NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

Accueil / Dictionnaire / Rubriques / Index / Atlas / Références /    Nouveautés

ORIENTATION GÉNÉRALE    -   M'écrire   -   Édition du: 15/02/2013

Débutants

Général

RUBRIQUE   Théorie des Nombres

Glossaire

Général

 

Théorème de Dirichlet

 

 

 

Introduction

Théorème

Application à Pi

Tableur

 

 

                   Sommaire de cette page

>>> Calcul d'une réduite de Pi

>>> Justification

>>> Dirichlet

>>> Réduite de Pi au 1/1000

 

 


 

 

Théorème de Dirichlet

Application au calcul des réduites de Pi

 

 

Méthode de calcul, et  explications avec Dirichlet.

 

 

 

Calcul d'une réduite de Pi

 

*      Quelle est la fraction optimale qui approche Pi avec un dénominateur inférieur ou égal à 10?

*      Voici une recette qui permet de calculer cette valeur, applicable dans le cas général de n'importe quel nombre irrationnel.

 

 

Nous le savons depuis longtemps, il s'agit de la fraction 22/7.

 

 

La méthode est basée sur le théorème de Dirichlet.

Première étape

*      Prendre la partie décimale des multiples de Pi.

*      Pour un dénominateur de 10, il faut les 11 multiples de k = 0 à k = 10.

*      Observons les dixièmes et notons les cas d'égalité de ces dixièmes:

*    égalité pour k = 1 et k = 8,

*    égalité pour k = 2 et k = 9, et

*    égalité pour k = 3 et k = 10.

 

           Pi =      3,141592654

           k          Partie décimale de k. Pi

           0         0

           1          0,141592654

           2         0,283185307

           3         0,424777961

           4         0,566370614

           5         0,707963268

           6         0,849555922

           7         0,991148575

           8         0,132741229

           9         0,274333882

           10        0,415926536

 

Seconde étape

*      Intéressons-nous au premier cas.

*      Le dénominateur de la fraction recherchée est égal à la différence entre les valeurs de k:

N = 8 – 1 = 7

*      Prenons maintenant la partie entière des deux multiples de Pi.

*    pour k = 1, le multiple de Pi vaut 3,14 …

*    pour k = 8, le multiple de Pi vaut 25,132 …

*      La différence des parties entières nous donne le numérateur de la fraction recherchée:

25 – 3 = 22

 

 

Voici les deux cas retenus (k = 1 et k = 8) avec la partie décimale des multiples et la valeur des multiples:

 

           1          0,141592654      3,141 …

           8         0,132741229    25,132…

 

Voici le calcul de la fraction (dite réduite) approximant Pi:

 

N = 25 – 3 = 22

D =   8 – 1 =   7

 

 

 

Les deux autres cas

 

*      Avec k = 2 et k = 9, on trouve évidemment la même valeur.

 

 

*      Avec k = 3 et k = 10, itou!

 

 

           2         0,283185307       6,28…

           9         0,274333882    28, 27…

N = 28 – 6= 22

D =   9 – 2 =  7

 

           3         0,424777961      9,42 …

           10        0,415926536     31,41 …

N = 31 – 9 = 22

D = 10 – 3 =  7

 

 

Élément de justification

 

*      Avec k = 1, la partie décimale est comprise entre 0 et le premier dixième.

*      C'est le cas aussi pour le huitième multiple de Pi; sa partie décimale est située dans le premier dixième.

 

 

*      Alors écrivons leur appartenance à cette première tranche de 1/10 au moyen d'une inégalité.

 

*      Avec la soustraction des inégalités; la plus grande moins la plus petite.

Attention, les inégalités sont subtiles: il faut inverser l'égalité soustraite!

 

 

*      On se souvient que la différence des parties entières vaut 22.

*      Passons en valeur absolue.

*      Si l'on divise tout par 7.

*      Ce qui veut dire que Pi est égal à 22/7 à moins de 1/70 près. En fait, nous faisons nettement mieux comme le montre les valeurs numérique.

La partie décimale est en fait égale au nombre auquel on retire sa partie entière:

0,1415… = 3,1415… - 3

Que l'on peut écrire:

0,1415… =  – []

Écrivons cette relation pour k = 8:

0,1327 … = 8x 8x[]

 

 

 

0,0012… < 0,014…

et 0,0012 = 1 /790

bien mieux que 1/70.

 

 

 

 

Et Dirichlet ?

 

*      Le théorème de Dirichlet est bien utile pour la raison suivante: il confirme qu'il y a toujours une solution à cette méthode.

*      En effet:

Lorsque nous calculons les multiples et que nous classons leurs parties décimales, il existera toujours deux valeurs placées dans la même tranche de dixième.
Ou, toute autre tranche que nous choisirions pour obtenir plus de précision.

 

Théorème général

Si  est un nombre irrationnel et M un nombre entier positif, alors il existe un rationnel p/q dont le dénominateur q est compris entre 1 et M et tel que

 

 

Théorème appliqué

Avec  et M = 10, alors il existe un rationnel p/q = 22/7 dont le dénominateur 7 est compris entre 1 et 10 et tel que

 

 

 

Réduite de Pi suivante

 

*      Si nous cherchons dans les centièmes nous retrouverons 22/7 tant la première réduite est "puissante".

*      Il nous faut aller fouiller dans les millièmes.

*      Avec un tableur, on calcule les 1001 multiples de Pi, et on trie tous nombres selon leur millième.

*      Lorsque deux millièmes sont égaux, bingo! On calcule la fraction.

*      Avec k = 121 et k = 8, nous trouvons la première égalité des millièmes, d'où la fraction:

 

*      Vous feriez le même calcul avec l'occurrence suivante: k = 114 et k = 1.

Millième des multiples de Pi

 

        k             k. Pi      millièmes ordonnés

        0             0,000             0,000

        106        333,009        0,009

        99          311,018        0,018

        92          289,027        0,027

        85          267,035        0,035

        78          245,044        0,044

        71          223,053        0,053

        64          201,062        0,062

        57          179,071        0,071

        50          157,080        0,080

        43          135,088        0,088

        36          113,097        0,097

        29          91,106          0,106

        22          69,115          0,115

        15          47,124          0,124

        121        380,133        0,133

        8             25,133          0,133

        114        358,142        0,142

        1             3,142             0,142

        107        336,150        0,150

        100        314,159        0,159

        93          292,168        0,168

 

 

L'écart donné par l'inéquation est 1/113000 = 8,8 10-6, alors que la réduite 355/113 s'écarte de Pi de 0,26 10-6

 

 

 


 

Suite

*           Théorème de Dirichlet

*           Valeurs de Pi

*           Lejeune-Dirichlet

*           Table des réduites de Pi

Voir

*           Dénombrement et tiroirs

*           Inventaire des outils mathématiques

Aussi

*           Compter - Index

*           Compter

*           Jeux

*           Factorielle et ses cousins

*           Jeux de hasard

*           Grenouilles

*           Probabilités

Livre

*           Tangente HS 39 – L'art du dénombrement – Avril 2010

Cette page

http://villemin.gerard.free.fr/aMaths/ThNb/ThDirEx.htm