NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

 

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Constante

 

Débutants

Constante PI

Généralités

 

Glossaire

PI

 

 

INDEX

Constante PI

 

Introduction

Calcul

Formules

Propriétés

Historique

Valeur

Décimales

Curiosités

 

Sommaire de cette page

>>> Valeurs

>>> Codage

>>> Formules impliquant Pi

>>> Formules avec Pi, Phi ou e

>>> Pi et nombres e Fibonacci

>>> Nièmes chiffres de Pi

>>> Pi un nombre presque entier?

 

 

 

Amusement: nombres coussins

 

P1030981

 

Deux constantes remarquables, qui nous offrent des analogies:

*        Coïncidence de 1414 et 1415.

*        Chacune est composée d'une succession de deux chiffres 41/42 et 14/15;

*        Elles n'utilisent que les chiffres de 1 à 5;

 

Voir Racine de 2

 

 

 

 

VALEUR DE

 

 

Cent premières décimales de Pi

 

 

Voir Mnémotechnique

Trois Glorieuses

3, 14159 26535 89793 23846

26433 83279 50288 41971

 69399 37510 58209 74944

59230 78164 06286 20899

86280 34825 34211 70679

                >>>

 

Bonne approximation

 

Construction

 

Voir Réduites de Pi

 

  355 / 113 = 3,141 592 9

 

Nombres impairs doublés : 11 33 55

Les trois derniers divisés par les trois premiers: 355 / 113.

Anglais: Pi value to 100 decimal places

 

Expression habituelle pour la valeur de Pi

Pourquoi dit-on: Pi égal trois, quatorze cent seize?

*    D'abord il s'agit d'une approximation (légitime):  

*    Ensuite, un usage (ancien) veut que les premiers milliers se disent indifféremment: mille-quatre-cent-seize ou quatorze cents seize.

*    Enfin, pour cette phrase mnémonique, on omet de nommer la virgule tout en la marquant par un temps d'arrêt à l'oral.

 

Il est préférable de dire: Pi égal trois virgule mille-quatre-cent-seize ou d'énoncer les décimales une à une ou par blocs de deux: Pi égal trois virgule quatorze, quinze, quatre-vingt-douze, etc.

Charade

Mon premier: bièvre qui travaille debout;

Mon deuxième: bièvre qui travaille debout;

Mon troisième: bièvre qui travaille debout;

Mon tout: une constante mathématique bien connue.

Réponse: trois castors sans chaise.

Bièvre, ancien nom du castor; encore connu par le nom de localités comme la vallée de la Bièvre (Guyancourt – Yvelines).

Voir Écrire les nombres en lettres / Jeux de mots

 

 

Définition de mots croisés: chiffre rond.

Réponse : PI

Rond fait référence au cercle dont Pi est une constante.

Voir Mots croisés / Humour

 

 

 

VALEURS

 

VALEURS COMPARÉES DE  

par ses APPROXIMATIONS rationnelles et algébriques

 

Nd = Nombre de décimales 

 

 

Nd

Approximation

Valeur

Écart ........Pour

An

Qui

0

 

3

0,1

1

 

Bible

0

2  (nombre d'or)

3,2

-0,1

1

 

 

1

 

3,1

4,2

100

100

Chine

1

10

3,162

-2,1

100

600 

 Inde

1

(4 / 3)4

3,160

-1,9

100

-1 650

Papyrus Rhind

1

142 / 45

3,156

-1,4

100

250

Chine

 

2

 2 +  3

3,146

-4,7

1 000

 

 

2

4 /

3,145

-3,0

1 000

 

 Voir

 Rectangle de Kepler

2

3,14

3,14

1,6

1 000

 

 

2

22 / 7

3,142

-1,3

1 000

 

 

 

3

 

3,141

5,9

10 000

 

 

3

(3  + 3 ) / 2

 

3,1419

-2,6

10 000

-250

Archimède

3

864 / 275

3,1418

-2,3

10 000

1 220

Fibonacci

3

311/3

3,14138

2,1

10 000

3

9,8684

3,1414

1,9

10 000

530

Inde  >>>

3

(2.e3 +e8)1/7

3,14172

-1,3

10 000

 

Castellanos

3

3,1417

3,1417

-1,1

10 000

-100

Ptolémé

3

3 + 8/60 + 30/3600

3,14167

-0,7

10 000

-100

Ptolémé

3

9/5 + 9/5

3,14164

-0,7

10 000

1600

Hobbes, Ramanujan

3

211 875 / 67 441

3,14163

-42,3

1 000 000

-250

Archimède

3

 

3,1416

-7,3

1 000 000

263

Chine

3

62 832 / 20 000

3,14160

-7,3

1 000 000

530

Inde

 

4

333 / 106

3,14150

8,3

100 000

4

3,14165

6,3

100 000

Voir approximations avec les nombres de Fibonacci

4

(553 / (331 + 1) )²

3,14153

6,2

100 000

 

4

(40/3 – 23)

3,14153 3

5,9

100 000

 Kochansky

4

437/23

3,14153 9

5,3

100 000

4

3061/5

3,14155 2

4,0

100 000

4

3,14163 2

3,9

100 000

2008

Schneider

5

( (663 + 862) / 552)2

3,14159 7

56,5

10 000 000

6

3,14159 2

6,5

10 000 000

6

3 + 1/8 + 1/61 + 1/5020

3,14159 26 4

Fractions unitaires

6

355 / 113

3,14159 29

-2,7

10 000 000

450

Chine

6

1,09999901 x 1,19999911 x

1,39999961 x 1,69999961

3,14159 2557

0,8

10 000 000

6

167/80 + 10 / 3

3,14159 255

1,0

10 000 000

6

99²  / 1103 x 1/ 2

3,14159 273

-0,8

10 000 000

7

2 +  (1 + (413/750)² )

3,14159 26497

38,0

10 000 000 000

8

(102 – 2222/22²)1/4

3,14159 26526

-9,0

10 000 000 000

Ramanujan

8

(77729 / 254)1/5

3,14159 26541

6,0

10 000 000 000

Castellanos

9

3,14159 2653

-5,9

10 000 000 000

9

103 993 / 33 102

3,14159 26530 1

-5,8

10 000 000 000

Euler

9

63/25 ((17+155)/(7+155))

3,14159 26538 0

0,3

10 000 000 000

Ramanujan

 

 

10

3,14159 26535

9,0

100 000 000 000

1 579

Viète

14

355 / 113 (1 – 0,0003/3533)

3,14159 26535 89794 3

Ramanujan

15

3,14159 26535 89793

/

104 384 / 33 215

Développées

de Pi

Etc.

/

208 341 / 66 317

/

312 689 / 99 532

15

Polygones

Nb de côtés:

100 000 000

1 593

Romanus

35

Polygones

Nb de côtés:

32 000 000 000

1 610

Ceulen

72

Série

Arc tangente

1 699

Sharp

100

1 706

  

Valeurs de Srinivasa Ramanujan (le "Euler" Indien)

 

=  

= 3,14159265258266

2,52  x

1,24666375151019

= 3.14159265380568

= 9801 / 1103

= 8,885766092

 = 3,14159265358979

écart = 0,100 10-8

 = 3,14159265358979

 écart = 0,216 10-9

écart = 0,216 10-6

Voir Euler / Ramanujan

 

 

CODAGE

Pi en base 2

= 11, 0010 0100 0011 1111 0110 1010 1000 1000 1000

          0101 1010 0011 0000 1000 1101 0011 0001 0011

          0001 1001 1000 1010 0010 1110 00 … (100 chiffres)

Pi en virgule flottante

= 0 10000000 10010010000111111011011

 

Voir Pi en base 4 et humour

 

 

FORMULE IMPLIQUANT Pi – Exemples

 ² / 6 =

1,6449

*    Somme des inverses des carrés (1/n²).

Voir Formules d'Euler / Fonction zêta

6 /  ² =

0,6079

*    Probabilité que 2 nombres pris au hasard soient premiers entre eux.

( – 2) / 4 =

0,2853…

*    Probabilité de former un triangle obtusangle.

Suite en Formules

 

 

Pi avec Pi, Phi et e

3,140968877…

*    Écart avec Pi = 0,000623777…

3,142191833…

*    Écart avec Pi = 0,00059918…

3,141640783…

*    Écart avec Pi = 0,000048129…

3,141577387…

*    Écart avec Pi = 0,000015266…

3,141598280…

*    Écart avec Pi = 0,000005626…

Due à Michele Fanelli

2,71828180861191…

*    Écart avec e = 1,98 10-8

Due à Castellanos

 

Pi et nombres de Fibonacci

On cherche une approximation de Pi avec la racine énième des nombres de Fibonacci, ou encore avec somme ou produit de deux nombres de Fibonacci.

 

= 31,41648784…

EPi = 0,0000561…

Approximation due à Joseph-Claude Barbier – 2017

Coquetterie avec les nombres 26, 27 et 28.

= 3,141540909…

EPi = 0,0000517…

Avec Fn + Fn+2 : pas mieux jusqu'à F1000   et jusqu'à racine 1/100

Avec Fn + Fn+1 : même ordre de grandeur de l'écart pour racine 44e et 91e. Peu d'intérêt.

= 31,41655614…

EPi = 0,0000629…

= 314166,6054…

EPi = 0,0000734…

Avec Fn seul: pas mieux jusqu'à F1000   et jusqu'à racine 1/100

= 3,138844959…

EPi = 0,00274…

= 3,142439963…

EPi = 0,000847…

 

Rappel liant les deux approximations ci-dessus notées en jaune:

F16 2 = F15 x F17 – 1

987² = 974 169 = 610 x 1597 – 1  

= 31,41656421…

EPi = 0,0000637…

 

Approximation due à Joseph-Claude Barbier – 2017

Avec Fn x Fn+1  (successifs)

Avec Fn x Fn+2 (les pairs ou les impairs)

Pas mieux jusqu'à F1000   

et jusqu'à racine 1/100

Ces approximations sont le fruit du hasard des nombres.

On aurait pu chercher une explication du côté du rapport entre nombres de Fibonacci qui se rapprochent du nombre d'or pour les grands nombres:

et notre produit:

Cependant, rien de particulier avec sa racine énième. en rapport avec Pi.

Voir Nombre 987

 

 

Formule pannumérique de Plouffe  et Ed Pegg Jr, indépendamment

 

Pangramme numérique

= 3,1415926539165017461…

Écart avec Pi = 3,26 10-10

Note: le 0 peut être introduit comme exposant

du 1 ou simplement ajouté à la formule.

Anglais: pandigital approximation to Pi

 

 

Nièmes CHIFFRES de PI

 

Algorithme de Bailey-Borwein-Plouffe – 1995

 

David Bailey, Peter Borweinet et Simon Plouffe ont calculé les chiffres de Pi  au 10 milliardième rang, mais en hexadécimal (en fait base 2 ou base 2n). Travaux réalisés sur ordinateur en utilisant un langage formel
(manipulation de formules et non de chiffres).

 

La formule utilisée permet de calculer un chiffre de rang quelconque sans connaître les précédents. Personne ne supposait qu'il était possible de construire de tels algorithmes. On ne connaît pas l'algorithme permettant de faire la même chose en décimal.

 

 Formule

 

 

Ce que donne cette formule

 

Voir Limite de calcul des décimales de Pi

 

 

Point de Feynman: Pi un nombre presque entier?

Richard Feynman (1918-1988) aimait réciter les décimales de Pi en s'arrêtant à cette séquence de six 9 de suite tout en disant etcétéra. Le premier de ces 9 se trouve à la 762e décimale.

 

3.

1415926535 8979323846 2643383279 5028841971 6939937510 5820974944 5923078164 0628620899 8628034825 3421170679

8214808651 3282306647 0938446095 5058223172 5359408128 4811174502 8410270193 8521105559 6446229489 5493038196

4428810975 6659334461 2847564823 3786783165 2712019091 4564856692 3460348610 4543266482 1339360726 0249141273

7245870066 0631558817 4881520920 9628292540 9171536436 7892590360 0113305305 4882046652 1384146951 9415116094

3305727036 5759591953 0921861173 8193261179 3105118548 0744623799 6274956735 1885752724 8912279381 8301194912

9833673362 4406566430 8602139494 6395224737 1907021798 6094370277 0539217176 2931767523 8467481846 7669405132

0005681271 4526356082 7785771342 7577896091 7363717872 1468440901 2249534301 4654958537 1050792279 6892589235

4201995611 2129021960 8640344181 5981362977 4771309960 5187072113 4999999…

 

Suite pour atteindre 1000  décimales

                                                                                                                              4999999837 2978049951 0597317328 1609631859 5024459455 3469083026 4252230825 3344685035 2619311881 7101000313 7838752886 5875332083 8142061717 7669147303 5982534904 2875546873 1159562863 8823537875 9375195778 1857780532 1712268066 1300192787 6611195909 2164201989

Voir Nombres presque-entiers

 

 

En 2004, Daniel Tammet (1979-) récite  22 514 décimales de Pi en 5 heures, 9 minutes et 24 secondes, soit 0,8 s par chiffre. Il avait mis trois mois à les apprendre.

 

 

 

 

 

Suite

*  Décimales de Pi

*  Historique du calcul de Pi

*  Réduites de Pi - Calculs

*  Approximations de Pi par des racines

*  Approximations de Pi avec la suite de Farey

Voir

*  Arc tangente

*  Calcul mentalIndex

*  Cercle

*  Constantes Mathématiques

*  FractionGlossaire

*  GéométrieIndex

*  PiGlossaire

*  Quadrature du cercle

*  Rubick's cube

*  Théorie des nombresIndex

DicoNombre

*  Nombre 3,14

Site

*  Pi Approximations – Wolfram MathWorld

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