NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

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ORIENTATION GÉNÉRALE    -   M'écrire   -   Édition du: 15/02/2013

Débutants

Général

RUBRIQUE   Théorie des Nombres

Glossaire

Général

 

Théorème de Dirichlet

 

 

 

Introduction

Théorème

Application à Pi

Tableur

 

 

Sommaire de cette page

>>> Multiples de Pi

>>> Question

>>> Autres exemples

 

 


 

 

 

Observation sur les multiples de Pi

comme approche au  

Théorème de Dirichlet

 

Quels sont les multiples de Pi qui s'approchent le plus près d'un entier?

 

 

 

Multiples de Pi

 

*      Nous allons calculer les 20 premiers multiples de Pi = 3,1415…

 

*      Nous noterons également la différence de ces valeurs avec le nombre entier le plus proche.
Dans le tableau ci-contre, l'écart absolu à l'entier le plus proche a été multiplié par 100.

 

*      Les courbes ci-après montrent le comportement des multiples de Pi et leur proximité d'un entier.

 

                  k            k . Pi          écart x 100

                  0            0,00           0,00

                  1            3,14           14,16

                  2            6,28           28,32

                  3            9,42           42,48

                  4            12,57         43,36

                  5            15,71         29,20

                  6            18,85         15,04

                  7            21,99         0,885

                  8            25,13         13,27

                  9            28,27         27,43

                  10          31,42         41,59

                  11          34,56         44,25

                  12          37,70         30,09

                  13          40,84         15,93

                  14          43,98         1,770

                  15          47,12         12,39

                  16          50,27         26,55

                  17          53,41         40,71

                  18          56,55         45,13

                  19          59,69         30,97

                  20          62,83         16,81

 

La courbe marron montre les multiples de Pi

La courbe verte les écarts absolus à l'entier le plus proche x 100

 

 

*      La courbe montre une première approche d'un nombre entier en 7.

*      Le multiple de Pi vaut alors pratiquement 22. Le tableau précise la valeur exacte: 21,99… et le calcul donne 21,991149…

Mettons en formule

Multiple

     7 x 3,1415… = 21,99149…

Écart

   22 – 21,99149… = 0,00885…

Écart x 100

                              0,885

 

 

 

Question

 

*      Nous venons de voir que 7 fois Pi est proche de l'entier 22.

*      Autrement dit Pi est proche de la fraction 22/7.

*      Comment trouver cette fraction simplement? Être sûr de ne pas passer à côté de l'une d'entre-elle?

C'est l'objet du théorème de Dirichlet, et de ses applications exposées dans les pages suivantes.

 

7 x 3,1415… = 21,99149…

7 x 3,1415…  22

7 x Pi  22

      Pi  22 / 7

 

 

 

Comment trouver p et q ?

 

 

Autre exemples

 

Pour e = 2, 71828 … la fraction qui se lit sur ce graphique est : 19/7 >>>

 

 

En prolongeant la courbe jusqu'à 100, on trouverait 193/71 = 2,7183…

 

 

 

 

Pour n = 1,23456789 … les fractions qui se lisent sur ce graphique sont:

                   5/4, puis 16/13 et encore mieux 21/17 = 1,235… >>>

 

 

En prolongeant la courbe jusqu'à 100, on trouverait 121/98 = 1,2346 …

Évidemment, dans ce cas, plus le numérateur sera proche de 12345… et plus le dénominateur sera proche d'une puissance de 10 et plus la fraction sera représentative du nombre initial.

 

 

 


 

Suite

*           Théorème de Dirichlet et réduites de Pi

*           Théorème de Dirichlet

*           Lejeune-Dirichlet

Voir

*           Dénombrement et tiroirs

*           Inventaire des outils mathématiques

*           Nombre cycliques

*           Fractions

Aussi

*           Compter - Index

*           Compter

*           Jeux

*           Factorielle et ses cousins

*           Jeux de hasard

*           Grenouilles

*           Probabilités

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