NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

 

Accueil                           DicoNombre            Rubriques           Nouveautés      Édition du: 19/05/2015

Orientation générale        DicoMot Math          Atlas                   Références                     M'écrire

Barre de recherche          DicoCulture              Index alphabétique                               

  

CALCUL   Calculs avancés

 

Débutants

Multiplication

MULTIPLICATION

 

Glossaire Multiplication

TABLES

Tables vues autrement

Terminaisons

Calcul autour de 10

Calcul deux chiffres

Abaque / Boulier

Musulmane et...

Védiques

Avec les doigts

Décimales

Produits

 

 

Sommaire de cette page

>>> APPROCHE

>>> MULTIPLICATION

>>> RÈGLE

>>> PLUSIEURS CHIFFRES

>>> BEAUCOUP DE CHIFFRES

>>> LA RECETTE FINALE

>>> MÉTHODE MODERNE

>>>  REMARQUE

 

 

 

 

MULTIPLICATION

DES NOMBRES DÉCIMAUX

 

Pas évident de savoir combien de zéros

il faut mettre derrière la virgule !

 

-       On va se familiariser;

-       Passer les étapes d'approche une à une;

-       Et conclure par le truc de calcul.

 

Pour les gens pressés ou ceux qui connaissent,

on peut passer immédiatement au procédé.

 

 

 APPROCHE

 

Trois manières de noter les nombres décimaux

 

1

Fractions

2

Nombres à virgule

3

Moderne

Qz

1 / 10

0,

1

 

 

 

 

10 - 1

1

1 / 100

0,

0

1

 

 

 

10 - 2

2

1 / 1000

0,

0

0

1

 

 

10 - 3

3

1 / 10 000

0,

0

0

0

1

 

10 - 4

4

1 / 100 000

0,

0

0

0

0

1

10 - 5

5

 

Qz est à la fois

La quantité de zéros des fractions.

La quantité de zéros des nombres à virgule.

La valeur de l'exposant négatif dans la notation moderne .

Notation moderne: on dit plutôt: notation scientifique

 

 

 

 

MULTIPLICATIONS

 

Multiplication avec des décimales

 

Fractions

Nombres à virgule

Moderne

Qz

 

1 / 100

0,

0

1

 

 

 

10 - 2

2

x

1 / 1000

0,

0

0

1

 

 

10 - 3

3

=

1 / 100 000

0,

0

0

0

0

1

10 - 5

5

 

*    On a autant de zéros au-dessus et en-dessous de la barre d'opération. On retrouve tous les zéros dans le produit.

*    La quantité de zéros Qz dans le produit est la même que celle contenue dans l'opération.

*    En notation moderne:

*    l'exposant du résultat est la somme des exposants (5 = 3 + 2).

*    l'exposant indique la quantité de 0.

*    Est-ce toujours vrai ?

On va voir qu'il faut tenir compte des débordements.

Un des zéros va être sur la sellette …

 

Débordement

 

Fractions

Nombres à virgule

Moderne

Qz

     2 / 100

0,

0

2

 

 

 

2 10 - 2

2

 x  8 / 1000

0,

0

0

8

 

 

8 10 - 3

3

= 16 / 100 000

0,

0

0

0

0

1

 

6

 

16 10 - 5

5

  1,6 / 10 000

0,

0

0

0

1

6

1,6 10 - 4

4

 

*    Le produit de 2 par 8 comporte deux chiffres 16:

*    celui des unités 6 se met à sa place habituelle, en queue des 0;

*    celui des dizaines 1, éjecte le dernier 0 et prend sa place.

*    La quantité de zéros est égale:

*    à celle contenue dans l'opération

 

*    moins un, en cas de débordement du produit

Qz

ou

Qz - 1

*    En notation moderne

*    on obtient un résultat direct:  16 10 - 5

*    et, on peut aussi écrire:        1,6 10 - 4

 

 

 

 

RÈGLE

 

Pour multiplier deux nombres décimaux:

1

On descend tous les 0 de l'opération;
(y compris ceux devant la virgule)

2

On pose le produit des chiffres à la suite des zéros.

2 bis

On laisse déborder le produit des deux chiffres significatifs, au détriment du dernier zéro qui disparaît.

 

Note: on place les chiffres significatifs les uns en dessous des autres

pour obtenir un effet visuel et pratique

 

Simple: 0,01 x 0,001 = 0,00001  ou 10-2 x 10-3 = 10-5

 

A

0,

0

 

 

 

1

B

0,

0

0

 

 

1

Règle 1

0,

0

0

0

0

 

Règle 2

 

 

 

 

 

1

Résultat

0,

0

0

0

0

1

 

Débordement: 0,02 x 0,008 = 0,00016 ou 2 . 10-2 x 8 . 10-3 = 16 .10-5

= 1,6 10-4

 

A

0,

0

 

 

 

2

B

0,

0

0

 

 

8

Règle 1

0,

0

0

0

0

 

Règle 2 bis

 

 

 

 

1

6

Résultat

0,

0

0

0

1

6

 

 

 

PLUSIEURS CHIFFRES

 

Et s'il y a plus de chiffres

 

On effectue la multiplication habituelle des chiffres.

3

On place le résultat à la suite des zéros

Sauf débordement comme indiqué ci-dessus.

 

Plusieurs chiffres significatifs

0,0212 x 0,004 = 0,0000848

 

A

 

0,

0

 

 

 

2

1

2

B

 

0,

0

0

 

 

4

 

 

Règle 1

 

0,

0

0

0

0

 

 

 

Règle 3

212 x 4 = 848

 

 

 

 

 

8

4

8

Résultat

 

0,

0

0

0

0

8

4

8

 

 

Plusieurs chiffres significatifs et débordement

0,0212 x 0,008 = 0,0001696

 

A

 

0,

0

 

 

 

2

1

2

B

 

0,

0

0

 

 

8

 

 

Règle 1

 

0,

0

0

0

0

 

 

 

Règle 3

212 x 8 = 1696

 

 

 

 

1

6

9

6

Résultat

 

0,

0

0

0

1

6

9

6

 

 

 

 

BEAUCOUP DE CHIFFRES

 

Avec beaucoup de chiffres que se passent-ils ?

 

Toujours la même règle.

4

On place le résultat à la suite des zéros.

Sauf débordement comme indiqué ci-dessus.

 

 

Plusieurs chiffres significatifs

 

A

 

0,

0

 

 

 

2

1

2

 

B

 

0,

0

0

 

 

4

2

 

 

Règle 1

 

0,

0

0

0

0

 

 

 

 

Règle 4

212 x 42 = 8904

 

 

 

 

 

8

9

0

4

Résultat

 

0,

0

0

0

0

8

9

0

4

 

 

Avec débordement

 

A

 

0,

0

 

 

 

2

7

5

 

 

B

 

0,

0

0

 

 

4

2

3

 

 

Règle 1

 

0,

0

0

0

0

 

 

 

 

 

Règle 4

275 x 423 = 116325

 

 

 

 

1

1

6

3

2

5

Résultat

 

0,

0

0

0

1

1

6

3

2

5

 

 

 

LA RECETTE FINALE

 

En pratique

 Pour multiplier deux nombres décimaux:

 

On calcule le produit des chiffres;

 

On note le débordement éventuel;

 

On met tous les 0 devant ce résultat;

          

Sauf un s'il y a débordement.

 Débordement: lorsque le produit des deux chiffres de gauche plus les retenues éventuelles dépassent 10.

 

 

Disposition Pratique

0,

0

 

 

 

2

7

5

 

 

x

0,

0

0

 

 

4

2

3

 

 

Produit: 275 x 423 =

 

 

 

 

1

1

6

3

2

5

Notez le débordement

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Il y a 5 zéros

0

0

0

0

0

 

 

 

 

 

Résultat

0,

0

0

0

1

1

6

3

2

5

 

0,0275 x 0,00423 = 0,00011632

 

 

 

MÉTHODE MODERNE

 

Revoyons ce que cela donne en notation moderne:

*    On multiplie les nombres; et

*    On ajoute les exposants.

 

Calcul moderne

 

0,0275 x 0,00423 = ?

 

2,

75

10 - 2

x 4,

23

10 - 3

= 11,

=  0,

=  0,

6325

116325

000116325

10 - 5

10 - 3

 

On maîtrise le procédé. C'est plus sûr

 

 

 

 

REMARQUES

 

Notations en puissances de 10

 

Il y a deux possibilités  selon que

 la puissance de 10 commence par:

Avec virgules

un nombre entier

un zéro

0,02

2 10 - 2

0, 2 10 - 1

x 0,004

x 4 10 - 3

x 0, 4 10 - 2

= 0,0000 8

= 8 10 - 5

= 0, 08 10 – 3

= 0,8 10 – 4

 

Cette notation

élimine tous les zéros

conserve le premier zéro

Exposant =

quantité de zéros

quantité de zéros derrière la virgule

Le produit

est un entier

parfois à deux chiffres

peut comporter des zéros en plus

Quelle méthode ?

Pratique !

On compte la quantité de zéros

Celle-ci est utilisée par les scientifiques

 

En particulier, pour ce procédé de calcul mental

Cela marche même pour ceux qui ne connaissent pas les puissances:

Ceux-ci sont de toute manière très à l'aise avec la manipulation des puissances

Par exemple, il faut savoir que 10 0 = 1

Exemple de difficulté

0, 2 = 2 10 - 1

0, 2 = 0,2 10 - 0

  

 

 

Suite

*    Le terrain de basket (CM2)

*   Produits

*    Autres pages sur la multiplication

Voir

*    Base décimale

*    Calcul des carrés

*    Calcul mental

*    Multiplication

*    Multiplications amusantes

*    Multiplications magiques

*    Multiplications pannumériques

*    Nombres décimaux

*    Puissance de 10

*    Puissances - Index

*    Théorie des nombres