NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

 

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Impairs (3/3)

 

Sommaire de cette page

Partie 1

>>> Impairs, carrés et cubes

>>> Nombres impairs

>>> Inverses des impairs alternés

Partie 2

>>> Somme des impairs & carrés et cubes

>>> Relations entre impairs, carrés et cubes

Partie 3

>>> Cube somme d'impairs

>>> Cube différence de carrés

 

 

 

 

 

 

 

ENTIERS IMPAIRS & CUBES

 

Tout cube est

*    la somme d'impairs consécutifs

*    la différence de deux carrés

 

Exemple de propriété

                                           43 =  64  =  13 + 15 + 17

                                                               10² – 6² 

 

 

CUBE SOMME D'IMPAIRS

 

Approche avec un exemple

 

*      Sur un exemple, nous allons chercher la formule qui permet de déterminer la plage (de I à J) des impairs successifs dont la somme vaut un cube.

 

 

 

Théorème

 

Le cube d'un nombre k est la somme des nombres impairs de k² - k + 1 à k² + k – 1

 

Les plages (I, J) pour les cubes de 1 à 20

 

                                   k                       I = k² - k + 1         J = k² + k - 1

                                   1                       1                           1

                                   2                       3                           5

                                   3                       7                           11

                                   4                       13                         19

                                   5                       21                         29

                                   6                       31                         41

                                   7                       43                         55

                                   8                       57                         71

                                   9                       73                         89

                                   10                    91                         109

                                   11                    111                       131

                                   12                    133                       155

                                   13                    157                       181

                                   14                    183                       209

                                   15                    211                       239

                                   16                    241                       271

                                   17                    273                       305

                                   18                    307                       341

                                   19                    343                       379

                                   20                    381                       419

 

Lecture: 203 = 381 + 383 + 385 + … 417 + 419

 

Voir Table

 

 

 

Autre relation entre cubes et impairs

 

*      Écrivons le cube de 4: 4 x 4 x 4, illustré par le cube fil de fer en vert sur l'illustration.

*      C'est aussi la somme de quatre fois le carré de 4:

43 = 4x4 + 4x4 + 4x4 + 4x4

*      Ou pour obtenir le volume de parallélépipèdes:

43 = 1x4x4 + 1x4x4 + 1x4x4 + 1x4x4

*      Exprimons l'un des facteurs 4 avec des écarts en plus d'un côté et en mois de l'autre, de sorte que la somme soit nulle.

43 = 1x4x(4-3) + 1x4x(4-1) + 1x4x(4+1) + 1x4x(4+3)

43 = 1x4x1 + 1x4x3 + 1x4x5 + 1x4x7

*      Chaque parallélépipède représente une marche d'escalier dont la longueur est un nombre impair: 1, 3, 5 et 5.

*      Autrement dit, un cube peut aussi s'exprimer par:

43 = 4 (1 + 3 + 5 + 7)

     = 4 + 12 + 20 + 28

*      Cette relation est générale:

53 = 5 (1 + 3 + 5 + 7 + 9)

     = 5 + 15 + 25 + 35 + 45

 

 

 

CUBE DIFFÉRENCE DE CARRÉS

 

Approche avec un exemple

 

*      Sur un exemple, nous allons chercher la formule qui permet de déterminer les plages (H, I et J) des carrés dont la différence vaut un cube.

 

 

Théorème

 

Le cube d'un nombre k est la différence des carrés de ½ (k²+ k) et ½ (k²– k).

 

Valeurs pour les cubes de 1 à 20

 

*      Notez la construction:

*      Pour chaque ligne, on trouve donc le motif suivant:

 

                  203 = 210² – 190² = (190 + 20)² – 190²

 

Littéralement: retrouver les nombres au carré à partir du cube de k

k3 = (n + k )² – n² = n² + 2nk + k² - n² = k (2n + k)

k2 = 2n + k

n = ½ (k² - k)

Pour k = 20, on retrouve n = ½ (400 – 20) = 190

 

 

 

 

 

 

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