NOMBRES - Curiosités, théorie et usages Accueil DicoNombre Rubriques Nouveautés Édition du: 07/02/2023 Orientation générale  DicoMot Math Atlas Actualités M'écrire Barre de recherche DicoCulture Index alphabétique Références Brèves de Maths
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	Sommaire de cette page Partie 1 >>> Approche >>> Preuve que la somme des impairs est un carré >>> Impairs, carrés et cubes >>> Somme de k nombres impairs >>> Somme des k suivants >>> Inverses des impairs alternés Partie 2 >>> Somme des impairs & carrés et cubes >>> Relations entre impairs, carrés et cubes Partie 3 >>> Cube somme d'impairs >>> Cube différence de carrés

SOMME DES ENTIERS IMPAIRS

Somme des nombres impairs jusqu'à 2n – 1 = carré de n

D'une manière générale, les impairs entretiennent des relations particulières avec les carrés et les cubes.

Exemples:

1 + 3 + 5 = 3 ²

7 + 9 + 11 = 3 ³

La somme des impairs jusqu'à n est égale à

la demi-somme des extrêmes au carré.

Devinette

Quelle est la valeur de cette fraction ? Pourquoi ?

Solution

Approche
Formons la suite des nombres impairs et tentons de les regrouper par deux en prenant les plus éloignés. Les couples se forment. En sommant n tels nombres, nous obtenons n². Le carré de n est égal à la somme des n premiers impairs.

Preuve géométrique que la somme des impairs est un carré
Exemple1: 1 (rouge) + 3 (vert) + 5 (bleu) = 3² (carré de côté 3). Le nombre au carré est (1 + 5) / 2 = 3. Exemple2: 1 + 3 + 5 + … + 15 = 8² 8 = (1 + 15) / 2

Voir Somme des impairs (autre présentation)

IMPAIRS, CARRÉS ET CUBES

Calculons donc la somme des impairs consécutifs. Extraordinaire ! Suite Autre présentation Suite Théorèmes La somme des k nombres impairs consécutifs est un carré. Le carré de k est égal à la somme des k premiers impairs. Suite La somme des k nombres impairs suivants k nombres impairs est égale à 3 k². Suite La somme de certains impairs consécutifs est un cube. Le cube d'un nombre k est la somme des nombres impairs de k² - k + 1 à k² + k – 1. Suite Le cube d'un nombre k est la différence des carrés des nombres 1/2 (k²+ k) et 1/2 (k²- k). Suite

SOMME des NOMBRES IMPAIRS

Observation: la somme des nombres impairs successifs est un carré Illustration: les trois origines du terme au carré. Remarque: La somme est le carré du terme central, ou de la demi-somme des termes centraux dans le cas d'une quantité paire de termes. Notation Le nombre impair de rang k est égal à n = 2k – 1. Théorème La somme de tous les impairs consécutifs de 1 jusqu'au rang n = 2k – 1 est un carré égal à k². Simpair = 1 + 3 + 5 + … + (2k-1) = k² Simpair = 1 + 3 + 5 + … + n = ¼ (n+1)² Exemples La somme des 100 premiers impairs (k = 100) de 1 à 2x100 – 1 = 199 est égale à 100² = 10 000. La somme des nombres impairs de 1 à 99 (n = 99) est égale à ¼ (99+1)² = ¼ 10 000 = 2 500. Suite

Démonstration
La démonstration consiste à simplement faire le calcul de la somme. Chaque nombre impair est mis sous sa forme générique en 2k-1. Puis, nous utiliserons lé résultat connu donnant la somme des entiers de 1 à k qui vaut ½ k (k+1). Voici le calcul:

Voir Démonstration par induction (ou récurrence)

Somme des k suivants k impairs
Théorème La somme des k nombres impairs suivants k nombres impairs est égale à 3 k². Exemple Démonstration Application Fraction toujours égale à 1/3 Généralisation La propriété se prolonge pour les tranches suivantes:

Somme alternée des INVERSES des IMPAIRS
Théorème La somme des inverses de tous les impairs consécutifs avec signe alterné converge vers Pi / 4. S = 1 – 1/3 + 1/5 – … = / 4 = 0,785… Suite très lentement convergence

Devinette – Solution

Valeur de la fraction

On a aussi

Littéralement, avec: somme des impairs égale carré.

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Voir	Carrés Constantes Cubes Isopérimètre Nombres consécutifs Index Pairs et impairs Tautochronie Théorèmes
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