NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

 

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Sommaire de cette page

>>> Approche – Mises multiples à un jeu de tirage

>>> Cas simples

>>> Cas complexes

>>> Cas général

 

 

 

Tirage de boules façon LOTO

avec grilles multi-jeux

 

TIRAGE (n, k, s)

*      n est la quantité de boules dans l'urne, numérotées de 1 à n;

*      k est la quantité de numéros joués sur la grille de jeu, le ticket (k < n); et

*      s est la quantité de numéros à cocher pour gagner (s < k).

 

Exemple avec le cas (10, 3, 2)

But

Quelle est la probabilité de gagner avec une grille ?

 

 

 

 

Approche – Mises multiples à un jeu de tirage

Cas: 8, 3, 2

Il s'agit d'un tirage parmi n = 8 boules.

Deux boules gagnantes: 5 et 6.

Un ticket-grille où on peut cocher 3 numéros. Ici: 1, 5 et 6, c'est gagné !

 

D'une manière générale, quelle est la probabilité de gagner avec un ticket 3-grille ?

 

Jeu (8, 3, 2)

Trois numéros cochés, dont les deux sortis: le ticket est gagnant.

 

Notez que l'ordre des numéros est sans importance.

 

 

Ce qu'il faut trouver:

*      Combien de combinaisons au total ?

*      Combien de cas favorables: combien de fois les deux croix se retrouveront dans les trois cases jaunes ?

 

La probabilité de gain est le rapport entre les deux quantités.

Commentaire

Supposons que ce soit une forme de loto. Il y a des gens qui jouent avec des grilles à deux numéros ou trois numéros ou k numéros.

D'une part, le prix du ticket-grille sera de plus en plus élevé, mais c'est le problème des joueurs; et,

D'autre part, il pourra y avoir des gagnants multiples sur un type ou l'autre de grilles, mais c'est le problème de l'organisateur des jeux de repartir les gains.

 

Ce qui nous intéresse, ce n'est pas le gain escompté, mais la probabilité de gagner avec une grille de trois numéros à cocher pour deux numéros gagnants.

 

Dans ce monde des 3-grilles, prenons autant de joueurs que nécessaire pour que chacun joue une grille différente. Il en faut autant que de combinaisons de 3 parmi 8, soit 56 joueurs.

Leur probabilité de gagner est de 100%.

 

Parmi eux, certains vont avoir coché les deux bons numéros. Ils sont 6 gagnants. Il y a sans doute d'autres gagnants avec d'autres grilles, mais ce n'est pas notre problème.

 

La probabilité de gain de chaque 3-grille est donc: P = 6/56 = 10,7%.

 

 

 

Une petite familiarisation avant d'aborder le cas général.

 

Cas simples

 

Cas: 3, 2, 1

Cas de trois boules et une boule gagnante (disons la n°1). Le raisonnement serait le même avec l'une des autres boules.

 

*      Avec une boule tirée parmi trois, il y a trois possibilités de tirages. En misant sur une boule, on aurait une chance sur trois de gagner. Mais ce n'est pas notre problème.

 

*      En achetant une grille à deux numéros à cocher: il a trois possibilités: (1, 2), (1, 3) et (2, 3) et,

*      Parmi elles, deux sont gagnantes.

*      La probabilité de gagner est P = 2/3.

 

 

Q(3, 2) = quantité de combinaisons de 2 parmi 3.

 

Q(3, 2, 1) = quantité de possibilités pour gagner avec une grille à deux numéros.

 

Cas: 4, 2, 1

Cas de quatre boules et une boule gagnante (disons la n°1).

 

*      Avec une grille de deux numéros, il y six choix de grilles (les lignes en jaune). Il s'agit des combinaisons de 2 parmi 4 => 6.

*      Parmi elles, trois sont gagnantes (G).

*      La probabilité de gagner est P = 3/6 = 1/2

 

Notez que si c'est un autre numéro de boule qui est gagnant, il a tout autant de possibilités. Il y a bien trois cases jaunes dans chaque colonne.

 

 

En considérant les trois grilles gagnantes, remarquez que le deuxième numéro coché (p) correspond à un choix de 1 parmi 3, un des trois numéros perdants.

 

Cas: 4, 3, 2

Cas de quatre boules et deux boules gagnantes (disons la n°1 et la n°2).

 

*      Avec une grille à trois numéros à cocher, il y a quatre possibilités (4 lignes en jaune), et

*      Seulement deux cas gagnants.

*      La probabilité de gagner est P = 2/4 = 1/2.

 

En terme de dénombrement, deux étapes de raisonnement:

*      on a les tickets gagnants 1 et 2; alors

*      le troisième est soit le 3, soit le 4. 

En disant cela, on signifie qu'il y a seulement deux possibilités pour avoir les deux tickets gagnants.

 

 

 

Cas complexes

 

Cas: 8, 3, 2

Cas de huit boules et deux boules gagnantes (disons la n°1 et la n°2).

 

*      Avec une grille à trois numéros à cocher, on calcule la quantité de combinaisons de 3 parmi 8:

 

*      Ayant deus numéros gagnants (1 et 2, par exemple), on compte la quantité de façons pour disposer le troisième numéro (p) parmi les six positions restantes: 6, bien sûr !

 

*      P = 6/56 =3/28 = 10,71 %

 

 

Inutile de prolonger le tableau, il n'y a pas d'autres configurations gagnantes.

 

Cas: 9, 4, 2

 

*      Avec une grille à quatre numéros, on compte la quantité de façons disposer les deux numéros restants parmi les 7 (9 – 2) positions restantes. Il y en a 21.

 

 

 

 

 

 

 

 

Cas: 30, 7, 4

 

*      Avec une grille à sept numéros, on compte la quantité de façons disposer les trois numéros restants parmi les 26 (30 – 4) positions restantes.

 

 

 

Cas général:  n, k, s

Reprise du cas précédent: 30, 7, 4

Cas: 49, 10, 5

 

Bilan

Avec des grilles à cocher donnant la possibilité de couvrir plusieurs combinaisons de jeux à la fois, on démultiplie la possibilité de gain dans la proportion donnée par la formule.

Dans le cas (49, 10, 5) la probabilité de gagner avec un ticket est voisine de 1 sur 2 millions; avec une 10-grille, elle est de 1 sur 7 567. La société des jeux doit sans doute la faire payer cher !

Rappel important: la probabilité annonce une moyenne sur une très grande quantité de jeux. Même avec 7 567 fois une 10-grille, on n'est toujours pas sûr de gagner. 

 

Une question se pose: combine de grilles faut-il jouer, au minimum, pour couvrir tous les cas et remporter les gains ? La réponse n'est pas simple. Pour le cas (n, k, s), le problème revient à compter la quantité minimale de k-gones pour couvrir tous s-tuplets sur un n-gone. Voir Exemple du quadrilatère.

 

 

 

 

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