NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

 

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et autres pages sur la multiplication 

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Règle de trois

Problèmes typiques

 

Sommaire de cette page

 

>>> Rappel des bases

>>> APPROCHE

>>> Proportion DIRECTE

>>> Proportion INVERSE

>>> Proportion COMPLEXE

>>> Proportion DOUBLE

>>> Proportion DOUBLE INVERSE

 

>>> Exercices

 

Chat y est! J'ai gagné!

 

 

 

 

  PROPORTIONS & RÈGLE DE TROIS

 

Pratique et pièges!

 

Comment raisonner pour s'y retrouver à coup sûr ?

 

Trois nombres à la fête: la règle de trois, la quatrième proportionnelle et le pourcentage. Notions voisines: échelle, agrandissement, réduction

 

 

 

Rappel des bases

Pour compléter voir Proportionnalité et règle de trois – Glossaire  

 

 

Un classique de l'humour anglais: la règle de trois appliquée aux verbes irréguliers

Dommage la réponse est fausse! Le participe passé est flowed.

Voir Anglais / To grow = croître, pousser et to flow = couler, circuler

 

 

 

 

 

RÈGLE DE TROIS telle que présentée dans un manuel pratique de 1933

Quand deux grandeurs sont telles que, si l'une devient un certain nombre de fois plus grande ou plus petite, l'autre devienne ce même nombre de fois plus grande ou plus petite, ces deux grandeurs sont dites proportionnelles.

 

Exemple: 10 hectolitres de vin coûtent 2 000 Fr. On demande de trouver le prix de 15 hectolitres du même vin.

 

Les deux grandeurs proportionnelles sont les hectolitres et les francs. Ce problème, dont l'énoncé contient trois nombres, fait appel à la règle de trois. La solution s'obtient par la méthode de la réduction à l'unité.

 

10 hl coûtent 2 000 Fr.

  1 hl coûte 10 fois moins ou  Fr, et

15 hl coûtent 15 fois plus ou  Fr, soit 3 000 Fr.

 

 

APPROCHE

 

LE PRODUIT EN CROIX

*      Pour résoudre un problème de règle de trois:

*    On écrit le produit en croix;

*    L'inconnue (X) apparaît dans une équation simple;

*    Sa résolution en X donne la solution.

 

*      Justification ci-dessous: en multipliant chaque terme par 2  48 (dénominateur commun) puis en simplifiant:

 

Égalité de fractions à trou

 

x

=

1

48

2

 

 

Produit en croix

 

2 . x =  1 . 48 

 

x = 48 / 2 = 24

 

 

Connaissant ce truc de la règle de trois (ou du produit en croix, c'est la même chose) nous allons donner quelques exemples de calcul.

Note: on adopte parfois le point pour la multiplication. Cela évite la confusion entre le signe multiplier   et  l'inconnue X.

Voir Le symbole de la multiplication.

 

 

PROPORTION DIRECTE

 

*    Au marché

Des tomates à 2 euros les 4 kg

Combien valent 7 kg ?

Le produit en croix donne 3,5 euros.

En effet le kg vaut 2 / 4 = 0,5 euros  par kg.

Et,    7 kg font:  7  0,5 = 3,5 euros.

 

Euros

2

X

kg

4

7

 

X = 2  7 / 4

   = 3,5 euros

 

*    Dans une usine

20 personnes fabriquent 200 chaises en un jour. Combien faut-il de personnes pour en fabriquer 300 dans la journée?

 

Personnes

20

X

Chaises

200

300

 

X = 20  300 / 200

   = 30 personnes

 

 

PROPORTION INVERSE

 

*    Dans le verger

15 hommes cueillent le verger en 28 jours. Combien de temps pour 5 hommes seulement?

 

Le produit en croix posé un peu rapidement ne marche pas.

Avec 5 hommes au lieu de 15, il est évident qu'il faudra beaucoup plus de 28 jours. Compte tenu des nombres utilisés, on peut même remarquer le rapport 3 entre 5 et 15 et dire immédiatement qu'il faut 28 x 3 = 84 jours. Donc, la règle de trois, posée mécaniquement, donne n'importe quoi.

 

*    Voici le raisonnement proposé pour réussir à tout coup!

 

Faire un dessin: il est alors possible de rendre compte de la situation. Et même de voir qu'il faut l'équipe de 5 hommes durant trois fois 28 jours.

 

La surface colorée représente le travail pour récolter tout le verger

T = 28 jours 15 hommes

 

Quel que soit le nombre de personnes le travail total reste le même, y compris avec 5 hommes

T = X jours  5 hommes.

 

*    Plus rapidement

15 hommes font la récolte complète en 28 jours; Dans le même temps, 5 hommes (le tiers) feront le tiers du travail, soit un tiers de la récolte du verger. Pour faire la récolte complète, il faudra trois fois plus de temps, soit 28  3 = 84 jours.

Produit en croix

 

Hommes

15

5

Jours

28

X

 

X = 28  5 / 15 = 9,3

FAUX

On sait qu'il faut plus de 28 jours avec moins de personnes!

 

 

Illustration

 

 

Bilan

T = 28 jours  15 hommes

T =   X jours    5 hommes

X = 28  15 / 5 = 84 jours

 

Règle importante

 

PROPORTION COMPLEXE

 

*    En bateau

On dispose de provisions pour 150 hommes et 45 jours.

Après 10 jours, 25 personnes débarquent.

Combien de jours de mission encore possible ?

 

*    Ici aussi, un dessin va aider

Le rectangle rose représente les provisions embarquées pour 45 jours et 150 hommes.

Il du stock de provisions (P) embarquées pour toute la mission.

 

Ce stock servira finalement pour

*    d'une part, 10 jours et 150 hommes, et

*    d'autre part, X jours et 125 hommes.

Illustration

 

Bilan

 

P = 150  45

P = 150  10 + 125 . X

X = 150 (45 – 10) / 125 = 42 jours en plus

Voir Équations

 

 

PROPORTION DOUBLE

 

*    Au champ

8 hommes fauchent 80 ha en 24 jours. Combien 36 hommes faucheront en 30 jours?

 

*    Dans ce cas, il faut procéder en deux temps comme le montre l'illustration (flèche courbe).

 

Au lieu de 8 hommes, il y en a 36 pour faucher, soit 4,5 fois plus. La surface fauchée sera nettement plus importante:
80 x 36 / 8 = 80 x 4,5 = 360 ha.

 

Avec la même équipe pendant plus de temp, elle fauchera encore plus de surface:

360 x 30 / 24 = 450 ha.

Illustration

 

 

 

Bilan

S = 80 x (36/8) x (30/24) = 450 ha

 

 

 

PROPORTION DOUBLE INVERSE

 

*    Au travail

30 hommes en travaillant 7 heures par jour terminent leur travail en 18 jours.

21 hommes en travaillant 8 heures par jour mettront combien de temps?

 

*    Dans ce cas, le dessin est très utile. Évaluons la quantité de travail (T) fournie par l'équipe de 30 hommes

T1 = 30  18  7 = 3 780 h

 

Et celle de la seconde équipe:

T2 = 21  X  8

 

Or, dans les deux cas, il s'agit du travail pour terminer le travail

T1 = T2

21  X  8 = 3 780 h

X = 22,5 jours

 

Remarque: Il est plus facile et plus sûr de passer par la démarche ci-dessus, plutôt que de trouver directement les proportions données ci-contre

 

Illustration

Bilan

X = 18    = 22,5 jours

 

 

Échelle

Une échelle est un rapport de réduction ou d'agrandissement, sans déformation.

 

Échelle au 1/100 000e (lire: un cent millième) veut dire que 1 cm sur la carte représente  100 000 cm = 1 000 m = 1 km dans la réalité.

Si on mesure 7,2 cm entre deux villes cela qu'elles sont distantes de 7, 2 km.

 

Échelle 1/43e  veut dire que 1 cm représente 43 cm dans la réalité. Voici les dimensions d'une voiture Mégane-Renault à cette échelle.

 

Échelle 20/1 ou plutôt  grossissement de 20: alors 20 cm mesurés représentent 1 cm en réalité. Un poil mesure 2mm à travers une telle loupe; la taille du poil est donc: 2 / 20 = 0,1 mm.

 

 

 

 

Exercices

 

Problème

Le prix d'un article diminue de 5% puis augmente de10%. Quel la variation par rapport au prix initial?

 

 

Résolution

P5 = P x 0,95
P10 = P5 x 1,10

      = P x 0,95 x 1,10

      = P x 104,5
Le prix augmente de 4,5%

 

 

Problème

Nous inspirons 9 500 litres d'air par jour. L'air contient 20% d'oxygène.

Seuls 5% sont retenu par l'organisme.

Quel le volume d'oxygène retenu en une journée?

 

 

Résolution

Vair = 9 500 l

VOx = 9 500 x 0,2 = 1 900 l

VRetenu = 1 900 x 0,05 = 95 l

 

 

Problème

Prime de 22 725 euros à répartir entre trois services publics A, B et C selon la fréquence hebdomadaire.

Respectivement 125, 166 et 214 clients.

Quelle prime revient à chaque service?

 

 

Résolution

Subvention par clients: x

 

Total subvention:

125x + 166x + 214x = 22 725

505 x = 22 725

x = 45

 

Problème

Échelle 1/500

Salle de 10 cm par 12 cm

Quelle est l'aire réelle de la salle?

 

 

Résolution

Largeur:     10 x 500 = 5 000 cm = 50 m

Longueur: 12 x 500 = 6 000 cm  = 60 m

Aire:            50 x 60 = 3 000 m²

 

Problème

Un homme pèse actuellement 72 kg.

Il vient de perdre 10% de son poids.

Quelle est sa perte de poids en kg?

 

 

Résolution

Pavant = X

Pactuel = 72 = X – 0,1 X = 0,9 X

X = 72 / 0,9 = 80 kg

Perte: 80 – 72 = 8 kg

 

 

 

 

 

 

 

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