NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

 

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Sommaire de cette page

Partie 1

>>> Approche

>>> Preuve que la somme des impairs est un carré

>>> Impairs, carrés et cubes

>>> Somme de k nombres impairs

>>> Somme des k suivants

>>> Inverses des impairs alternés

Partie 2

>>> Somme des impairs & carrés et cubes

>>> Relations entre impairs, carrés et cubes

Partie 3

>>> Cube somme d'impairs

>>> Cube différence de carrés

 

 

 

 

 

SOMME DES ENTIERS IMPAIRS

 

Somme des nombres impairs jusqu'à 2n – 1 = carré de n

 

D'une manière générale, les impairs entretiennent des relations particulières avec les carrés et les cubes.

 

Exemples:

1 + 3 +   5 = 3 2

7 + 9 + 11 = 3 3

La somme des impairs jusqu'à n est égale à

la demi-somme des extrêmes au carré.

 

 

Approche

 

*      Formons la suite des nombres impairs et tentons de les regrouper par deux en prenant les plus éloignés. Les couples se forment.

*      En sommant n tels nombres, nous obtenons .

 

*      Le carré de n est égal à la somme des n premiers impairs.

 

 

 

Preuve géométrique

que la somme des impairs est un carré

 

 

Exemple1: 1 (rouge) + 3 (vert) + 5 (bleu) = 3² (carré de côté 3).

   Le nombre au carré est (1 + 5) / 2 = 3.

 

Exemple2: 1 + 3 + 5 + … + 15 = 8²

                                                   8 =  (1 + 15) / 2

 

Voir Somme des impairs (autre présentation)

 

 

 

IMPAIRS, CARRÉS ET CUBES

 

*      Calculons donc la somme des impairs consécutifs. Extraordinaire !

 

Suite

 

Autre présentation

 

Suite

 

Théorèmes

 

La somme des k nombres impairs consécutifs est un carré.

Le carré de k est égal à la somme des k premiers impairs.

Suite

 

La somme des k nombres impairs suivants k nombres impairs est égale à 3 k².

Suite

 

 

La somme de certains impairs consécutifs est un cube.

Le cube d'un nombre k est la somme des nombres impairs de k² - k + 1 à k² + k – 1.

Suite

 

 

Le cube d'un nombre k est la différence des carrés des nombres 1/2 (k²+ k) et 1/2 (k²- k).

Suite

 

 

 

 

SOMME des NOMBRES IMPAIRS

 

Illustration: les trois origines du terme au carré.

 

 

Remarque: La somme est le carré du terme central, ou de la demi-somme des termes centraux dans le cas d'une quantité paire de termes.

 

Notation

Le nombre impair de rang k est égal à n = 2k – 1.

 

Théorème

 

La somme de tous les impairs consécutifs de 1 jusqu'au rang n = 2k – 1 est un carré égal à k².

 

Simpair = 1 + 3 + 5 + … + (2k-1) =       

Simpair = 1 + 3 + 5 + … +     n     =  ¼ (n+1)²

 

Exemples

La somme des 100 premiers impairs (k = 100) de 1 à 2x100 – 1 = 199 est égale à 100² = 10 000.

La somme des nombres premiers jusqu'à 99 (n = 99) est égale à ¼ (99+1)² = ¼ 10 000 = 2 500.

Suite

 

 

 

Démonstration

 

*      La démonstration consiste à simplement faire le calcul de la somme.
Chaque nombre impair est mis sous sa forme générique en 2k-1. Puis, nous utiliserons lé résultat connu donnant la somme des entiers de 1 à k qui vaut ½ k (k+1).

*      Voici le calcul:

Voir Démonstration par induction (ou récurrence)

 

 

Somme des k suivants k impairs

 

Théorème

 

La somme des k nombres impairs suivants k nombres impairs est égale à 3 k².

 

Exemple

 

Démonstration

 

 

Application

Fraction toujours égale à 1/3

 

Généralisation

La propriété se prolonge pour les tranches suivantes:

 

 

Somme alternée des INVERSES des IMPAIRS

 

Théorème

 

La somme des inverses de tous les impairs consécutifs avec signe alterné converge vers Pi / 4.

 

S  = 1 – 1/3 + 1/5 –    =  / 4 = 0,785…

 

Suite très lentement convergence

 

 

 

 

 

Retour

*    Somme des nombres pairs

Suite

*    Somme des impairs, carré et cubes (2/3)

*    Somme alternée des entiers

*    Pairs et Impairs - Introduction

*    Impairs et différence de carrés

*    Inverse des impairs au carré

Voir

*    Carrés

*    Constantes

*    Cubes

*    Isopérimètre

*    Nombres consécutifs Index

*    Pairs et impairs

*    Tautochronie

*    Théorèmes

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