quadratique marche pour
les nombres de 1 à 15, elle marche pour tous les nombres. Et même: si une relation quadratique marche pour
les nombres {1, 2, 3, 5, 6, 7, 10, 14, 15}, elle marche pour tous les
nombres. La relation donnée en exemple, ainsi que la
relation de Lagrange, sont capables de former tous les nombres entiers. Ce
sont deux formes quadratiques universelles. |
Matrice
Table de 1 à 15
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Forme quadratique NON-universelle On choisit par exemple:
Cette forme ne permet pas d'atteindre les nombres
2, 7 et 15. Elle n'est pas universelle. Effectivement, il n'y a pas non plus: 55 et 60
dans la liste jusqu'à 100. |
1, 3, 4,
5, 6, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27,
28, 29, 30, 31, 32, 33, 34, 35, 36, 37, 38, 39, 40, 41, 42, 43, 44, 45, 46,
47, 48, 49, 50, 51, 52, 53, 54, 56, 57, 58, 59, 61, 62, 63, 64, 65, 66, 67,
68, 69, 70, 71, 72, 73, 74, 75, 76, 77, 78, 79, 80, 81, 82, 83, 84, 85, 86,
87, 88, 89, 90, 91, 92, 93, 94, 95, 96, 97, 98, 99, 100 |
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Notation
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Comme
en algèbre, les formes quadratiques génériques sont plutôt notées en x, y, z …
Exemple : x² + y² + z² + t² + xy – yz + 5zt |
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Forme quadratique (FQ) |
Polynôme homogène à plusieurs variables de degré
2. Les coefficients sont des nombres entiers positifs ou négatifs. Exemples
Forme quadratiques notables
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FQ positive universelle |
LA FQ positive est universelle si elle représente
tous les nombres entiers positifs. La forme quadratique x² + y² + z² + t² est
universelle (théorème
de Lagrange). Aucune forme quadratique binaire ou ternaire
n'est universelle. Mais, il existe trois formes ternaires représentant
les nombres impairs: x² + y² + z² , x² + 2y² + 3z² , x² + 2y² + 4z² |
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FQ quaternaire |
Avec quatre variables: {x, y, z, t}. |
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Matrice représentative (MR) |
Tableau croisé des coefficients de la FQ. Les coefficients des carrés (x², y², z² et
t²) sont sur la diagonale descendante. |
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Matrice entière ou non Les coefficients de la forme
quadratique sont des nombres entiers. La matrice représentative est,
au choix, diagonale avec des fractions ou alors non-diagonale avec de valeurs
entières. |
Si toutes les valeurs sont des nombres entiers.
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FQ quaternaire diagonale
universelle |
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Les 54 formes quadratiques quaternaires diagonales universelles
Liste étable par Ramanujan en 1916 dont il faut retirer celle
barrée de rouge.
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Théorème des 15 (faible) |
Si une forme quadratique représente les nombres
de 1 à 15, elle représente pour tous les nombres. |
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Théorème des 15 (fort) Cas des matrices
à nombres entiers (matrice entière). |
Si une forme quadratique définie positive, dont la
matrice est à coefficients entiers, représente les nombres {1, 2, 3, 5, 6, 7,
10, 14, 15},
alors, elle représente tous les entiers positifs. Pour chacun de ces neuf nombres, il existe une
forme qui marche pour tous les entiers positifs sauf lui. La propriété est
donc optimale. Il y a exactement 204
formes quadratiques quaternaires à matrice entière dont 54
sont diagonales. |
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Théorème des 290 Cas des coefficients
en nombres entiers (matrice non-entière). |
Si les coefficients de la forme sont des entiers
sans que ce le soit nécessairement pour les valeurs de la matrice, alors le
même type de théorème existe, mais avec la suite des 29 nombres: {1, 2, 3, 5,
6, 7, 10, 13, 14, 15, 17, 19, 21, 22, 23, 26, 29, 30, 31, 34, 35, 37, 42, 58,
93, 110, 145, 203, 290}. Et, cette forme est optimale. Il y a exactement 6 436
formes quadratiques quaternaires. |
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Nombres premiers Théorème des 73 |
Même type de théorème avec la suite: {2, 3, 5, 7,
11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 67, 73}. Tous les nombres premiers sont représentés. |
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Nombres impairs Théorème des 33 |
Même type de théorème avec la suite: {1, 3, 5, 7,
11, 15, 33}. Tous les nombres impairs sont représentés. |
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1770 – Lagrange
prouve le théorème des quatre
carrés. La forme quadratique: a² + b² + c² + d² est universelle (tout
nombre est représenté par une somme de quatre carrés). EN 1772, Euler le démontre à son tour. Legendre
en 1798, puis Dirichlet
en 1837 prouvent le théorème de la somme des trois
carrés qui définit quels sont les nombres représentés par a² + b² + c². Des mathématiciens tels que Gauss, Eisenstein et Dirichlet ont ouvert
une nouvelle voie pour l'étude de la représentabilité de diverses formes, en
introduisant les notions de genre et de nombres p-adiques,
et en développant une approche analytique de la théorie. Cependant, la classification des formes
quadratiques universelles n'a pas été étudiée en profondeur jusqu'au
vingtième siècle. En 1916, Ramanujan montre
quelles formes quadratiques quaternaires diagonales sont universelles et en
donne une liste, point de départ pour une recherche exhaustive sur les formes
quaternaires et au-delà. Contribution de Margaret Willerding en 1947. En 1993, John
Conway et William Schneeberger
découvrent le théorème des 15 et le démontre. Leur démonstration jugée
complexe n'a pas été publiée. En 2000, elle fut simplifiée par Manjul Bhargava (né en 1974), un
élève d'Andrew Wiles, associé à Jonathan Hanke. Bhargava est à l'origine de
nombreux autres théorèmes dans ce domaine. En 2005, ils publient la preuve du théorème des 290. EN 2014, Bhargava reçoit la médaille
Fields pour son travail sur les formes quadratiques. |
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A quadratic form is a sum of products of
variables, with each product comprising precisely two variables. It is positive-definite if the result is a
non-negative number, no matter what values the variables take. In many cases such a quadratic form may be
defined by a square, symmetric matrix and the fifteen
theorem applies when this matrix has only integer entries (an integral
matrix).
The 290-theorem,
conjectured by Conway and Schneeberger and proved by Bhargava and Hanke,
asserts that a positive definite quadratic form represents all numbers iff it
represents the numbers in this sequence. Lagrange started the theory of universal quadratic forms in 1770 by proving his
celebrated Four Squares Theorem, which in current language is expressed by
saying that the form x² + y² + z² + t² is universal. |
Voir
Anglais pour le bac et pour les affaires
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