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	NOMBRES PREMIERS FACTORIELS
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Nombres premiers factoriels

Famille	Nombre / Diviseurs / Multiplicatif / Premiers … / Types de nombres premiers et cousins
Approche	Un nombre factoriel, produit de tous les entiers jusqu'à n, n'est éminemment pas premier et de loin (sauf 2! = 1 x 2 = 2 qui est premier; c'est le seul) Exemple 5! = 1 x 2 x 3 x 4 x 5 = 120 est divisible par au moins 2, 3, 4 ,5 En fait les diviseurs de 120 sont 1 2 3 4 5 6 8 10 12 15 20 24 30 40 60 120 Par contre, on peut s'intéresser à ces nombres en leur ajoutant ou retranchant 1 5! – 1 = 119 = 7 x 17: il n'est pas premier 5! + 1 = 121 = 11² : il n'est pas premier 3! – 1 = 5 : premier 3! + 1 = 7 : premier
Définition	Nombre premier factoriel Nombre premier en n! – 1 ou n! + 1

Propriétés

Les nombres premiers factoriels se situent dans une zone qui compte de plus en plus de nombres composés selon que n est grand. En effet: Considérons les nombres N = n! + m avec m < n m est nécessairement l'un des facteurs de n! et, alors, n!= k.m Notre nombre N devient N = k.m + m qui est divisible par m N est un nombre composé Sauf lorsque m = 1 En résumé, sur toute l'étendue des nombres de n! – n à n! + n la seule possibilité de trouver des nombres premiers est pour n! -1 ou n! + 1 Illustration (voir plages qui montre que cela est vrai pour n > 3)

Anglais	Factorial prime Prime of the form n! ± 1
Voir	Primorielles Place de ces nombres parmi les autres premiers Factorielles Problème de Brocard

Plages factorielles

Plages des nombres de n! – n à n! + n pour les premières valeurs de n

En jaune n! et en bleu les premiers factoriels

2	3	4	5	6
0 composé 1 composé 2 PREMIER 3 PREMIER 4 composé	3 PREMIER 4 composé 5 PREMIER 6 composé 7 PREMIER 8 composé 9 composé	20 composé 21 composé 22 composé 23 PREMIER 24 composé 25 composé 26 composé 27 composé 28 composé	115 composé 116 composé 117 composé 118 composé 119 composé 120 composé 121 composé 122 composé 123 composé 124 composé 125 composé	714 composé 715 composé 716 composé 717 composé 718 composé 719 PREMIER 720 composé 721 composé 722 composé 723 composé 724 composé 725 composé 726 composé

On note les exceptions pour n = 2 (2! est premier) et pour 3 (3! – 3 est premier)

Listes

Nombres premiers factoriels

avec leur valeur pour n jusqu'à 500

3! – 1 = 5 4! – 1 = 23 6! – 1 = 719 7! – 1 = 5 039 12! – 1 = 479 001 599 14! – 1 = 87 178 291 199 30! – 1 = 0, 2653 10 ^33 32! – 1 = 0, 2631 10 ^36 33! – 1 = 0, 8683 10 ^37 38! – 1 = 0, 5230 10 ^45 94! – 1 = 0, 1087 10 ^147 166! – 1 = 0, 9004 10 ^298 324! – 1 = 0, 2289 10 ^675 379! – 1 = 0, 2484 10 ^815 469! – 1 = 0, 6772 10 ^1051	1 ! + 1 = 2 2 ! + 1 = 3 3 ! + 1 = 7 11 ! + 1 = 39 916 801 27 ! + 1 = 0, 1088 10 ^29 37 ! + 1 = 0, 1376 10 ^44 41 ! + 1 = 0, 3345 10 ^50 73 ! + 1 = 0, 4470 10 ^106 77 ! + 1 = 0, 1451 10 ^114 116 ! + 1 = 0, 3393 10 ^191 154 ! + 1 = 0, 3089 10 ^272 320 ! + 1 = 0, 2116 10 ^665 340 ! + 1 = 0, 5100 10 ^715 399 ! + 1 = 0, 1600 10 ^867 427 ! + 1 = 0, 2906 10 ^940
Suivants 546, 974, 1963, 3507, 3610, 6917, 21480, 34790 …	Suivants 872, 1477, 6380, 26951, ...

Nombres premiers factorielles

et généralisation aux PUISSANCES des factorielles

pour n jusqu'à 100 

n! – 1	n! + 1	n!² - 1	n!² + 1	n!^3 - 1	n!^3 + 1	n!^4 - 1	n!^4 + 1
3 4 6 7 12 14 30 32 33 38 94	1 2 3 11 27 37 41 73 77	2	1 2 3 4 5 9 10 11 13 24 65 76	2	1	néant	1 2 3 4 13

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