NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

 

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   Types de Nombres

 

Débutants

Premier

NOMBRES PREMIERS

FACTORIELS

 

Glossaire

Premier

 

INDEX

 

Premiers

 

Factoriels

Prem. factoriels

Prem. multifactoriels

Prem. primoriels

Bilan et records

 

Sommaire de cette page

>>> Nombres premiers factoriels

>>> Plages factorielles

>>> Liste

>>> Factorielles combinées

>>> Programmation

 

 

 

Nombres premiers factoriels

 

 

Famille

Nombre / Diviseurs / Multiplicatif / Premiers

 

… / Types de nombres premiers et cousins

 

Approche

*        Un nombre factoriel, produit de tous les entiers jusqu'à n,  n'est éminemment  pas premier et de loin (sauf 2! = 1 x 2 = 2 qui est premier; c'est le seul).

Exemple

5! = 1 x 2 x 3 x 4 x 5 = 120 est divisible par au moins 2, 3, 4 ,5

En fait les diviseurs de 120 sont

1 2 3 4 5 6 8 10 12 15 20 24 30 40 60 120.

*        Par contre, on peut s'intéresser à ces nombres en leur ajoutant ou retranchant 1.

5! – 1 = 119 = 7 x 17: il n'est pas premier

5! + 1 = 121 = 11²     : il n'est pas premier

3! – 1 = 5 : premier

3! + 1 = 7 : premier

 

Définition

Nombre premier factoriel

Nombre premier en n! – 1 ou n! + 1

 

 

Propriétés

*        Les nombres premiers factoriels se situent dans une zone qui compte de plus en plus de nombres composés selon que n est grand.

*        En effet:

Considérons les nombres N = n! + m avec m < n

m est nécessairement l'un des facteurs de n! et, alors,  n! = k.m

Notre nombre N devient N = k.m + m qui est divisible par m,

N est un nombre composé,

Sauf lorsque m = 1.

*        En résumé, sur toute l'étendue des nombres de

n! – n  à n! + n

la seule possibilité de trouver des nombres premiers est pour

n! – 1 ou n! + 1

 

Illustration (voir plages qui montre que cela est vrai pour n > 3)

*        Pour la même raison, les primorielles jouissent de la même propriété

 

 

Anglais

*        Factorial prime

Prime of the form n! ± 1

 

Voir

*  Primorielles

*  Place de ces nombres parmi les autres premiers

*  Factorielles

*  Problème de Brocard

 

 

Plages factorielles

 

Plages des nombres de n! – n à n! + n pour n de 2 à 6.

En rouge les nombres premiers


 

On note les exceptions pour n = 2 (2! = 2 est premier) et pour 3 (3! – 3 = 3 est premier).

 

Plage de nombres composés derrière une factorielle

 

Ce tableau donne la quantité d de nombres composés qui suivent le nombre n! + 1. Il est toujours égal ou plus grand que n – 1. L'excédent d – n tend à croître avec n, mais souffre d'exceptions, comme avec 20!

 

Voir Primorielles

 

 

 

LISTES

 

Nombres premiers factoriels

avec leur valeur pour n jusqu'à 500

 

3! – 1  =                5

4! – 1  =                23

6! – 1  =                719

7! – 1  =                5 039

12! – 1  =              479 001 599
14! – 1  =              87 178 291 199
30! – 1 =               0,   2653 10
33

32! – 1 =               0,   2631 10 36

33! – 1 =               0,   8683 10 37

38! – 1 =               0,   5230 10 45

94! – 1 =               0,   1087 10 147

166! – 1 =            0,   9004 10 298

324! – 1 =            0,   2289 10 675

379! – 1 =            0,   2484 10 815

469! – 1 =            0,   6772 10 1051

  1 ! + 1 =              2

  2 ! + 1 =              3

  3 ! + 1 =              7

11 ! + 1 =              39 916 801
27 ! + 1 =              0, 1088 10 29

37 ! + 1 =              0, 1376 10 44

41 ! + 1 =              0, 3345 10 50

73 ! + 1 =              0, 4470 10 106

77 ! + 1 =              0, 1451 10 114

116 ! + 1 =           0, 3393 10 191

154 ! + 1 =           0, 3089 10 272

320 ! + 1 =           0, 2116 10 665

340 ! + 1 =           0, 5100 10 715

399 ! + 1 =           0, 1600 10 867

427 ! + 1 =           0, 2906 10 940

Suivants

 

469, 546, 974, 1963, 3507, 3610,    6917, 21480, 34790 (dernier connu)

Suivants

 

427, 872,  1477,  6380,  26951, 110059, 150209 (dernier connu)

 

 

 

Nombres premiers factorielles

et généralisation aux PUISSANCES des factorielles

pour n jusqu'à 100 

 

n!

– 1

n!

+ 1

n!²

- 1

n!²

+ 1

n!3

- 1

n!3

+ 1

n!4

- 1

n!4

+ 1

 

 

3

4

6

7

12

14

30

32

33

38

 

94

1

2

3

 

 

 

11

27

37

41

 

 

73

77

 

2

1

2

3

4

5

9

10

11

13

24

 

 

65

76

 

2

1

ant

1

2

3

4

 

 

13

 

 

 

 

 

Factorielles combinées

N  = n! + n + 1 est premier pour n = {2, 4, 6, 10, 52} n jusqu'à 1000.

N  = n! + 1 est premier pour n = { 2, 3, 11, 27, 37, 41, 73, 77, 116, 154, 320, 340, 399, 427} n jusqu'à 500.

 

 

Programmation – Formation des listes de premiers factoriels

Commentaire

 

Boucle de formation des factorielles avec n égal le précédent multiplié par les nombres successifs.

 

Formation de deux listes si n! + 1 est premier et si n! – 1 est premier.

Impression des deux lites en fin de traitement.

Voir ProgrammationIndex

 

 

 

 

Suite

*         FactoriellesIndex

*         Premiers – Index  

Voir

*         Presque-premier

Sites

*         OEIS A002981 – Numbers k such that k! + 1 is prime

*         OEIS A002982 – Numbers n such that n! - 1 is prime

*         OEIS A055490 – Factorial primes: primes of the form n! – 1.

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http://villemin.gerard.free.fr/aNombre/TYPMULTI/PremFact.htm