NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

 

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Fractions / Réduites

 

Glossaire

Général

 

 

INDEX

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Principales constantes

 Autres fractions continues

 

Sommaire de cette page

>>> Racine de 2

>>> Racine de 3

>>> Constante Pi

>>> Constante e

>>> Nombre d'or – Phi

 

 

 

 

RÉDUITES ou

Fractions d'approximation des constantes

 

Tout nombre irrationnel peut être exprimé par une fraction continue. En ne retenant que les n premiers termes, la fraction obtenue est une bonne approximation du nombre. La fraction correspondant à ce développement partiel de la fraction continue est dite "réduite" de n.

 

Efficacité

La réduite est une fraction "efficace". Par exemple, pour racine de 2 avec trois chiffres, on obtient: 239 / 169 = 1, 4142… soit cinq chiffres significatifs alors que la fraction évidente à trois chiffres: 141 / 100 ne donne que trois chiffres significatifs. On montre que les réduites obtenues avec la fraction continue sont les plus "efficaces" (ou optimales). Elles encadrent au mieux la valeur du nombre représenté. Il n'y a pas de fractions plus optimales avec la même quantité de chiffres.

Voir Calcul avec le théorème de Dirichlet / Nombres de Lagrange

 

 

 

Racine de 2

 

Fraction continue: [1, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, ...]

 

 

Voir Racine de 2

 

 

Racine de 3

 

Fraction continue: [1, 1, 2, 1, 2, 1, 2, 1, 2, 1, 2, 1, 2, 1, 2, 1, 2, 1, 2, 1, 2, 1, 2, 1, 2, 1, ...]

 



Voir Racine de 3

 

 

Constante PI

 

Fraction continue: [3, 7, 15, 1, 292, 1, 1, 1, 2, 1, 3, 1, 14, 2, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 1, 84, 2, 1, 1, 15, ...]

 

Voir Constante Pi

 

 

Constante e = exp(1)

 

Fraction continue: [2, 1, 2, 1, 1, 4, 1, 1, 6, 1, 1, 8, 1, 1, 10, 1, 1, 12, 1, 1, 14, 1, 1, 16, 1, 1, ...]

 

Voir Calcul des réduites de e

 

 

NOMBRE D'OR – PHI

 

Fraction continue: [1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, ...]

 


 

Voir Nombre d'or

 

 

 

 

Voir

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*    Constantes

*    Équations de Pell-Fermat

*    Fractions continues

*    Fraction pour nombres prériodiques

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