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Édition du: 07/04/2021

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Brèves de Maths

 

INDEX

 

Types de nombres

 

Classes de nombres

 

 

Types de Nombres – Diviseurs

Parfaits

Semi-parfaits (SP)

SP Primitifs

SP Primaire

Refactorisables

Pratiques

Abondant primitifs

Giuga

Facteurs-Diviseurs

Intouchables

Consommables

Curzon

 

 

NOMBRES INTOUCHABLES

 

Nombres qui ne sont jamais la somme des diviseurs d'un nombre. Propriétés et liste de tels nombres. Idem pour les nombres touchables qui sont somme des diviseurs de nombres et parfois plusieurs fois. Records.

 

Sommaire de cette page

>>> Nombres intouchables

>>> Observations – Remarques

>>> Propriétés

>>> Nombres touchables

>>> Nombres hautement touchables

>>> Liste des nombres – Accès aux tables

>>> Programmation

 

Débutants

Nombres

 

Glossaire

Nombres

 

Vocabulaire et notations

Un nombre n et ses diviseurs.

La somme des diviseurs, y compris lui-même est notée  ou s(n).

La somme des diviseurs, sans le nombre est notée  ou s'(n), et on la nomme souvent: somme aliquote de n; on dit aussi: somme des diviseurs stricts (ou propres) de n.

 

Intouchables: film français Olivier Nakache et Éric Toledano, sorti en 2011 avec François Cluzet et Omar Sy.

 

Intouchables ou Dalits: nom d'une caste en Inde. Individus considérés comme hors castes et affectés à des fonctions ou métiers jugés impurs.

Voir Nombre / Division / Diviseurs

 

Nombres intouchables – Définition

haut

 

Approche

Le nombre 108 est touchable, car il existe un nombre (60) dont la somme des diviseurs stricts est égale à 108 (somme aliquote).

 

Observations

Voyons la liste des sommes aliquotes des nombres de 1 à 20:

0, 1, 3, 4, 6, 7, 8, 9, 10, 15, 16, 21, 22.

Tous ces nombres sont touchables par une somme aliquote.

Les autres nombres:

2, 5, 11, 12, 13, 14, 17, 18, 19, 20

sont des nombres intouchables, du moins pour les sommes aliquotes des nombres de 1 à 20.

 

Définitions

Nombre intouchable : nombre qui n'est jamais la somme des diviseurs stricts d'un nombre quelconque, y compris lui-même. 

 

Il n'est jamais la somme aliquote d'un nombre.

Un nombre est intouchable s'il n'a pas d'antécédent aliquote.

Si l'on fait la liste de toutes les sommes aliquotes, certains nombres ne sont pas présents dans cette liste; ce sont les nombres intouchables par cette suite de nombres aliquotes.

 

Nombre sigma-intouchable : nombre qui n'est jamais la somme des diviseurs (tous) d'un nombre quelconque, y compris lui-même. 

 

Exemple

Si on considère le nombre 9.

Diviseurs propres: 1 et 3 (9 n'est pas un diviseur propre ou diviseur strict).

Somme: 1 + 3 = 4 (on dit aussi: somme aliquote de 9)

Conclusion: 4 est touchable, il est la somme aliquote de 9.

 

Au contraire, il est impossible de trouver une somme de diviseurs propres égale à 5; ce nombre 5 est intouchable.

 

 

Observations – Remarques

haut

 

Nombres de 1 à 25

 

Colonnes de gauche: les nombres premiers dont le seul diviseur propre est 1.

 

Colonnes de droites, les autres nombres jusqu'à 25, ordonnés selon la valeur de la somme des diviseurs propres.

 

Ainsi, on note les nombres manquants. Les nombres 2, 5, 12, 13, 17, 18, 19, 20, 23, 24 et 25  sont des intouchables sur la plage 1 à  25.

 

 

 

Effet de la plage d'exploration

 

On cherche les nombres intouchables jusqu'à 25 en analysant la somme des diviseurs propres jusqu'à 25, 100, 500 et 1000.

Les seuls vrais intouchables sont effectivement 2 et 5.

 

Il faut atteindre n = 529 pour obtenir une somme de diviseurs propres égale à 24.

 

I25/25  = {2, 5, 12, 13, 17, 18, 19, 20, 23, 24, 25}

 

I25/100 = {2, 5, 12, 18, 24}

 

I25/500 = {2, 5, 24}

 

I25/1000 = {2, 5}

 

 

Propriétés

haut

 

Infinité – Prouvé par Erdös.

 

Le nombre 5 est le seul intouchable impair – Conjecture.

 

Si tous les intouchables (> 5) sont pairs, alors la conjecture de Goldbach indique qu'ils sont sommes de deux premiers:

2n = p + q

Alors le produit p.q a pour diviseurs propres: 1 , p et q

La somme aliquote est 1 + p + q = 2n + 1

Et ce nombre, 2n + 1, n'est pas intouchable.

On sait que 1, 3 et 7 ne sont pas intouchables (somme aliquote: 2, 4 et 8). Alors, seul 5 est intouchable impair.

 

*      Le mathématicien arabe, al-Baghdadi (v. 980-1037), avait déjà remarqué que 2 et 5 sont intouchables.

*      Ces deux nombres, 2 et 5, semblent être les deux seuls nombres intouchables premiers.

*      Les nombres parfaits, amiables ou sociables ne sont pas intouchables.

*      Les nombres premiers p et leur successeur (p +1), de même que p + 3 (sauf p = 5)  ne sont pas intouchables.
En effet:

s'(p) = 1

s'(p²) = 1 + p

s' (2p) = 1 + 2 + p = 3 + p

*    La densité asymptotique est supérieure à 0,06.

 

Nombres touchables

haut

 

Soit une somme aliquote comme 10, on cherche quel est le plus petit nombre dont la somme des diviseurs strict est 14 ?

C'est le nombre n = 14.

 

Diviseurs de 14 : 1, 2, 7, 14

Diviseurs stricts: 1, 2, 7

Somme aliquote: 1 + 2 + 7 = 10

 

Quantité de fois qu'un nombre est touché ?

Nombres de 1 à 49 dans l'ordre

9592

0

1

1

0

2

1

2

1

1

1

1

2

2

2

2

2

1

2

2

3

2

2

1

3

1

2

1

2

1

5

2

3

1

3

1

4

1

1

3

4

2

5

2

3

2

3

1

6

 

En vert, le record de touches: une fois pour 3, deux fois pour 6, trois fois pour 31, etc.

Et, 9 592 fois pour 1, car il y a cette quantité de nombres premiers jusqu'à 100 000, plage de la recherche.

Enfin en jaune, zéro fois pour les nombres intouchables 2 et 5.

 

 

Nombres hautement touchables

Records successifs de touches, hors nombres premiers:

0, 2  ;  1, 3  ;  2, 6  ;  3, 21  ;  5, 31  ;  6, 49  ; 

 

Liste

2, 3, 6, 21, 31, 49, 73, 91, 115, 121, 169, 211, 301, 331, 361, 391, 421, 511, 631, 721, 781, 841, 1051, 1261, 1471, 1561, 1681, 1891, 2101, 2311, 2521, 2731, 3151, 3361, 3571, 3991, 4201, 4411, 4621, 5251, 5461, 6091, 6511, 6721, 6931, 7771, 7981, 8191, 9031, …

Détails ci-dessous

 

 

Listes

haut

Intouchables

2, 5, 52, 88, 96, 120, 124, 146, 162, 188, 206, 210, 216, 238, 246, 248, 262, 268, 276, 288, 290, 292, 304, 306, 322, 324, 326, 336, 342, 372, 406, 408, 426, 430, 448, 472, 474, 498, 516,  ...

SUITE

Touchables

 

[s', n] => [3, 4], [4, 9], [6, 6], [7, 8], [8, 10], [9, 15], [10, 14], [11, 21], [12, 121], [13, 27], [14, 22], [15, 16], [16, 12], [17, 39], [18, 289], [19, 65], [20, 34], [21, 18], [22, 20], [23, 57], [24, 529], [25, 95], … 

 

Exemple de lecture: le nombre s' = 6 est la somme des diviseurs stricts du nombre n = 6 (cas parfait) et ce nombre n = 6 est le plus petit; le suivant avec s' = 6 serait 25.

Avec s' = 8, on a n le plus petit égal à 10; le suivant serait 49.

SUITE

Hautement touchables

  2, 0, [  ]

  3, 1, [4]

  6, 2, [6, 25]   Nombre parfait

21, 3, [18, 51, 91]

31, 5, [32, 125, 161, 209, 221]

49, 6, [75, 215, 287, 407, 527, 551], 6

SUITE

 

Sigma-intouchables

2, 5, 9, 10, 11, 16, 17, 19, 21, 22, 23, 25, 26, 27, 29, 33, 34, 35, 37, 41, 43, 45, 46, 47, 49, 50, 51, 52, 53, 55, 58, 59, 61, 64, 65, 66, 67, 69, 70, 71, 73, 75, 76, 77, 79, 81, 82, 83, 85, 86, 87, 88, 89, 92, 94, 95, 97, 99, 100, …

 

1, 12, 24, 72, 168, 240, 336, 360, 504, 576, 720, 1440

SUITE

Hautement sigma-touchables

1, 12, 24, 72, 168, 240, 336, 360, 504, 576, 720, 1440, …

SUITE

Voir Suites aliquotes

 

Programmation

haut

Programme

 

But

Établir la liste des nombres intouchables

 

Explications

Appel des logiciels de théorie des nombres.

Initialisation de la liste L des sommes de diviseurs propres.

Lancement d'une boucle de calcul de ces sommes pour les nombres de 1 à 2000.

Somme en S et mémorisation de ces valeurs en L.

Création de la liste M des nombres intouchables.

Recherche pour chacun des nombres de 1 à 25 s'il est présent dans la liste L des sommes de diviseurs.

S'il n'est un membre de la liste alors ce nombre est mémorisé dans la liste M.

En fin de programme, impression de la liste M.

 

En bleu résultat de l'exécution du programme.

  

 

Programme avancé

Programme pour copie dans Maple
restart; with(numtheory); k := 100; T := {seq(`if`(sigma(n)-n < k+1, sigma(n)-n, NULL), n = 1 .. 100*k)}; N := {seq(n, n = 1 .. k)}; NT := N minus T; nops(NT);

 

 

Explications

Création d'une suite (séquence) conditionnelle: recherche des nombres touchés jusqu'à 101. Notez qu'il faut chercher loin: ici, jusqu'à 10 000.

Les accolades { } convertissent la suite en un ensemble.

Création d'un ensemble de nombre de 1 à 100.

L'ensemble des nombres intouchables est la différence entre ces deux listes. Notez que l'instruction minus n'agit que sur les ensembles.

 

Voir ProgrammationIndex

 

 

Anglais

haut

 

Untouchable numbers

 

Not the sum of the proper divisors of any number.

 

An untouchable number is a positive integer that cannot be expressed as the sum of all the proper divisors of any positive integer (including the untouchable number itself). That is, these numbers are not in the image of the aliquot sum function – Wikipedia .

Voir Anglais pour le bac  et pour les affaires 

 

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Sites

*      Nombre intouchable – Wikipédia

*      Untouchable Number – Wolfram MathWorld

*      OEIS A005114 – Untouchable numbers, also called nonaliquot numbers: impossible values for sum of aliquot parts of n (A001065).

*      OEIS A007369 – Numbers n such that sigma(x) = n has no solution

*      OEIS A238895 – Numbers n > 1 such that a record number of numbers k have n as the sum of the proper divisors of k.

*       Autres suites OEIS 123930 et OEIS A125601

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http://villemin.gerard.free.fr/aNombre/TYPDIVIS/Intoucha.htm

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