NOMBRES - Curiosités, théorie et usages Accueil DicoNombre Rubriques Nouveautés Édition du: 13/04/2021 Orientation générale  DicoMot Math Atlas Actualités M'écrire Barre de recherche DicoCulture Index alphabétique Références Brèves de Maths
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		Sommaire de cette page >>> En bref >>> Cas: [n, 2, 2] pour n de 3 à 5 – 2 paniers >>> Cas général [n, 2, 2] >>> Cas: [n, 2, 3] >>> Cas: [n, 3, 2] – 3 paniers >>> Cas: [n, 4, 2] – 4 paniers

n balles numérotées

dans k boites quelconques

avec minimum de q balles dans chaque boite

Comment dénombrer ces cas? Pas de formule générique !

Cas classique : 10 balles dans deux boites avec 2 au minimum dans chaque. Équivalent à: les dix chiffres de 0 à 9 répartis dans deux ensembles, chacun contenant au moins deux chiffres.

On commencera avec des cas plus simples pour comprendre la façon de compter.

Anglais: Number of ways of placing n labeled balls into k indistinguishable boxes with at least q balls in each box

En bref: 10 balles dans 2 paniers avec minimum de 2
Si les balles ne sont pas numérotées, ni les paniers, on retrouve la formule vue précédemment.
Si les balles sont numérotées, la quantité de cas est nettement plus élevée. Voyons comment arriver à ce compte.	QN = 2^n–1 – (n – 1) – 2 QN = 2^10–1– (10–1) – 2 = 501

Notation

[n, k, q] pour n balles numérotées dans k boites avec un minimum de q dans chacune ou n nombres réparties dans k ensembles avec un minimum de q nombres dans chaque ensemble.

[10, 2, 2] pour 10 balles numérotées dans 2 boites avec un minimum de 2 dans chacune ou 10 nombres réparties dans 2 ensembles avec un minimum de 2 nombres dans chaque ensemble.

Cas: [n, 2, 2] pour n de 3 à 5
On considère les nombres 1, 2 et 3. Combien de possibilités de les partager en deux ensembles avec 2 nombres minium dans chaque ensemble. Si on choisit [1, 2, 3], on a bien un ensemble de 3 valide, mais l'autre ensemble contient 0 élément. Ce qui n'est pas valide.	1 et 2 sont dans l'ensemble x 3 est dans l'ensemble o Répartition avec un minimum de 2 par ensemble: impossible.
Avec les nombres: 1, 2, 3 et 4. Il y a trois possibilités avec trois autres qui s'avèrent être identiques du fait que l'on peut intervertir les paniers. Si on choisit trois éléments, le second ensemble n'en contient qu'un, ce qui n'est pas valide.	Identification de 6 possibilités dont 3 sont redondantes dans la mesure où les paniers sont quelconques (non numérotés).
Avec les nombres: 1, 2, 3, 4 et 5. Il y a dix possibilités et dix autres qui s'avèrent être identiques. Comme précédemment, impossible de choisir quatre éléments. Le second ensemble ne contiendrait qu'un seul élément. On constate qu'il s'agit de la demi somme des combinaisons de: 2 parmi 5 3 parmi 5 On ignore les combinaisons de 4 parmi 5 qui ne laisseraient qu'un élément dans le second ensemble. Une observation aiguisée arrivait à voir que: 10 = 2^5 – 1 – (5 – 1) – 2 = 16 – 4 – 2 relation qui nous met sur la piste de la formule générale.

Cas général [n, 2, 2]
Quantité de partage des nombres de 1 à n en deux ensembles dont chacun contient au moins deux éléments. On retrouve la quantité 10 pour n = 5 (m = 4). On a par exemple: 501 possibilités pour tous les nombres de 0 à 9 (n = 10; m = 9).	Formule avec m = n – 1 Q(m, 2, 2) = 2^m – m – 2 Pour m = n – 1 de 4 à 20 3, 10, 25, 56, 119, 246, 501, 1012, 2035, 4082, 8177, 16368, 32751, 65518, 131053, 262124, 524267, …

Cas: [n, 2, 3]
n = 7 balles à répartir dans 2 paniers avec un minimum de 3 par paniers. Seule possibilité: 3 dans l'un et 4 dans l'autre.		Choix de 3 parmi 7 pour un panier, le reste dans l'autre Vérification Choix de la première balle: 7; Choix de la deuxième balle: 6; Choix de la troisième balle:5; Mais les 3 boules sont indifférentes; 123, 132, 213, 231, 312, 321 sont identiques: 6 cas. Bilan: 7x6x5 / 6 = 35.
n = 8 balles à répartir dans 2 paniers avec un minimum de 3 par paniers. Possibilités: 3/5 et 4/4
n = 9 balles à répartir dans 2 paniers avec un minimum de 3 par paniers. Possibilités: 3/6 et 4/5
n = 10 balles à répartir dans 2 paniers avec un minimum de 3 par paniers. Possibilités: 3/7; 4/6; 5/5
n = 11 balles à répartir dans 2 paniers avec un minimum de 3 par paniers. Possibilités: 3/8; 4/7; 5/6
Pour n balles		Quantité pour n de 7 à 25 35, 126, 210, 582, 957, 2431, 4004, 9802, 16263, 39066, 65382, 155210, 261953, 616455, 1048344, 2449614, 4194027, 9740385, 16776890.

Cas: [n, 3, 2]
Répartir n balles dans 3 paniers avec un minimum de 2 par paniers. Formule de Vladimir Kruchinin	Liste pour n de 6 à 20 15, 105, 490, 1918, 6825, 22935, 74316, 235092, 731731, 2252341, 6879678, 20900922, 63259533, 190957923, 575363776

Cas: [n, 4, 2]
Répartir n balles dans 4 paniers avec un minimum de 2 par paniers. Formule Liste pour n de 8 à 20 105, 1260, 9450, 56980, 302995, 1487200, 6914908, 30950920, 134779645, 575156036, 2417578670, 10046531276, 41388056231.

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Sites	OEIS A000247 – a(n) = 2^n - n – 2 OEIS A000478 – Number of ways of placing n labeled balls into 3 indistinguishable boxes with at least 2 balls in each box OEIS A058844 – Number of ways of placing n labeled balls into 4 indistinguishable boxes with at least 2 balls in each box
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