NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

 

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Dénombrement

 

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Sommaire de cette page

>>> Balles numérotées dans panier numérotés

>>> Le problème des 5  balles en 3 paniers

>>> 5 balles numérotées dans 3 paniers quelconques

>>> 5 balles quelconques dans 3 paniers numérotés

>>> 5 balles numérotées dans 3 paniers numérotés, sans paniers vides

 

 

 

 

 

Balles réparties en boites (ou paniers)

sous conditions

 

Nous disposons de n balles à répartir dans k paniers (boites, sacs, ou urnes). Quelle est la quantité de possibilités; quelle est la quantité de configurations possibles?

Note: nous utiliserons le panier. Ainsi, la lettre B symbolise la Balle et la lettre P, le Panier.

 

Calcul des possibilités selon les conditions

Paniers et balles peuvent être banalisés ou individualisés. Les paniers peuvent se retrouver vides ou alors comporter au moins une balle.

 

Combien de

configurations ?

Paniers

 

Numérotés

Quelconques

Non-vides

Balles

Numérotés

>>>

>>>

>>>

Quelconques

>>>

>>>

 

 

Anglais: Multiset, bag / Distributing balls into boxes

 

 

 

Approche Balles numérotées dans panier numérotés

Exemple: 3 balles dans 2 paniers

 

Imaginons;

*    3 balles numérotées (B1, B2 et B3) à répartir en

*    2 paniers nommés P1 et P2.

Comment je m'y prends? Attention, un panier peut être vide.

 

Je prends la balle B1 que je mets dans un des deux paniers: 2 possibilités.

Je prends la balle B2 que je mets dans un des deux paniers: 2 possibilités.

Je prends la balle B3 que je mets dans un des deux paniers: 2 possibilités.

 

Ce sont trois événements indépendants, le total des possibilités est le produit des possibilités de chacun:

               Q = 2 x 2 x 2 = 23

 

 

Note: les balles sont numérotées ou de couleurs différentes ou repérées d'une manière quelconque. Chacune est bien identifiée.

 Même remarque pour les paniers, pourvu qu'ils soient bien identifiés; ils sont non interchangeables, non banalisés.

 

 

 

Illustration

3 balles dans deux paniers: 23 = 8 façons de faire.

 

Tableau

Il montre ces 8 répartitions:

 

Une autre manière de compter les configurations (sans en oublier)

Lecture des chiffres à droite:

123 000  veut dire que les balles 1, 2 et 3 sont dans le panier 1 et aucune dans le panier 2.

 

Cas général

 

D'une manière générale, avec

*    n balles numérotées et

*    k paniers numérotés:

C'est le même type de dénombrement que sur un compteur. C'est une p-liste.

 

Q = kn    

répartitions possibles

Voir Sélection ou distribution

 

 

 

 

Le problème des 5  balles en 3 paniers

 

5 balles numérotées dans 3 paniers numérotés

 En accord avec ce que nous venons de voir:

 

Q = 35 = 243

 

5 balles quelconques dans 3 paniers quelconques

Il y a seulement cinq possibilités, et on les énumère:

 

Remarquez, par exemple, que les cinq balles soient dans le panier 1 ou 2 ou 3, peu importe; on ne compte qu'une seule possibilité.

 

{5, 0, 0}

{4, 1, 0}

{3, 2, 0}

{3, 1, 1}

{2, 2, 1}

Anglais: How many ways are there to distribute 5 balls into 3 boxes, according to conditions?

 

 

5 balles numérotées dans 3 paniers quelconques

 

Pour les cas vus précédemment, voyons ce chacun devient lorsque les balles sont numérotées.

Numérotées ou pas, il y a un seul cas avec 5 balles dans un panier (les 3 paniers ne sont pas repérés).

Pour 4 balles dans un panier parmi 5, il y a 5 possibilités:

Voir Calcul des combinaisons

 

Pour 3 balles dans un panier parmi 5, il y a 10 possibilités; on met les deux autres dans l'un ou l'autre panier, c'est sans importance:

C'est la même chose pour le cas suivant; on met une balle dans l'un des paniers et une balle dans l'autre.

Enfin, pour le dernier cas, on choisit 2 balles parmi 5, puis 2 balles parmi 3. Cependant, les 2 parmi 3 peuvent être placées indifféremment dans un des 2 paniers qui restent; il faut diviser par 2

 

Méthode alternative

Parmi les 243 fossilités avec numérotation, voyons celles qui se réduisent du fait de la numérotation des balles.

Le cas {5, 0, 0} permet 3 possibilités qui, avec la numérotation des balles, devient une seule.

Reste 240 cas à analyser. Pour chacun, il existe 3! = 6 possibilités de permutations, soit 204 / 6 = 40 possibilités du fait de la numérotation des balles.

 

 

{5, 0, 0} =>   1 cas

 

{4, 1, 0} =>   5 cas

 

{3, 2, 0} => 10 cas

 

{3, 1, 1} => 10 cas

 

{2, 2, 1} => 15 cas

 

Total: 1 + 5 + 10 + 10 + 15 = 41

 

 

 

Décompte alternatif

243 = 240 + 3

    3 => 1

240 => 240/3!  = 40

   24 => 1 + 40 = 41

 

 

 

5 balles quelconques dans 3 paniers numérotés

 

Le décompte classique peut être repris.

Avec {5, 0, 0} et trois paniers différents, il y a 3 possibilités de mettre 5 balles dans un panier.

Avec {4, 1, 0} et {3, 2, 0}, les trois comptes étant différents, les 3! = 6 permutations sont toutes possibles.

Avec {3, 1, 1} et {2, 2, 1}, parmi les 6 permutations possibles, seules la moitié est à retenir car dans les deux cas, deux paniers jouent le même rôle.

 

 

Méthode alternative

 

La méthode des étoiles et des barres donne directement le décompte.

En l'occurrence les balles comptent pour n = 5 et les k = 3 paniers pour 2 barres.

Notre problème se résume au choix de l'emplacement de 2 barres parmi 7 emplacements.

 

 

 

{5, 0, 0} =>  3 cas

{4, 1, 0} =>  6 cas

{3, 2, 0} =>  6 cas

{3, 1, 1} =>  3 cas

{2, 2, 1} => 3 cas
Total 21 cas

 

 

 

 

 

 

Décompte alternatif

 

 

 

 

5 balles numérotées dans 3 paniers numérotés, sans paniers vides

 

Du cas classique, nous retirons les cas avec paniers vides. Restent les cas {3,1, 1} et {2, 2, 1}.

 

Cas avec 3 balles dans un des paniers:

*    3 possibilités selon le panier;

*    Choix de 3 balles parmi 5; et

*    2 possibilités pour les deux balles restantes.

 

Cas avec 1 balle dans un des paniers:

*    3 possibilités selon le panier;

*    5 possibilités selon la balle;

*    choix de 2 balles parmi 4; et

*    les deux balles qui restent dans le 3e panier

 

Voir Formule de calcul

 

 

 

 

 

{5, 0, 0} =>  non

{4, 1, 0} =>  non

{3, 2, 0} =>  non

 

{3, 1, 1} =>  60 cas

 

 

{2, 2, 1} => 90 cas

 

Total 60 + 90 = 150 cas

 

 

 

 

 

 

Suite

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